Acho que não precisa entrar na integral de Lebesgue. Como os pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida nula, a Riemann-integrabilidade está provada. Como c(x) = 0 em [0,1], exceto por um conjunto de medida nula (justamente o conjunto de Cantor), no qual c(x) = 1, a integral só pode ser igual a zero. Basta cobrir o conjunto de Cantor com uma união enumerável de intervalos fechados cuja soma dos comprimentos é <= epsilon = número positivo arbitrariamente pequeno e definir f:[0,1] -> R por f(x) = 1 se x pertence a algum destes intervalos e f(x) = 0, caso contrário. Então c(x) <= f(x) em [0,1] ==> Integral(0...1) c(x)dx <= Integral(0...1) f(x)dx <= epsilon ==> Integral = 0.
On Sat, Aug 25, 2018 at 8:41 PM Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a > integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann > é nula, precisamos antes verificar que a integral de Lebesgue com a medida > de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta > medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um > intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis > coincidem. > > Artur Costa Steiner > > Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de >> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1. >> Logo, tem medida nula. >> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus >> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já >> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto. >> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo >> critério de Lebesgue) e igual a zero. >> >> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer >> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de >> irracionais). >> Logo, não é Riemann-integrável. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que >>> >>> Integral [0, 1] c(x) dx =0 >>> >>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função >>> característica dos racionais. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
