Obrigado, Claudio! Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema!
Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Mais uma observação... > > As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus > recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de > comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que > se cancelar (pro produto ser igual a 1). > > Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos de > DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado BC > e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura BK > (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). > > No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), > implica que: > AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. > > Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em > termos de BH e HC. > > []s, > Claudio. > > > > 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: > >> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". >> >> Mas também acho que Menelaus é o caminho. >> >> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o >> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) >> a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente >> colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica >> o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). >> >> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB >> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos >> é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: >> AR/RB >> * BP/PC * CQ/QA = 1) >> >> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários >> triângulos retângulos. >> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também >> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são >> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, >> escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que >> evita erros bobos). >> >> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC >> cortado pela reta PDE. >> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * BP/PC >> * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. >> >> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei >> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, >> AEH e HEC). >> >> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. >> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. >> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB (idem >> para EA*CE). >> >> E neste ponto eu empaquei... >> >> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante a >> HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de >> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar >> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos >> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema >> de Menelaus. >> >> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso >> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: >> >>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema >>> de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? >>> >>> Obrigado! >>> >>> >>> >>> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura >>> construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o >>> ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos >>> vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados >>> AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
