QH = KP é um postulado? --- Em seg, 26/12/11, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu:
De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> Assunto: Re: [obm-l] Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 26 de Dezembro de 2011, 19:47 2011/12/26 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > São escolhidos dois pontos P e Q,um cada cateto de um triângulo > retângulo.As medidas dos comprimentos dos catetos são a e > b,respectivamente.Sejam K e H as projeções de P e Q,respectivamente,sobre a > hipotenusa.Determine o menor valor possível para KP + PQ + QH. Bom, vou dar uma idéia só: Desenhe o seu triângulo com a hipotenusa na horizontal. Daí, marque os valores notáveis dos triângulos retângulos: catetos a, b, hipotenusa c (c^2 = a^2 + b^2) a altura h p + q = c as duas partes da hipotenusa de cada lado da altura. Seja x a distância entre K e o vértice. Ache o valor de KP por semelhança. Note que QH = KP, logo você pode achar y = distância de H até o outro vértice do mesmo jeito. Note que PQ = c - x - y. Juntando tudo, simplificando, usando que cp = a^2 e cq = b^2, você vai chegar numa fórmula quadrática em x, do tipo M - N^2 x, e daí o mínimo ocorre quando x é máximo (ou seja, igual a p). Faça as contas de novo e você deve chegar na sua fórmula. > O gabarito dá como resposta 2ab/raiz(a^2+b^2) Pensando um pouco mais, isso é 2*altura (note que ab = ch). Num problema desses, é bem razoável começar com um chute que o mínimo/máximo deve estar numa situação limite (nem que seja pra ter uma idéia) e daí você vê que um caso o valor é esse, no outro é c = raiz(a^2 + b^2). Que é maior do que isso por MA >= MG. Olhando o argumento acima, você nota que a transformação depende de forma linear em x (porque tudo é semelhança), logo mínimo e máximo estão nesses dois opostos. Corolário: se o triângulo for, além de retângulo, isósceles (ou seja, 45-45-90) todos os valores são os mesmos. > Agradeço a quem puder ajudar. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
