Oi Ralph, tava sem tempo de escrever, mas vou aproveitar a deixa porque
você já fez quase tudo. Acho que dá pra fazer o caso geral usando que os
reais admitem uma base considerando como um espaço vetorial sobre os
racionais.
Em ter, 11 de jul de 2017 às 18:18, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
escreveu:
> Bom, eu sei resolver se todos os números forem racionais. Deve ter um
> jeito de usar isso para o caso geral...
>
> A propriedade desse conjunto não se altera se todos os elementos do
> conjunto forem multiplicados por um mesmo número, nem se a gente somar uma
> certa constante a todos eles.
>
> Assim, *SE* eles forem todos racionais, a gente pode multiplicar todos
> eles por um m.m.c imenso e supor que são todos inteiros, spdg.
>
> Mas então todos teriam que ter a mesma paridade -- afinal a soma de todos
> eles, menos qualquer um deles, é um número par.
>
> Então, enquanto todos forem pares, divida-os por 2; em algum momento,
> **todos** ficarão ímpares. Quando isso acontecer, some 1, e ficam todos
> pares. Então divida por 2 de novo, e de novo, até ficarem ímpares, então
> some 1 de novo, repita e enxágue.
>
> Esse processo vai parar? Oras, esses inteiros vão diminuir em módulo
> até.... até.... até cada um deles virar 0, ou 1! De fato, |x|/2<|x| quando
> x<>0, e |x+1|/2 < |x| para x<>0,1. Então a cada um ou dois passos o valor
> absoluto de todos eles diminui -- a menos que eles sejam 0 ou 1. Ou seja,
> em tempo finito, todos eles vão virar 0 ou 1.
>
> Agora é fácil -- lembra que todos sempre têm a mesma paridade?? Então são
> todos 0, ou todos 1.
>
> ---///---
>
> Para o caso geral, tenho uma ideia, mas não estou com tempo de
> desenvolvê-la -- será que dá para começar com os reais, e multiplicar todos
> eles por algum número real imenso de forma que eles sejam quase inteiros
> (tipo, todos eles a menos de 1/(4n) de algum inteiro)? Talvez dê para
> mostrar então pela propriedade que eles têm que ser inteiros, ou pelo menos
> "comensuráveis" e daí matar o problema.
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
> 2017-07-11 15:06 GMT-03:00 Nowras Ali <nowras....@gmail.com>:
>
>> Uma prova por indução me parece o melhor caminho.
>> O Bernardo já provou para o caso base, basta agora tentar
>> provar para n+1, assumindo verdadeiro para n. Tentarei resolver
>> o problema assim que puder.
>>
>> Abraços, Nowras.
>>
>> Em 9 de julho de 2017 18:54, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>>
>>> Já tentei isso, porém não parece ajudar em muita coisa kkkk mas de
>>> qualquer forma obrigado
>>>
>>> > Em 9 de jul de 2017, às 18:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>> >
>>> > Não pensei muito, mas acho que você deveria tentar provar os casos
>>> n=1
>>> > e n=2 "no braço" para ter a intuição. E, na verdade, o enunciado
>>> > deveria ser: dados a_1, a_2, ... a_{2n+1} números reais, não
>>> > necessariamente distintos, tais que, para cada escolha de 2n dentre
>>> > eles, é possÃvel separar em dois grupos de n cada, com a mesma soma.
>>> > (evitando falar de conjuntos, você pode ter à vontade os elementos
>>> > repetidos).
>>> >
>>> > Assim, o caso n=1 fica: temos a_1, a_2, a_3. Tomando os elementos
>>> > a_1, a_2, é possĩvel separar em dois grupos de um elemento, com a
>>> soma
>>> > igual. Logo a_1 = a_2. Por simetria, a_1 = a_3, e acabou. Para n=2,
>>> > dá mais trabalho.
>>> >
>>> > 2017-07-08 23:20 GMT+03:00 Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com
>>> >:
>>> >> Galera, queria que alguém pudesse resolver essa questão pra mim
>>> ( passei muito tempo nela já kkk):
>>> >> " Seja n um natural positivo e A um conjunto de 2n+1 números
>>> reais, não necessariamente distintos, com a seguinte propriedade:
>>> >> - Todo subconjunto de A com 2n elementos pode ser particionado em
>>> dois conjuntos de n elementos tais que a soma dos elementos de cada um
>>> desses dois conjuntos de n elementos são iguais.
>>> >> Prove que todos os elementos de A são iguais."
>>> >>
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>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
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>>> =========================================================================
>>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >>
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>>> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
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>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
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>>> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
