Uma ideia pode ser tentar aproximar os reais para racionais e usar o
argumento das potências, não?
Em 11 de julho de 2017 18:21, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> escreveu:
> Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque você
> já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os reais
> admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os racionais.
>
> Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
> escreveu:
>>
>> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
>> jeito de usar isso para o caso geral...
>>
>> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
>> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
>> certa constante a todos eles.
>>
>> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
>> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>>
>> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
>> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>>
>> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
>> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
>> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
>> some 1 de novo, repita e enxágue.
>>
>> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
>> até.... até.... até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
>> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
>> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja, em
>> tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>>
>> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
>> todos 0, ou todos 1.
>>
>> ---///---
>>
>> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
>> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
>> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
>> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
>> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
>> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>>
>>
>> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali <nowras....@gmail.com>:
>>>
>>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>>> o problema assim que puder.
>>>
>>> Abraços, Nowras.
>>>
>>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>>
>>>>
>>>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa kkkk mas de
>>>> qualquer forma obrigado
>>>>
>>>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>> > <bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>>> >
>>>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
>>>> > n=1
>>>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado
>>>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>>>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>>>> > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>>>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>>>> > repetidos).
>>>> >
>>>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos
>>>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
>>>> > soma
>>>> > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2,
>>>> > dá mais trabalho.
>>>> >
>>>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo
>>>> > <otavio17.ara...@gmail.com>:
>>>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>>>> >> ( passei muito tempo nela já kkk):
>>>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
>>>> >> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
>>>> >> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
>>>> >> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>>> >> Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>>> >>
>>>> >>
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>>>> >> --
>>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>>> >>
>>>> >>
>>>> >>
>>>> >> =========================================================================
>>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>> >>
>>>> >> =========================================================================
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>>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
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>>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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