Luiz Antonio, Creio que os livros de Cálculo cubram integrais iteradas. Eu estudei pelo livro do James Stewart, mas dê uma olhada no livro que você já está acostumado que deve ter esse conteúdo.
Mas, basicamente, quando você tem algo do tipo [image: image.png] Você primeiro integra f(x,y,z) de x0 até x1. O resultado vai ser uma função g(y,z). Então integra g(y,z) de y0 até y1, e o resultado vai ser uma h(z). Então integra h(z) de z0 até z1 e obtém um número. (ou seja, vai integrando de dentro pra fora) Outra coisa: esse processo é o mesmo independente da quantidade de integrais que você tiver: integral dupla, tripla, quadrupla, etc é sempre de dentro pra fora. Uma aplicação de integrais iteradas é justamente o cálculo de volume. Se f(x,y,z) = 1, então a integral iterada em dxdydz vai ser o volume do sólido definido pelos limites de integração (volume da região de integração). Um detalhe é que os limites de integração podem ser em função das variáveis mais externas (no caso da imagem, os limites de x podem depender de y e z, e os limites de y podem depender de z, mas os limites de z devem ser fixos) Atenciosamente, Rodrigo de Castro Ângelo Em qua., 12 de fev. de 2020 às 12:14, Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> escreveu: > Olá, Claudio! > Olá, Pedro! > Tudo bem? > Muito obrigado pela resposta! > Eu estava tentando resolver o problema "empilhando" secções do plano xy, > mas demorei para perceber que eram trapézios. > Isso não deixa de ser uma forma de integração. > Vocês podem me indicar um bom material para eu aprender a trabalhar com as > integrais duplas e triplas? > Percebi que pelas integrais duplas é bem mais fácil. > Não tenho muito conhecimento para utilizar as integrais triplas. > Abraços! > Luiz > > > > Em qua, 12 de fev de 2020 9:29 AM, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: > >> Bom dia! >> Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por >> integral tripla, usando f(x,y,z)=1. >> >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José <petroc...@gmail.com> >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >>> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >>> me ajudasse onde errei na integral tripla. >>> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >>> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >>> Onde está o erro? >>> Grato, >>> PJMS >>> >>> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> >>>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) >>>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo >>>> da z = raiz(x+y). >>>> A superfície e o plano se intersectam numa reta: >>>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z >>>> = 2. >>>> >>>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais >>>> duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e >>>> x+y = 4. >>>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. >>>> >>>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx >>>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx >>>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) >>>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) >>>> = 64/3 - 128/15 >>>> = 64/5 >>>> >>>> A segunda integral é: >>>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx >>>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx >>>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx >>>> = 32/3 >>>> >>>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) >>>> >>>> []s, >>>> Claudio. >>>> >>>> >>>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>>> >>>>> Olá, pessoal! >>>>> Tudo bem? >>>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>>> >>>>> Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>>> >>>>> z^2<x+y<2*z >>>>> >>>>> Sendo que: >>>>> x>0 e y>0 e z>0 >>>>> >>>>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em >>>>> questão. >>>>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo >>>>> o resultado por 4. >>>>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>>>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>>>> Alguém pode me ajudar? >>>>> Muito obrigado e um abraço! >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
