Em qua, 1 de ago de 2018 às 13:11, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > Acabei de ver outro problema sobre colinearidade. É de uma competição de > Singapura em 1989: > > Considere o triângulo ABC. Em BC (ou seu prolongamento), tome o ponto X tal > que AX seja tangente ao circumcírculo (círculo circunscrito) de ABC. De forma > análoga, tome Y em AC e Z em AB tais que BY e CZ também sejam tangentes ao > circumcírculo de ABC. Prove que X, Y e Z são colineares. >
Ainda não resolvi esse, mas tive a tentação de escrever o dual desse problema, como em geometria projetiva: Dado um triângulo ABC. Seja X_A o ponto do plano tal que BX_A e CX_A são tangentes ao circuncírculo de ABC. Analogamente se definem X_B e X_C. Mostre que AX_A, BX_B e CX_C são concorrentes. Usar Ceva Trigonométrico aqui parece uma ótima pedida! > []s, > Claudio. > > > 2018-07-20 0:17 GMT-03:00 Vinícius Raimundo <vini.raimu...@gmail.com>: >> >> Com auxílio do que foi discutido anteriormente acredito ter uma solução >> Tome os ângulos ABC=y e BCA=z >> Após marcar alguns ângulos, temos: >> Teorema da bicetriz interna genaralizado nos triângulos AHC e AHB, >> respectivamente: >> EC/EA=HC.cosz/AH.senz >> DA/DB=AH.seny/HB.cosy >> >> Menelaus em ABC com P, D e E colineares >> PB/PC*EC/EA*DA/DB=1 >> >> Substituindo as relações acima obtemos: >> PB/PC=BH/HC*cosy/seny*senz/cosz >> >> Assim o mesmo pode ser feito para achar QC/QA e RA/RB >> Os fatores trigonométricos se cancelarão e o teorema de Ceva para os pés das >> alturas termina de resolver o problema >> >> Em qui, 19 de jul de 2018 às 13:29, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> >> escreveu: >>> >>> Obrigado, Claudio! >>> Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema! >>> >>> Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara >>> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>> Mais uma observação... >>>> >>>> As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus >>>> recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de >>>> comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que >>>> se cancelar (pro produto ser igual a 1). >>>> >>>> Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos de >>>> DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado BC >>>> e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura BK >>>> (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). >>>> >>>> No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), >>>> implica que: >>>> AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. >>>> >>>> Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em >>>> termos de BH e HC. >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> >>>> 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: >>>>> >>>>> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". >>>>> >>>>> Mas também acho que Menelaus é o caminho. >>>>> >>>>> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o >>>>> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = >>>>> -1) a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são >>>>> sabidamente colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são >>>>> colineares, você aplica o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos >>>>> colineares). >>>>> >>>>> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB >>>>> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos >>>>> segmentos é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos >>>>> sem sinal: AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1) >>>>> >>>>> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários >>>>> triângulos retângulos. >>>>> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também >>>>> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são >>>>> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos >>>>> homólogos, escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um >>>>> bom hábito que evita erros bobos). >>>>> >>>>> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC >>>>> cortado pela reta PDE. >>>>> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * BP/PC >>>>> * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. >>>>> >>>>> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei >>>>> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, >>>>> AEH e HEC). >>>>> >>>>> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. >>>>> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. >>>>> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB (idem >>>>> para EA*CE). >>>>> >>>>> E neste ponto eu empaquei... >>>>> >>>>> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante a >>>>> HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de >>>>> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar >>>>> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos >>>>> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do >>>>> teorema de Menelaus. >>>>> >>>>> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso >>>>> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... >>>>> >>>>> []s, >>>>> Claudio. >>>>> >>>>> >>>>> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: >>>>>> >>>>>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema >>>>>> de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? >>>>>> >>>>>> Obrigado! >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura >>>>>> construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o >>>>>> ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos >>>>>> vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os >>>>>> lados AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. >>>>>> >>>>>> >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
