Opa, acabei de ver a resposta do Artur, que já fala disso. Desculpem o repeteco.
2014-06-05 0:33 GMT-03:00 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>:
> Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
> mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
> tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
>
> F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
>
> é, para todos os efeitos, uma "primitiva" de f, pois F'=f em todos os
> pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
> contínua.
>
> Isso alivia o "paradoxo" aparente, na minha opinião.
>
>
> 2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>> Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
>> geral:
>>
>> f: [a, b] --> R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
>> for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
>> dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
>> Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
>>
>> A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
>> mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
>>
>> F(x) = x se x < 1
>> F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 <= x <= 2
>>
>> F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
>> não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
>> diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
>> existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
>>
>> Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
>> ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
>>
>> Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
>> então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
>> caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
>> descontinuidades do tipo salto.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
>> escreveu:
>>
>> Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
>> integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
>>
>> Dada a função f:[0, 2]->R tal que f(x) = {1 se x<1, 2 se x>=1}
>> Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
>>
>> Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] -> R é contínua exceto num número
>> finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
>> Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
>>
>> Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] -> R tem descontinuidade tipo
>> salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
>> x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
>> admite primitiva no intervalo [a, b].
>> E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
>> primitiva em [0, 2]
>>
>> f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
>>
>> Onde está o erro nessa demonstração?
>>
>> []'s
>> João
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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