sen(x + y) = sen(x) + sen(y) e^x + e^y = 1 senxcosy+cosxseny=senx+seny senx(1-cosy)=seny(cosx-1) tgx/2=tgy/2 tgx/2=-tgy/2 x/2=y/2+npi x=y+2npi e^y=1/(e^2npi+1) y=-ln(e^2npi+1)
2013/7/26 Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com> > Verdade! Comi uma mosca nessa parte: > > "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi" > > Na verdade, temos: > > "sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi ou x + y = - > 2k . pi" > > Obrigado, Nehab! Bom problema! > > > Em 26 de julho de 2013 15:29, Artur Costa Steiner > <steinerar...@gmail.com>escreveu: > > Eu gostaria de elaborar um pouco mais, a partir do ponto em que o Marcos >> parou. Acho que há ainda outras soluções. >> >> O Marcos concluiu, da 1a equação, que >> >> sen(y/2) (cos(x + y/2) - cos(y/2)) = 0 >> >> Aplicando uma conhecida identidade trigonométrica na linha da que ele >> usou, obtemos >> >> sen(y/2) (-2sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0 >> >> sen(y/2) sen(x/2) sen((x + y)/2) = 0 >> >> Assim, sendo k um inteiro, a 1a equação será satisfeita se, e somente se, >> pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita: >> >> sen(y/2) = 0, equivalente a y/2 = kπ, y= 2kπ >> sen(x/2) = 0, x = 2kπ >> sen(x + y) = 0, x + y = 2kπ >> >> As duas primeira condições já foram abordadas pelo Marcos >> >> Se vigorar a 3a condição, então y = 2kπ - x e a 2a equação implica que >> >> e^x + e^(2kπ - x) = 1 >> >> (e^x)^2 - e^x + e^(2kπ) = 0 >> >> Como estamos nos reais, uma condição necessária para haver solução é que >> esta equação quadrática em e ^x tenha pelo menos uma raiz real. Logo, uma >> condição necessária é que >> >> 1 - 4 e^(2kπ) ≥ 0, ou seja, e^(2kπ) ≤ 1/4, k ≤ -ln(4)/(2kπ). Como k é >> inteiro, isto implica simplesmente que k ≤ -1. Neste caso, temos que e^x = >> (1 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2 e e^x = (1 + sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2. Em ambos >> os casos, o segundo membro é positivo, de modo que temos x = ln((4 - sqrt(1 >> - 4 e^(2kπ)))/2) ou x = e^x = (4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) e y = 2kπ - x. >> >> Em suma, o conjunto solução desta equação é a união dos seguintes >> conjuntos >> >> A = {(x, y) em R^2 | x = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro, x ∈ R} >> >> B = {(x, y) em R^2 | x ∈ R, y = ln(1 - e^(2kπ)), k < 0, k inteiro} >> >> C = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 - 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k >> < 0, k inteiro} >> >> D = {(x, y) em R^2 | x = ln((4 - sqrt(1 + 4 e^(2kπ)))/2) , y= 2kπ - x, k >> < 0, k inteiro} >> >> Dê uma conferida. >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> Em 26/07/2013, às 13:21, Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com> >> escreveu: >> >> Da segunda equação, devemos ter: x < 0 e y < 0 (*). Suponhamos, sem perda >> de generalidade, que x >= 0 -> e^x >= 1 -> e^y = (1 - e^x) <= 0. Absurdo, >> pois e^y > 0 para qualquer y real. >> >> I) sen (x + y) = sen(x) + sen(y) -> sen (x + y) - sen(x) = sen(y) -> 2 . >> sen(y/2) . cos(x + y/2) = 2 . sen(y/2) . cos(y/2). Vamos considerar duas >> hipóteses: >> >> I.i) sen (y/2) = 0 -> y = - 2k . pi (com k natural. Estou excluindo os >> valores positivos de y que resolveriam essa equação, devido à observação >> (*)). Substituindo na segunda equação: e^x + e^(- 2k . pi) = 1 -> x = ln(1 >> - e^(- 2k . pi)). >> >> I.ii) sen (y/2) <> 0 -> cos(x + y/2) = cos(y/2) -> x = - 2k . pi (com k >> natural. Aqui vale a mesma observação feita em I.i). Analogamente: y = >> ln(1 - e^(- 2k . pi)). >> >> Portanto, as soluções são: (- 2k . pi ; ln(1 - e^(- 2k . pi))) e (ln(1 - >> e^(- 2k . pi)) ; - 2k . pi ) [onde k é natural e diferente de zero.] >> >> >> Em 26 de julho de 2013 11:11, Merryl M <sc...@hotmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia a todos >>> >>> Podem ajudar a resolver este sistema? Estou um tanto perdida. >>> >>> Determinar em R2, em radianos, as soluções do seguinte sistema: >>> >>> sen(x + y) = sen(x) + sen(y) >>> e^x + e^y = 1 >>> >>> Com substituições trigonométricas cheguei numa expressão extremamente >>> complicada. >>> >>> Obrigada. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.