Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui
demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo.
Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par,
consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se
um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente x2 = 4a, y2 = 4b e xy =
4c, para a,b,c inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4.
Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais
complicado, vamos ver...
O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9.
Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0
1 -> 1,9
4 -> 8
5 -> 5
6 -> 4,6
9 -> 7
O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9
Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto
entre eles (para ser multiplo de 5:
1+4 -> 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5)
1+6 -> 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8)
1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5)
2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5)
6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5)
Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira
positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z
Assim, x e y sao multiplos de 5.
x2 = 25d, y2 = 25f, xy = 25g, para d,f,g inteiros.
Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25
= 100.
--- Em dom, 12/4/09, marcone augusto araújo borges
<marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
De: marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>
Assunto: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 12 de Abril de 2009, 2:53
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Desculpe Eric,mas o problema correto é :se x^2 + x*y +y^2
è divisível por 10 então é divisível por 100.Obrigado pela atenção.Um abraço.
> From: fato...@hotmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
> Date: Sun, 12 Apr 2009 02:48:40 +0300
>
>
>
> > alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm
> > divide 100
>
> Se xx + xy + yy divide 10, entao dividirah 100 tambem,
> pois todo divisor de 10 divide 100
>
> [ ]'s
>
> E.
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