Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
f(x)+f(y)=1+x
f(y)+f(z)=1+y
f(z)+f(x)=1+z
pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
acharíamos f(x).
Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)).
Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) --
observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que
nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de
valores {x_k} de "órbita" do número a.
Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f
dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais
nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a
órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode
ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como
recorrência.
Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão,
para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a
para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que
é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais.
Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que
fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis,
então há várias órbitas infinitas.... Acho.
Abraço, Ralph.
P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a
lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
interessante, não?
P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer
algo usando o limite de x_k...
On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
wrote:
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
