Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo.
Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par, consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente fazendo x=2a e y=2b -> x2 = 4a2, y2 = 4b2, xy = 4ab, para a,b inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4. Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais complicado, vamos ver... O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9. Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0 1 -> 1,9 4 -> 8 5 -> 5 6 -> 4,6 9 -> 7 O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9 Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto entre eles (para ser multiplo de 5: 1+4 -> 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5) 1+6 -> 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8) 1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5) 2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5) 6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5) Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z Assim, x e y sao multiplos de 5. Consequentemente fazendo x=5c e y=5d -> x2 = 25c2, y2 = 25d2, xy = 25cd, para c,d inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 25. Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25 = 100. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 13:10:46 +0000 Oi,nehab,o problema correto é se xx+yy+xy é divisível por 10 então é divisível por 100.Desculpe e obrigado. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de "pegadinha", pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 > From: fato...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase > Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 > > > > > Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: > > > > 5^(n-2) -1 > > ----------- É um inteiro. > > n > > [1] Seja m um primo diferente de 5; > [2] 5^(m-1) == 1 mod m > (pelo "Pequeno Teorema de Fermat") > [3] 5^(2m-2) == 1 mod m > (quadrando [2]) > [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 > (pois 5 eh impar) > [5] m divide (5^(2m-2) - 1) > (de [3]) > [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) > (de [4]) > [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) > (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) > [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro > [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro > de algum primo diferente de 5, tem-se que > (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro > (de [8] e [1]) > > [ ]'s > > --------------------------------------------------------- > [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ----] > [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! ------ ] > [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] > [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ ----------- ] > [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] > [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] > [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ---- ] > --------------------------------------------------------- > > > > _________________________________________________________________ > Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! > http://www.windowslive.com.br > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Quer deixar seu Messenger turbinado de emoticons? Clique aqui e baixe agora. É grátis! _________________________________________________________________ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/
