Em dom, 5 de ago de 2018 às 20:13, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > Em qua, 1 de ago de 2018 às 13:11, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > > > Acabei de ver outro problema sobre colinearidade. É de uma competição de > > Singapura em 1989: > > > > Considere o triângulo ABC. Em BC (ou seu prolongamento), tome o ponto X tal > > que AX seja tangente ao circumcírculo (círculo circunscrito) de ABC. De > > forma análoga, tome Y em AC e Z em AB tais que BY e CZ também sejam > > tangentes ao circumcírculo de ABC. Prove que X, Y e Z são colineares. > > > > Ainda não resolvi esse, mas tive a tentação de escrever o dual desse > problema, como em geometria projetiva: > > Dado um triângulo ABC. > > Seja X_A o ponto do plano tal que BX_A e CX_A são tangentes ao > circuncírculo de ABC. Analogamente se definem X_B e X_C. > > Mostre que AX_A, BX_B e CX_C são concorrentes. > > Usar Ceva Trigonométrico aqui parece uma ótima pedida!
Respondendo a mim mesmo! Pois bem, acredito que é até mais interessante que isso! Basta observar o triângulo X_AX_BX_C. Nele, as cevianas AX_A, BX_B e CX_C são concorrentes, pela obviedade AX_C=BX_C e um uso de Ceva comum mesmo. E isso prova o teorema dual. Acredito que o mesmo triângulo pode ajudar a resolver o problema original, em alguma formulação alternativa... > > > []s, > > Claudio. > > > > > > 2018-07-20 0:17 GMT-03:00 Vinícius Raimundo <vini.raimu...@gmail.com>: > >> > >> Com auxílio do que foi discutido anteriormente acredito ter uma solução > >> Tome os ângulos ABC=y e BCA=z > >> Após marcar alguns ângulos, temos: > >> Teorema da bicetriz interna genaralizado nos triângulos AHC e AHB, > >> respectivamente: > >> EC/EA=HC.cosz/AH.senz > >> DA/DB=AH.seny/HB.cosy > >> > >> Menelaus em ABC com P, D e E colineares > >> PB/PC*EC/EA*DA/DB=1 > >> > >> Substituindo as relações acima obtemos: > >> PB/PC=BH/HC*cosy/seny*senz/cosz > >> > >> Assim o mesmo pode ser feito para achar QC/QA e RA/RB > >> Os fatores trigonométricos se cancelarão e o teorema de Ceva para os pés > >> das alturas termina de resolver o problema > >> > >> Em qui, 19 de jul de 2018 às 13:29, Vanderlei Nemitz > >> <vanderma...@gmail.com> escreveu: > >>> > >>> Obrigado, Claudio! > >>> Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema! > >>> > >>> Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara > >>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >>>> > >>>> Mais uma observação... > >>>> > >>>> As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus > >>>> recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de > >>>> comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão > >>>> que se cancelar (pro produto ser igual a 1). > >>>> > >>>> Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos > >>>> de DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao > >>>> lado BC e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente > >>>> altura BK (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). > >>>> > >>>> No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são > >>>> concorrentes), implica que: > >>>> AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. > >>>> > >>>> Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em > >>>> termos de BH e HC. > >>>> > >>>> []s, > >>>> Claudio. > >>>> > >>>> > >>>> > >>>> 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: > >>>>> > >>>>> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". > >>>>> > >>>>> Mas também acho que Menelaus é o caminho. > >>>>> > >>>>> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o > >>>>> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = > >>>>> -1) a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são > >>>>> sabidamente colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são > >>>>> colineares, você aplica o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos > >>>>> colineares). > >>>>> > >>>>> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: > >>>>> AR/RB * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos > >>>>> segmentos é relevante nesse problema, basta trabalhar com os > >>>>> comprimentos sem sinal: AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1) > >>>>> > >>>>> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários > >>>>> triângulos retângulos. > >>>>> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também > >>>>> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são > >>>>> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos > >>>>> homólogos, escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um > >>>>> bom hábito que evita erros bobos). > >>>>> > >>>>> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC > >>>>> cortado pela reta PDE. > >>>>> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * > >>>>> BP/PC * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. > >>>>> > >>>>> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei > >>>>> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são > >>>>> AHC, AEH e HEC). > >>>>> > >>>>> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. > >>>>> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. > >>>>> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB > >>>>> (idem para EA*CE). > >>>>> > >>>>> E neste ponto eu empaquei... > >>>>> > >>>>> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante > >>>>> a HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, > >>>>> de alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a > >>>>> encontrar expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua > >>>>> vez, nos daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do > >>>>> recíproco do teorema de Menelaus. > >>>>> > >>>>> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso > >>>>> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... > >>>>> > >>>>> []s, > >>>>> Claudio. > >>>>> > >>>>> > >>>>> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: > >>>>>> > >>>>>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o > >>>>>> teorema de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia > >>>>>> fazer? > >>>>>> > >>>>>> Obrigado! > >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura > >>>>>> construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P > >>>>>> o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas > >>>>>> aos vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre > >>>>>> os lados AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. > >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> > >>>>>> -- > >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>>>> > >>>>> > >>>> > >>>> > >>>> -- > >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>>> acredita-se estar livre de perigo. > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
