Parabéns prô menino, nesta data querida, muitas
felicidades, muitos anos de vida...
:-)
Nehab
Bouskela escreveu:
Vidal e Salhab:
Olhem aqui, esse negócio
num tá legal não!
O Vidal já me mandou 2
(duas!!!) soluções desse problema e, agora, o Salhab me manda mais uma
– assim não dá!!!
Pô, hoje é meu aniversário:
53 anos! E vocês, assim, estão provando – com todo o rigor do Hilbert –
que já estou gagá e com a metade dos meus poucos neurônios já
necrosados.
Bem, se alguém me mandar
mais uma (umazinha que seja!) solução desse problema, eu saio da Lista
e viro um serial-killer e mato tudo que é matemático que eu conheça – e
vou começar por vocês dois!!!
Obrigado,
Abraços aos dois!
AB
2008/10/27 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Olá
Bouskela,
veja que temos um número de 4 digitos, logo: a != 0... isso faz com que
tenhamos que ter a^2 >= 10, logo: a >= 4
assim: a = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, d = { 0, 1, 5, 6 }
ok, faltam os digitos do meio...
100b + 10c de um lado.... e 10*(2ad) + o digito das dezenas de d^2 + o
digito das unidades de a^2... ótimo
vamos ver... digito das unidades de a^2... é o mesmo que a^2 (mod
10)... e digito das dezenas de d^2... hmm, floor(d^2/10)
assim, temos:
1000a + 100b + 10c + d = 1000*floor(a^2/10) + 100*(a^2(mod10) +
floor(2*ad/10)) + 10*((2ad)(mod10) + floor(d^2/10)) + d^2(mod10)
agora acho q precisamos analisar...
floor(a^2/10) = a ... ok! let's test...
4^2 = 16 (nao)
5^2 = 25 (nao)
6^2 = 36 (nao)
7^2 = 49 (nao)
8^2 = 64 (nao)
9^2 = 81 (nao)
hey, temos novidades.. parece que a^2(mod10) + floor(2ad/10) >= 10..
para ajudar nosso amigo "a"...
desta maneira, vamos ver... apenas o nove se encaixa no exigido..
logo, a = 9
assim, a^2(mod10) = 1, e, temos: 1 + floor(2ad/10) >= 10... hmm,
vejamos: floor(2ad/10) >= 9
mas sabemos que a = 9.. vamos simplificar um pouco nossa vida antes:
9000 + 100b + 10 c + d = 9000 + 100*(1 + floor(18d/10)) +
10*((18d)(mod10) + floor(d^2/10)) + d^2(mod10)
ok.. mas ainda temos que ter 1 + floor(18d/10) >= 10 ........
floor(18d/10) >= 9
novamente, vamos ver quem se encaixa...
d = { 0, 1, 5, 6 } ..... 0 nao.... 1 nao... 5 sim!... 6 sim!
eba! reduzimos nosso d... agora d = { 5, 6 }
falta descobrirmos novidades sobre b e c...
alias, acho q nao falta nao... vamos ver:
d = 5 .... entao: 95 .... 95^2 = 9025.... b=0, c = 5
d = 6 .... entao: 96 .... 96^2 = 9216.... b=2, c = 1
acho que provamos que são as únicas soluções...
abraços,
Salhab
Meus amigos:
Como se pode resolver
ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número
natural "n" de 4 algarismos: "a", "b", "c" e "d".
Sabe-se que sqrt(abcd)
= ad .
Determine todos os
valores possíveis de "n".
Não considere a solução
trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b +
10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir
que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que
sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode
"chutar" que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20
+ 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a
- 9
Sabe-se que b/a >= 0
.
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar
que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10
+ 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho
algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! -
NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
--
Saudações,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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