Usando-se determinantes: det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são inversíveis. Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. Então: A.B = I => A'.(A.B.) = A'.I => (A'.A).B = A' => I.B = A' => B=A' => B.A = A'.A => B.A = I Espero que esteja correto. Paulo Argolo _________________________________________________________________
> Date: Tue, 9 Oct 2012 16:04:32 -0400 > Subject: Re: [obm-l] AB = I implica BA = I > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes <hfernande...@gmail.com>: > > Multiplique os dois lados da igualdade AB = I por B^(-1) (inversa de B) à > > direita e depois por B à esquerda... > > > > BAB(B^(-1)) = BI(B^(-1)) = BAI = BB^(-1) => BA = I > > Vou ser chato (de novo). Em geral, quando se pede para mostrar que AB > = I => BA = I, é justamente para mostrar que a inversa funciona dos > dois lados. Daí (usando a sua notação) sabemos que B tem uma inversa à > esquerda que é A, e A tem uma inversa à direita que é B. Portanto, > ainda não sabemos que existe B^(-1) para multiplicar à direita de B. > > O jeito que eu prefiro pra essa propriedade é ver que a matriz produto > de transformações elementares E que leva B na Identidade, leva a > Identidade em A. Isso dá duas igualdades para você: > E*B = I > E*I = A > > A segunda diz que E = A, logo AB = I, que é daonde começa o problema do > ennius. > > Mas como você usou o algoritmo de Gauss para levar A na identidade, o > que acontece é que na parte da solução estão os vetores tais que B*v_i > = e_i. Essa outra parte mostra que BA = I, e portanto A é a inversa de > B. > > Alguém sabe fazer de outra forma, sem apelar para matrizes? > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
