Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) n: 1, soma: 1^2 n: 2, soma: 1^2 + 2^2 n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 ... Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) n: 1, soma: 2^2 n: 2, soma: 2^2 + 4^2 n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 ... Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. -- Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
