Olá pessoal,
Devemos ser cuidadosos com este livro. Há muitas respostas
inconsistentes no gabarito.
Carlos Victor
Em 12/06/2018 14:00, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e,
> verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções
> afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos
> polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci.
> E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a
> solução temos:
>
> f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 +
> x^2/(2x^2-3x+1)
>
> só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado
> esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse
> desenvolvimento?
>
> Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução.
>
> Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x
>
> Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==>
> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4
>
> mas aplicando a solução proposta:
>
> f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5)
> - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto,
> de cara, pela existência do termo raiz(5)^3.
>
> O problema não está fechando, creio eu.
> Ou defeito na proposição ou no resultado.
> Saudações, PJMS
>
> Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
> escreveu:
>
> Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( Gandhi
> )
> E resposta que ele diz é
> R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1)
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
> escreveu:
>
> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x
>
> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
> escreveu:
> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer
> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então:
> f(x)+f(y)=1+x
> f(y)+f(z)=1+y
> f(z)+f(x)=1+z
> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha,
> acharíamos f(x).
>
> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio abaixo,
> porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver isso, mas
> estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma bobagem imensa.
>
> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). Dado
> um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- observe
> que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que nenhum dos
> números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de valores {x_k} de
> "órbita" do número a.
>
> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f dentro
> de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais nada, ou
> seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a órbita é
> infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode ESCOLHER f(a) como
> quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como recorrência.
>
> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, para
> vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a para
> algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que é uma
> equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. Então,
> mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que fazem a
> órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, então há
> várias órbitas infinitas.... Acho.
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a lista...
> Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é
> interessante, não?
> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer algo
> usando o limite de x_k...
>
> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
> wrote:
>
> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que
>
> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) .
>
> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x .
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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