Com auxílio do que foi discutido anteriormente acredito ter uma solução Tome os ângulos ABC=y e BCA=z Após marcar alguns ângulos, temos: Teorema da bicetriz interna genaralizado nos triângulos AHC e AHB, respectivamente: EC/EA=HC.cosz/AH.senz DA/DB=AH.seny/HB.cosy
Menelaus em ABC com P, D e E colineares PB/PC*EC/EA*DA/DB=1 Substituindo as relações acima obtemos: PB/PC=BH/HC*cosy/seny*senz/cosz Assim o mesmo pode ser feito para achar QC/QA e RA/RB Os fatores trigonométricos se cancelarão e o teorema de Ceva para os pés das alturas termina de resolver o problema Em qui, 19 de jul de 2018 às 13:29, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> escreveu: > Obrigado, Claudio! > Vou usar suas valiosas dicas para tentar resolver o problema! > > Em qua, 18 de jul de 2018 11:51, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Mais uma observação... >> >> As três razões que entram na aplicação final do teorema de Menelaus >> recíproco ( AR/RB * BP/PC * CQ/QA = 1 ) devem ser expressas em termos de >> comprimentos de segmentos do triângulo ABC que, de alguma forma, terão que >> se cancelar (pro produto ser igual a 1). >> >> Assim, por exemplo, a expressão final de BP/PC não poderá ser em termos >> de DH e EH, pois estes dois segmentos só são relevantes em relação ao lado >> BC e à altura AH, mas não em relação ao lado AC e a correspondente altura >> BK (K em AC), e nem ao lado AB e altura CJ (J em AB). >> >> No entanto, o teorema de Ceva aplicado às alturas (que são concorrentes), >> implica que: >> AJ/JB * BH/HC * CK*KA = 1. >> >> Isso significa que talvez devêssemos procurar expressar a razão BP/PC em >> termos de BH e HC. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> 2018-07-18 10:59 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: >> >>> A figura completa é chatinha de fazer e fica muito "entulhada". >>> >>> Mas também acho que Menelaus é o caminho. >>> >>> Nesse tipo de problema, eu diria que primeiro você precisa aplicar o >>> teorema de Menelaus direto (pontos colineares ==> produto das razões = -1) >>> a fim de achar as razões adequadas a partir de pontos que são sabidamente >>> colineares e, no final, pra provar que P, Q e R são colineares, você aplica >>> o recíproco (produto das razões = -1 ==> pontos colineares). >>> >>> Assim, começando pelo final, eu diria que o objetivo é provar que: AR/RB >>> * BP/PC * CQ/QA = -1 (ou, como não me parece que a orientação dos segmentos >>> é relevante nesse problema, basta trabalhar com os comprimentos sem sinal: >>> AR/RB >>> * BP/PC * CQ/QA = 1) >>> >>> Como o enunciado fala em alturas e perpendiculares, vão aparecer vários >>> triângulos retângulos. >>> Isso significa que talvez seja necessário usar Pitágoras e também >>> semelhança (já que, por exemplo, os triângulos AHB, HDB e ADH são >>> semelhantes - com pontos correspondentes e, portanto, segmentos homólogos, >>> escritos na mesma ordem em cada um dos triângulos: sempre um bom hábito que >>> evita erros bobos). >>> >>> Por exemplo, os pontos mencionados no enunciado mostram o triângulo ABC >>> cortado pela reta PDE. >>> Menelaus aplicado a este triângulo e esta reta implica que: AD/DB * >>> BP/PC * CE/EA = 1 ==> BP/PC = DB/AD * EA/CE. >>> >>> Agora, DB e AD são lados dos triângulos semelhantes que eu mencionei >>> acima. Idem para EA e CE (neste caso, os triângulos semelhantes são AHC, >>> AEH e HEC). >>> >>> A semelhança de HDB e ADH implica que: DB/DH = DH/AD. >>> A semelhança de AEH e HEC implica que: EA/EH = EH/CE. >>> Infelizmente, isso resulta no produto DB*AD ao invés da razão AD/DB >>> (idem para EA*CE). >>> >>> E neste ponto eu empaquei... >>> >>> Mas acho que, como ainda não foram usados os triângulos AHB (semelhante >>> a HDB e ADH) e AHC (semelhante a AEH e HEC), que têm o lado AH comum, de >>> alguma forma (talvez usando Pitágoras) estes podem ajudar a encontrar >>> expressões úteis para as razões DB/AD e EA/CE, o que, por sua vez, nos >>> daria a razão BP/PC, a ser usada na aplicação final do recíproco do teorema >>> de Menelaus. >>> >>> Ou então, é claro, este caminho pode não levar a nada e será preciso >>> recomeçar do zero...matemática é assim mesmo... >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> 2018-07-17 22:22 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com>: >>> >>>> A questão a seguir é da prova do IME de 1991. Tentei utilizar o teorema >>>> de Menelaus, mas não conseguir demonstrar. Como eu poderia fazer? >>>> >>>> Obrigado! >>>> >>>> >>>> >>>> Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura >>>> construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC. Seja P o >>>> ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos >>>> vértices B e C determinam-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados >>>> AC e AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
