Vamos fixar um z (entre 0 e 2) para desenhar a seção horizontal. Como x+y=z^2 e x+y=2z são duas retas paralelas, a seção horizontal é um trapézio mais ou menos assim:
|\ | \ | \ | \ | \ \ \ \____\ As retas inclinadas são x+y=z^2, e x+y=2z. A reta vertical é o eixo y entre z^2 e z, e a horizontal é o eixo x entre z^2 e z. Então o problema na sua integral é que nem sempre o x vai de z^2-y até 2z-y, depende do valor de y! Trace uma vareta horizontal atravessando o trapézio: -- Na parte "de baixo" do trapézio, a vareta fura o trapézio nas duas retas inclinadas, ou seja, ali temos o x variando de z^2-y até 2z-y que nem você falou. Mas isso é só na parte de baixo, ou seja, apenas quando 0<y<z^2; -- Na parte de cima, a vareta fura na reta vertrical e na inclinada, isto é, 0<x<2z. Isto acontece quando z^2<y<z. Ou seja, para resolver isso com uma integral tripla dxdydz, vai ter que dividi-la em duas: Int (0 a 2) Int (0 a z^2) Int (z^2-y a 2z-y) dx dy dz + + Int (0 a 2) Int (z^2 a z) Int (0 a 2z-y) dx dy dz ---///--- Outra opção (equivalente ao que o Buffara fez, mas subtraindo no plano antes de integrar para achar o volume): o trapézio pode ser pensado como a diferença de dois triângulos retângulos isósceles com vértice na origem -- um grande tem cateto 2z, o pequeno z^2. Então a área de cada trapézio é: [(2z)^2 - (z^2)^2]/2 = 2z^2-z^4/2 que, naturalmente, varia com z. Note que, como era de se esperar, a área dá 0 em z=0 e z=2. Agora é só integrar essa área para 0<=z<=2. Ou seja: Volume = 2.2^3/3 - 2^5/10 = 16/3 - 16/5 = 32/15. Abraço, Ralph. On Wed, Feb 12, 2020 at 9:29 AM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por > integral tripla, usando f(x,y,z)=1. > > Grato, > PJMS > > Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José <petroc...@gmail.com> > escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos >> limites e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém >> me ajudasse onde errei na integral tripla. >> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e >> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz. >> Onde está o erro? >> Grato, >> PJMS >> >> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas) >>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo >>> da z = raiz(x+y). >>> A superfície e o plano se intersectam numa reta: >>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z >>> = 2. >>> >>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais >>> duplas, calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e >>> x+y = 4. >>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA. >>> >>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica: >>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx >>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx >>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2)) >>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2) >>> = 64/3 - 128/15 >>> = 64/5 >>> >>> A segunda integral é: >>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx >>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx >>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx >>> = 32/3 >>> >>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15 (se não errei nenhuma conta...) >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues < >>> rodrigue...@gmail.com> wrote: >>> >>>> Olá, pessoal! >>>> Tudo bem? >>>> Estou tentando resolver o seguinte problema: >>>> >>>> Ache o volume da região tridimensional definida por: >>>> >>>> z^2<x+y<2*z >>>> >>>> Sendo que: >>>> x>0 e y>0 e z>0 >>>> >>>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão. >>>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o >>>> resultado por 4. >>>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta. >>>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta. >>>> Alguém pode me ajudar? >>>> Muito obrigado e um abraço! >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
