Queremos provar que não existem soluções inteiras não nulas para:x^2+y^2=z^2
(1)x^2-y^2=w^2 (2)Rearranjando (2), teremos x^2=y^2+w^2Só que é um fato
matemático conhecido de que ternas pitagóricas possuem a formax = (u^2 - v^2)dy
= 2uvdz = (u^2+v^2)dPara inteiros u, v e d com mdc(u, v)=1. (Fica como
exercício para o leitor provar que y é par)Fazendo o mesmo em (2), teremos:y=
2efgw = (e^2-f^2)gx = (e^2+f^2)gDaí vem que 2efg = 2uvd implicando que
g=(uvd)/(ef)Vem também que (e^2+f^2)g = (u^2+v^2)d e, assim, (e^2+f^2)uv =
ef(u^2+v^2)Só que daí uv | ef(u^2+v^2)uv | ef(u^2+v^2) + ef * 2uvuv | ef
(u+v)^2u | uv | ef(u+v)^2u | efv^2u | efAnalogamente v | ef, só que como mdc(u,
v) = 1, então uv | efAnalogamente ef | uv, logo ef=uv, portanto d=g e
e^2+f^2=u^2+v^2 de sorte que z = (u^2+v^2)d = (e^2+f^2)g = x;Só que de z=x, vem
da equação (1) que y=0, absurdo.Enviado do meu smartphone Samsung Galaxy.
-------- Mensagem original --------De : Jeferson Almir
<jefersonram...@gmail.com> Data: 13/08/2019 20:06 (GMT-03:00) Para:
obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Triplas pitagoricas Tem que ser algo
do tipo Israel x^2 + y^2 = A^2x^2 - y^2 = B^2Em ter, 13 de ago de 2019 às
19:56, Israel Meireles Chrisostomo <israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:opa
me desculpe ju errei aqui desculpe -me
Livre de vírus. www.avg.com.
Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:46, Israel Meireles Chrisostomo
<israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:Suponha sem perda de generalidade que
x,y,z são positivos. Vc tem x^2 + y^2 = z^2 e x^2 - y^2 = z^2 somando as duas
equações temos x^2=z^2 e então x=z por outro lado subtraindo as duas igualdades
y^2=z^2 o que implica que y=z isso implica que 2x^2=x^2 e então 2=1 o que é um
absurdo
Livre de vírus. www.avg.com.
Em ter, 13 de ago de 2019 às 19:29, Jeferson Almir <jefersonram...@gmail.com>
escreveu:Como eu provo que não existem 2 naturais cuja soma e diferença de seus
quadrados sejam quadrados ?Ps: eu tentei pegar a solução clássica da equação da
soma x^2 + y^2 = z^2 e tentei jogar na diferença pra aparecer algum absurdo em
algum módulo mas obtive sucesso.
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-- Israel Meireles Chrisostomo
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