Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos <thaci...@gmail.com>
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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