Olá. Acho que consegui uma solução. Considerei que m e n são inteiros. (p-1)(1 + p^n ) = 4m(m+1) -> m² + m - (1/4)(p-1)(1 + p^n) = 0 e essa é uma eq. de 2° grau em m. O discriminante é 1 + (p-1)(1+p^n). Se queremos m um inteiro então a raiz quadrada do discriminante também deve ser um número inteiro. Seja k inteiro positivo, 1 + (p-1)(1+p^n) = k² -> p^(n+1) - p^n + p = p(p^n - p^(n-1) + 1) = k². Logo p divide k² e isso implica que p divide k. Podemos escrever k=p*k_1, k_1 inteiro positivo e substituindo: p^n - p^(n-1) + 1 = p(k_1)². Assim p divide p^n - p^(n-1) + 1. (p^n - p^(n-1) + 1)/p = (k_1)² -> p^(n-1) - p^(n-2) + 1/p = (k_1)². Veja que se n>=2, p^(n-1) - p^(n-2) é inteiro o que é absurdo. Então n=1. Substituindo na eq. de 2° grau em m o valor de n encontrado: m² + m - (1/4)(p-1)(1 + p) = 0 -> m² + m - (1/4)(p² -1). Resolvendo encontramos: m= [- 1 +- raiz(1 + p² - 1)]/2 = (- 1 +- p)/2. Como m>0 ignoramos a raiz negativa e temos m=(p-1)/2 que é sempre inteiro já que p é um primo ímpar. Acho que é isso.
Abraços. ----- Original Message ----- From: Rhilbert Rivera To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 29, 2008 9:12 PM Subject: [obm-l] Teoria dos números - ajuda Amigos, agradeceria pela ajuda na resolução desse problema. Seja p> 2 um primo. Determine todos os valores positivos de m e n, tal que (p-1)(1 + p^n ) = 4m(m+1). Obrigado! ------------------------------------------------------------------------------ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!
