Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e ver o que acontece.
Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e a tal coroa continua ali; -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar presente no tempo (n+1). Portanto, sempre teremos coroas. (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que repetir. Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n), revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos, concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para A! Bônus!) Abraço, Ralph. On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> wrote: > Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP 2021 > N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! > > 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a > face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que > inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no > sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas > opções: > •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face > coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. > •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face > cara virada para cima, nada acontece. > > Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, > e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. > > Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? > > Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa > virada para cima? > > Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, > todas as moedas fiquem com a face cara para cima. > > Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas > voltarão a ficar com a face coroa para cima. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
