Re: [obm-l] Construir Wiki-livro online sobre problemas olímpicos
Bem, não será idéia incluir problemas de física, apenas matemática olímpica. É muito fácil desestruturar o wiki se pensarmos em colocar problemas não relacionados com matemática. Daí a pouco o projeto simplesmente se desvirtua dos seus objetivos originais. Nada contra física, apenas não será o objeto de discussão do wiki. Logotipo? Bem, vamos precisar de um pouco mais de criatividade. Talvez uma eleição entre alguns logos. Minha idéia é que o logo seja algo como um nó (de Teoria dos Nós), talvez um Trefoil ( http://en.wikipedia.org/wiki/Image:TrefoilKnot-01.png) Bem, vou dar uma olhada no meu tempo disponível... Em 22/11/06, regis barros [EMAIL PROTECTED] escreveu: eu achei uma boa idéia e agora quais problemas tecnicos teria para fazer tal empretada. podemos até estender para a fisica. regis *Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]*escreveu: Bem, estava pensando cá com meus botões se não seria possível compilar na forma de livro uma coletânea de problemas de matemática olímpica, com soluções das mais variadas nelas. A idéia é que geralemnte muitas das soluções não tomam conhecimento público, seja porque não foram as mais geniais ou as mais curtas ou as mais alguma coisa. Por exemplo, o problema 4 da XXIV OBM tem uma solução bem diferente (e 100% braçal!) do que a do Marcio Cohen divulgada na Eureka! É a solução do Shine, que basicamentye consistia em abrir tudo e tentar fatorar o polinômio resultante. Nào é uma solução que entraria para O Livro, mas certamente vale ser citada (mais pela macheza e sem-noção de ter ido tão longe de que por algum mérito de beleza :P). Poderia citar outros casos, como problemas que ninguém resolve e só sobra a solução da banca (que nem sempre é a mais intuitiva - Vide XXI OBM problema 6 nível 3). A idéia seria então compilar todas as soluções até o momento encontradas para os problemas nela contidas, e com isso dar algum material sobre estratégias em problemas bizarros. Para dinamizar, seria interessante fazer isto em alguma forma de Wiki controlado (o que exigiria uma parafernália um pouco maior, mas creio que existam servidores gratuitos para tal), tal que seja possível tanto corrigir quanto criar soluções de maneira fácil e rápida. E então, o que cês acham deste vaporbook? -- Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunthttp://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/search/video/*http://br.search.yahoo.com/search/video?p=james+bluntei=UTF-8cv=gx=wrtvm=rfr=intl-mail-br-b -- Ideas are bulletproof. V
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
Oi Ponce! Valeu pela solução, mas vc acha que a Facamp tava querendo isso? Não é demais pros vestibulandos? Abraços e até dia 8/12... Raul - Original Message - From: lponce To: obm-l Cc: fRANK FRANK ; barzeus Sent: Thursday, November 23, 2006 10:28 PM Subject: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Olá Raul, Vaai abaixo uma sugestão: Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0. Das relações de Girard (ou viete). x1+x2+x100 = 600. Do teorema da decomposição, p(x) = (x-x1)(x-x2)..(x-x100).Portanto, p(7) = (7-x1)(7-x2)..(7-x100). Nestas condições, provemos que: se P(7) 1, então existe ao menos uma raiz xi maior que 7. demonstração ( Redução ao absurdo) Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100) seja maior que 7. Assim, 7- xi 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever: [ (7-x1) + (7-x2) + + (7-x100) ] /100 = [ f(7) ] ^ (1/100) dai, [ (700 - 600)/100 ] ^100 = f(7), isto é, f(7) = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque 7 - x k =0, como xk é diferente de 7,pois p(7)1, conclui-se que xk 7, finalizando a demonstração pedida. Um abraço do amigo PONCE desculpe-me por qualquer engano .. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200 Assunto: [Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Boa tarde! Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)1. Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7. Agradeço a ajuda, Raul -- E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail -- Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 23/11/2006 / Versão: 4.4.00/4903 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE. -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.14/548 - Release Date: 23/11/2006
[obm-l] Quantas diagonais?
Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de n lados?
[obm-l] não pertencentes a mesma face
Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro, não pertencentes a mesma face?
[obm-l] Duas Questões
1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisivel por m! 2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par?
[obm-l] RE: [obm-l] Soluções Inteiras
Olá.
Quantas soluções inteiras tem a equação: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20 se
cada xi é tal que xi é maior igual que 3 qualquer que seja o i pertencente
a {1,2,3,4,5}?
Essa você resolve por combinatória, ivanzovski. Se x_i = 3, nós podemos
reescrever o problema da seguinte forma:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20 - 5.3 = 5, e agora x_i tem como única condição
ser maior do que 0(depois você adiciona 3 a cada x_i).
Bem, o problema é explicar sem desenho. Fica (5+5-1)!!/[4!*(5-1)!] =
9!/(4!5!) = 126.
Genericamente, se x_0 + x_1 + ... + x_i = n, existem (n+i-1)!/[n!*(i-1)!]
soluções inteiras não negativas para a equação.
_
Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar
as novidades-grátis. Saiba mais:
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Apostila do Mathematica 5.0
No site do fabricante tem um bom tutorial: http://library.wolfram.com/conferences/devconf99/withoff/index2.html No próprio matemática tem um help interativo para iniciantes (clique em Help/Tutorial). Em 24/11/06, geo3d[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal da lista boa noite. Por favor, gostaria de saber de vocês se alguém que usa o Mathematica 5.0 ou outra versão mais recente, tem alguma apostila ou manual, para um iniciante como eu. Por favor se alguém puder me conceder esta ajuda agradeço muito mesmo, um abraço, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminhas
Num dado momento, no almoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retira de 80 unidades de A, observou-se que o número de impressos de B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida, foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada 5 de A. Inicialmente, o total de impressos dos dois tipos era? 780 800 840 860 920 Hoje, dois técnicos judiciários, Marilza e Ricardo, receberam 600 e 480 processos para arquivar, respectivamente. Se Marilza arquivar 20 processos por dia e Ricardo arquivar 12 por dia, a partir de quantos dias, contados de hoje, Marilzo trá menos processos para arquivar do que Ricardo? 12 14 16 18 20 ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:
Você encontrará este material no site www.oma.org.ar Procure livro com as provas nându e no proprio site. quaLQUER DUVIDA ENTRE EM CONTATO COMIGO. ponce De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 22 Nov 2006 16:40:57 -0200 Assunto: alguem sabe sites pra qm q treina pra olimpiadas so q com uma linguagem pra qm ta no 1 colegial baixei todas as eurecas mais eles msm fala q a linguagem n eh pra estudadntes obrigado msn : [EMAIL PROTECTED] _ Experimente o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=lponce_l=1,1164241542.533533.22848.balcomo.hst.terra.com.br,2904,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 22/11/2006 / Versão: 4.4.00/4902 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE.
[obm-l] Re:[obm-l] Desigualdade entre as mé dias
Oi, MP: Comece por aqui: http://planetmath.org/encyclopedia/GeneralMeansInequality.html e siga os links para as demonstracoes. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 23 Nov 2006 17:37:27 -0200 Assunto: [obm-l] Desigualdade entre as médias Saudações, outro dia uma aluna me pediu que eu demonstrasse a seguinte desigualdade: (a+b+c)/3 = CBRT[(a^3+b^3+c^3)/3], CBRT - raiz cubica para a, b e c reais positivos eu já havia resolvido uma parecida: (a+b+c)/3 = SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3] mas usava o fato de que a soma dos quadrados das distâncias de cada número até a média é não negativa: A=(a+b+c)/3 e B=SQRT[(a^2+b^2+c^2)/3] (a-A)^2 + (b-A)^2 + (c-A)^2 =0 a^2 + b^2 + c^2 -2A(a+b+c) + 3A^2 =0 a^2 + b^2 + c^2 = 3B^2 (a+b+c) =3A 3B^2 -6A^2 + 3A^2 =0 B^2 = A^2 A = B. Alguem pode me ajudar na demonstração da média cúbica? []'s MP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Faca mp06
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200 Assunto:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Boa tarde! Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)1. Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7. Agradeço a ajuda, Raul E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 23/11/2006 / Versão: 4.4.00/4903 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE.
[obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões
Olá, sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes numeros é divisivel por m!... como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de representantes modulo m.. deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei: a_1 = km a_2 = km + 1 a_3 = km + 2 . . a_m = km + (m-1) isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante. assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos: k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1 mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1) para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante.. novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m... isto é, podemos reordena-los de modo que: b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1... seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m! se tiver algo errado, aguardo correcoes abracos, Salhab - Original Message - From: ivanzovisk To: obm-l Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM Subject: [obm-l] Duas Questões 1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisivel por m! 2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.7/538 - Release Date: 18/11/2006
[obm-l] Problema 6 da OBM nível U , outra solução
Há mais ou menos uma semana, enviei para a lista uma solução
para o problema 6, nivel U. Segue outra (resumida),
baseada na solução incompleta apresentada na prova
pelo Fabio Dias Moreira (com permissão dele).
Sejam A e B como no enunciado; escreverei A' = A^(-1), B' = B^(-1).
Seja G o grupo gerado por A e B.
Seja H o conjunto das matrizes X = (a b \\ c d) 2x2 de coeficientes inteiros,
com a = 1 (mod 4), b = 0 (mod 2), c = 0 (mod 2), d = 1 (mod 4).
É fácil verificar que H é um grupo e que G está contido em H.
Defina |X| = |a| + |b| + |c| + |d|.
Conjectura: Dada X em H, X diferente de I, exatamente um dentre
os módulos |XA|, |XA'|, |XB|, |XB'| é menor do que |X|
(os outros três são estritamente maiores).
A conjectura é correta e será demonstrada abaixo.
A conjectura implica que G = H.
Vamos provar por indução em m que se X pertence a H e |X| m
então X pertence a G. O caso m = 3 é trivial.
Seja X um elemento de H com |X| = m = 4.
Pela conjectura, uma das matrizes XA, XA', XB, XB' tem módulo
menor logo por indução pertence a G.
A conjectura também resolve o problema pois se a_1, b_1, ... são não nulos
temos então que |I| |A^(a_1)| |A^(a_1) B^(b_1)| |A^(a_1) B^(b_1) A^(a_2)|
e assim por diante.
Para provar a conjectura, vamos definir quatro subconjuntos de R^2:
A+ = {(x,y) | |x| |y|, xy 0}
A- = {(x,y) | |x| |y|, xy 0}
B+ = {(x,y) | |y| |x|, xy 0}
B- = {(x,y) | |y| |x|, xy 0}
Assim, os conjuntos são disjuntos e cada conjunto é a união disjunta
de dois ângulos abertos. O fecho da união é o plano.
Podemos dizer que cortamos o plano em 8 fatias como se fosse uma pizza.
Usaremos no plano a norma |(x,y)| = |x| + |y|.
As seguintes afirmações são de fácil verificação:
se v pertence a A+ então |A'v| |v| |Av|, |Bv|, |B'v|;
se v pertence a A- então |Av| |v| |A'v|, |Bv|, |B'v|;
se v pertence a B+ então |B'v| |v| |Av|, |A'v|, |Bv|;
se v pertence a A- então |Bv| |v| |Av|, |A'v|, |B'v|.
Seja agora X uma matriz em H, X diferente da identidade.
