On 26 Mar 99 at 21:07, Malgorzata Zajac wrote:
> Na prosbe kilku osob puszczam na liste przyklady zadan z zawodow
> (czas na jedno 20-30 min.):
Tylko niektore, tak "na szybko":
> Etap szkolny :
>
> * Dana jest lista n zdan. Zdanie o numerze k (gdzie k=1,2,3,..,n)
> brzmi: "na niniejszej liscie jest dokladnie k zdan falszywych".
> Wskaz wszystkie zdania prawdziwe.
No nie da sie inaczej, tylko prawdziwe moze byc wylacznie zdanie
nr n-1.
> * Suma wszystkich dzielnikow pewnej liczby naturalnej jest 2 razy
> wieksza od tej liczby. Oblicz sume odwrotnosci tych dzielnikow.
A to ladne. Najpierw kombinowalem, co to znaczy "wszystkich"
i czy liczyc sama siebie. Ale jak wszystkich to wszystkich.
Takie liczby nazywaja sie doskonalymi, np 6 czy 28. Jak napiszemy
sume odwrotnosci, to trzeba bedzie sprowadzic do wspolnego
mianownika, i to bedzie nasza liczba doskonala, a kazdy ulamek
bedzie mial inny licznik- liczniki to te podzielniki. Suma
tych licznikow to 2 razy tyle co nasza liczba, a wiec wynik 2.
> Etap rejonowy :
>
> * Wykazac, ze jezeli miedzy wspolczynnikami rownan x^2+px+q=0
> i x^2+mx+n=0 zachodzi zwiazek mp=2(n+q), to przynajmniej
> jedno z tych rownan ma rozwiazanie.
No tak, czyli obie delty nie moga byc rownoczesnie <0. Zobaczmy
gdy sa: m^2-4n<0 oraz p^2-4q<0. W sumie oczywiscie
m^2+p^2-4(n+q)<0. Ale mamy zwiazek i z niego m^2+p^2-2mp<0,
czyli (m-p)^2<0, a to jest niemozliwe dla liczb rzeczywistych.
Dowod nie wprost.
> * Wyznaczyc miary katow trojkata prostokatnego, w ktorym stosunek
> promienia okregu wpisanego do promienia okregu opisanego
> jest najwiekszy
Zadania z trojkatami sa zwykle fajne. Tutaj kombinowalem tak:
Ropisany=c/2=sqrt(aa+bb)/2, rwpisany mamy stad, ze jak poprowadzimy
z jego srodka odcinki do wierzcholkow, to trojkat dzieli nam sie
na 3 male, ktorych suma pol jest polem calego trojkata, a jedno
takie ma ar/2, br/2 i cr/2, czyli (a+b+c)r/2=ab/2, a wiec
r=ab/(a+b+c)=ab/(a+b+sqrt(aa+bb)). I dalej:
r/R=(ab/(a+b+sqrt...)):(sqrt.../2). Oj, nie chce mi sie tego
pisac, w kazdym razie jesli to ma byc najwieksze, to po
zamianie licznika i mianownika powinnismy dostac cos najmniejszego,
a to jest po przeksztalceniach c/b+c/a+a/b+b/a, czyli jesli
jeden z katow ostrych jest alfa, to mamy jak raz 1/sin+1/cos+tg+ctg
ma byc jak najmniejszy, a wiec pochodna tego rowna 0 w przedziale
od 0 do 90 deg. Zanosi sie po zmudnych obliczeniach na to, ze
wychodzi cos=sin, czyli 45 stopni.
> Zycze milej rozrywki.
>
> Malgorzata
>
Bylo milo,
Andrzej
