Outro modo de resolver:
Primeiramente, vamos mostrar que a equação x^n = 1, com x real e n natural
ímpar, tem uma só solução: x = 1.
Sabemos que se x<0, então x^n <0. Deveremos ter, portanto, x>0, pois 0^n = 0.
x^n = 1 => x^n - 1 = 0 => (x-1) [(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + 1] = 0 => x =1,
pois o 2.º fator é positivo.
Assim:
---- Se x^n = y^n = 0 => x = y =0
---- Se x^n = y^n, que é diferente de zero, podemos escrever:
x^n / y^n = 1 => (x/y)^n = 1 => x/y = 1 => x = y.
Abraços do Paulo Argolo
______________________________________________________
Date: Fri, 14 Jun 2013 14:52:27 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: Re: [obm-l] x^n = y^n => x = y
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Ola Ralph,
O termo é sempre positivo, mas temos números negativos tb :
Ex n=3 :
x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2)
Supondo y<0 e x>0; [y]>[x]
Então : x2 e y2 positivos, como xy<y2, tenão x2+xy+y2 é sempre positivo. Claro
que se ambos são positivos ou [x]>=[y] o mesmo se verifica.
AbsFelipe
De: Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sexta-feira, 14 de Junho de 2013 18:25
Assunto: Re: [obm-l] x^n = y^n => x = y
Tem um jeito de fazer que soh precisa de uma fatoracao esperta.
Em primeiro lugar, como n eh impar, note que x^n tem o mesmo sinal de x. Assim,
se x^n e y^n tem o mesmo sinal, x e y devem ter o mesmo sinal. Assim, ha apenas
3 casos a considerar:
i) x=0 e y=0ii) x>0 e y>0iii) x<0 e y<0
O caso (i) automaticamente implica que x=y. Vou fazer o caso (ii) (o (iii) eh
analogo, trocando x e y por -x e -y).
Entao, suponha que x e y sao positivos e que x^n=y^n. Entao:x^n-y^n=0 -->
(x-y)(x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+...+xy^(n-2)+y^(n-1))=0
Agora o termo comprido soh tem numeros positivos, entao eh positivo. Assim, o
unico jeito deste produto dar 0 eh se x-y=0, isto eh, x=y.
Abraco, Ralph
2013/6/14 Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>
Caros Colegas,
Como provar que a igualdade x^n = y^n implica x = y, sendo x e y números reais
quaisquer e n natural ímpar?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
