Boa tarde!
Acho estranho, pois fui compondo g(x) com g(x), sendo g(x)=(1-x)/x e, verifiquei que nunca vai dar a identidade. Dá o quociente de duas funções afins e portanto nunca dará x. Por curiosidade, os coeficientes dos polinômios de primeiro grau são, em módulo, termos da sequência de Fibonacci. E continuo achando estranho pois se supormos que f(x)=x^3-x^2-1/[x(x-1)] é a solução temos: f(x)+f((1-x)/x)=f(x)+f(1/x-1)= x^3-x^2-1/[x(x-1)] + 1/x^3 - 4/x^2 + 5/x - 2 + x^2/(2x^2-3x+1) só que pela definição tem que ser igual a 1+x, não vejo como será cancelado esse termo em x^3, por exemplo. Será que fiz barbeiragem nesse desenvolvimento? Pois, me parece que algo de errado, ou com o enunciado ou com a solução. Não satisfeito, peguei x = (-1+ raiz(5))/2, que é uma das raízes de (1-x)/x=x Pela definição temos 2f((-1+raiz(5))/2) = 1 + (-1+raiz(5)/2) ==> f((-1+raiz(5))/2) = (1+raiz(5))/4 mas aplicando a solução proposta: f((-1+raiz(5)/2)) = 1/8 (-1 + 3raiz(5) -15 +raiz(5)^3) - 1/4(1 -2raiz(5) +5) - 1 = 1/8 ( -12+raiz(5)+raiz(5)^3 <> (1+raiz(5))/4, que já poderia ser visto, de cara, pela existência do termo raiz(5)^3. O problema não está fechando, creio eu. Ou defeito na proposição ou no resultado. Saudações, PJMS Em 11 de junho de 2018 23:31, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com> escreveu: > > Esse é o problema 2901 do livro Problemas Selecionados de Matemática ( > Gandhi ) > E resposta que ele diz é > R: x^3 - x^2 - 1 / x(x-1) > > Em seg, 11 de jun de 2018 às 12:15, Jeferson Almir < > jefersonram...@gmail.com> escreveu: > >> Isso mesmo Ralph eu sei fazer g(x) = (x-1)/x >> >> Em seg, 11 de jun de 2018 às 11:33, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> >> escreveu: >> >>> Puxa, se fosse g(x)=(x-1)/x ali dentro do segundo termo, eu sabia fazer >>> rápido... :( Era só escrever y=g(x), z=g(y), e então: >>> f(x)+f(y)=1+x >>> f(y)+f(z)=1+y >>> f(z)+f(x)=1+z >>> pois é fácil ver que g(z)=g(g(g(x)))=x. Resolvendo esse sisteminha, >>> acharíamos f(x). >>> >>> Porém, com esse enunciado... Hm, alguém confere aqui o raciocínio >>> abaixo, porque acho que eu consigo mostrar que **não dá** para resolver >>> isso, mas estou morrendo de sono, então provavelmente escrevi alguma >>> bobagem imensa. >>> >>> Observe que g(x)=(1-x)/x é injetiva (e sua inversa é g^(-1)(y)=1/(1+y)). >>> Dado um x_0=a, crie a sequência {x_k} com k inteiro onde x_(k+1)=g(x_k) -- >>> observe que crio isto incluindo k negativo, o que é possível desde que >>> nenhum dos números da órbita seja 0 ou -1. Vou chamar o **conjunto** de >>> valores {x_k} de "órbita" do número a. >>> >>> Pois bem, a equação funcional só dá informações sobre os valores de f >>> dentro de cada órbita! Ela diz que f(x_k)+f(x_(k+1))=1+x_k (*), e mais >>> nada, ou seja, ela não relaciona os valores de f em órbitas distintas! Se a >>> órbita é infinita, isto é, se os x_k são todos distintos, você pode >>> ESCOLHER f(a) como quiser e calcular os outros f(x_k) usando (*) como >>> recorrência. >>> >>> Agora você me pergunta: porque a órbita não fecha? Bom, você tem razão, >>> para vários valores de "a" a órbita fecha, isto é, poderia ser x_P=x_0=a >>> para algum P<>0... Mas a equação x_P=a quer dizer g(g(g(...g(a))...)=a, que >>> é uma equação quadrática (né?), e portanto tem no máximo 2 raízes reais. >>> Então, mesmo que consideremos todos os P possíveis, o conjunto dos a que >>> fazem a órbita fechar é enumerável... Bom, os reais não são enumeráveis, >>> então há várias órbitas infinitas.... Acho. >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> P.S.: Se eu tivesse bom senso, conferia isso antes de mandar para a >>> lista... Ah, dane-se, mesmo que eu esteja errado este tipo de raciocínio é >>> interessante, não? >>> P.S.2: Se o enunciado falar que f é *contínua*, aí talvez dê para fazer >>> algo usando o limite de x_k... >>> >>> On Mon, Jun 11, 2018 at 8:32 AM Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com> >>> wrote: >>> >>>> Seja f(x) uma função real definida em R -{0,1} tal que >>>> >>>> f(x) + f( 1-x | x ) =1 + x determine f (x) . >>>> >>>> Obs: ( 1-x | x) é 1-x dividido por x . >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.