Verdade! Comi uma mosca nessa parte: "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi"
Na verdade, temos: "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi ou x + y = - 2k . pi" Obrigado, Nehab! Bom problema! Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>escreveu: > Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos > parou. Acho que há ainda outras soluções. > > O Marcos concluiu, da 1a equação, que > > sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0 > > Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele > usou, obtemos > > sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0 > > sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0 > > Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, > pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita: > > sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ > sen(x/2) = 0, x = 2kπ > sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ > > As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos > > Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que > > e^x + e^(2kπ - x) = 1 > > (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0 > > Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que > esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma > condição necessária é que > > 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é > inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = > (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos > os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 > - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x. > > Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes > conjuntos > > A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R} > > B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro} > > C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < > 0, k inteiro} > > D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k < > 0, k inteiro} > > Dê uma conferida. > > > Artur Costa Steiner > > Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com> > escreveu: > > Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda > de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, > pois e^y > 0 para qualquer y real. > > I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 . > sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas > hipóteses: > > I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os > valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação > (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 > - e^(- 2k . pi)). > > I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k > natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = > ln(1 - e^(- 2k . pi)). > > Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - > e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.] > > > Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M <sc...@hotmail.com> escreveu: > >> Bom dia a todos >> >> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida. >> >> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema: >> >> sen(x + y) = sen(x) + sen(y) >> e^x + e^y = 1 >> >> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente >> complicada. >> >> Obrigada. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.