Obrigado, Ralph! Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:
> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e > ver o que acontece. > > Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de > movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o > tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc. > > Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu > afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato: > -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e > a tal coroa continua ali; > -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar > presente no tempo (n+1). > Portanto, sempre teremos coroas. > (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de > "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que > apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja, > impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".) > > Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações > possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note > que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo > avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que > repetir. > Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber > que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever > exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o > sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n), > revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema > tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos, > concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no > tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para > A! Bônus!) > > Abraço, Ralph. > > On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> > wrote: > >> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP >> 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu! >> >> 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a >> face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que >> inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no >> sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas >> opções: >> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >> face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada. >> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a >> face cara virada para cima, nada acontece. >> >> Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, >> e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima. >> >> Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento? >> >> Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa >> virada para cima? >> >> Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos, >> todas as moedas fiquem com a face cara para cima. >> >> Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas >> voltarão a ficar com a face coroa para cima. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Pedro Jerônimo S. de O. Júnior Professor de Matemática Geo João Pessoa – PB -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