Uma das colunas de X pertence a A+, A-, B+, B-
(ou seja, pelo menos uma das colunas não está nem nos eixos
nem nas retas x = +-y).
Não é difícil provar que a outra coluna deve estar no fecho do mesmo conjunto;
ou seja, não podemos ter uma coluna em A+ e outra em B+, por exemplo,
sem violar a condição det X = 1.
Assim, uma das quatro matrizes A, A', B, B' diminui as duas colunas de X
e as outras três aumentam. Por exemplo, se as duas colunas estão em A-
então A diminui as colunas de X mas A', B e B' aumentam.
Isto prova que |AX| |X| |A'X|, |BX|, |B'X|.
A conjectura agora segue.
[]s, N.
PS: Os leitores são convidados a refletir sobre a relação entre os conjuntos
A+, A-, B+, B- nesta demonstração e seus homônimos na outra.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06
Olá Raul Não sei o que eles estavam querendo. O pior ainda é que está foi a primeira questão da prova. Mas não vamos perder tempo com isso..., pois este lugar não é lugar para discutir estes problemas Um abraço PONCE De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Fri, 24 Nov 2006 09:37:45 -0200 Assunto:[Spam] [obm-l] Re: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Oi Ponce! Valeu pela solução, mas vc acha que a Facamp tava querendo isso? Não é demais pros vestibulandos? Abraços e até dia 8/12... Raul - Original Message - From: lponce To: obm-l Cc: fRANK FRANK ; barzeus Sent: Thursday, November 23, 2006 10:28 PM Subject: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Olá Raul, Vaai abaixo uma sugestão: Sejam xi (i=1,2,..,100) as raízes reais de p(x)=0. Das relações de Girard (ou viete). x1+x2+x100 = 600. Do teorema da decomposição, p(x) = (x-x1)(x-x2)..(x-x100).Portanto, p(7) = (7-x1)(7-x2)..(7-x100). Nestas condições, provemos que: se P(7) 1, então existe ao menos uma raiz xi maior que 7. demonstração ( Redução ao absurdo) Suponhamos por absurdo que nenhuma das raízes reais xi (i=1,2,..,100) seja maior que 7. Assim, 7- xi 0 para todo i = 1,2,..,100 . Então, da desigualdade entre MA-MG,podemos escrever: [ (7-x1) + (7-x2) + + (7-x100) ] /100 = [ f(7) ] ^ (1/100) dai, [ (700 - 600)/100 ] ^100 = f(7), isto é, f(7) = 1, o que um absurdo, pois contraria a hipotese de f(7) 1. Portanto, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz xk de P(x)=0,talque 7 - x k =0, como xk é diferente de 7,pois p(7)1, conclui-se que xk 7, finalizando a demonstração pedida. Um abraço do amigo PONCE desculpe-me por qualquer engano .. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Thu, 23 Nov 2006 14:46:44 -0200 Assunto:[Spam] [obm-l] Polinômio - Facamp06 Boa tarde! Suponha que o polinômio x^100 - 600x^99 + ax^98 + bx^97+...+ cx^2 + dx + e possua 100 raízes reais e que p(7)1. Prove que há pelo menos uma raiz maior que 7. Agradeço a ajuda, Raul E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 23/11/2006 / Versão: 4.4.00/4903 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE. No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.14/548 - Release Date: 23/11/2006 E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente. Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 24/11/2006 / Versão: 4.4.00/4904 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ []a, L.PONCE.
Re: [obm-l] Quantas diagonais?
Se o poligono da base tem n lados, tem tambem n vértices. Portanto o prisma tem 2n vértices, e cada um deles pode se ligar a (n-3) vértices da outra base do prisma que nao estejam numa face. Portanto o numero de diagonais é n(n-3). Iuri On 11/24/06, ivanzovisk [EMAIL PROTECTED] wrote: Quantas diagonais, não das faces, tem um prisma cuja base é um polígono de n lados?
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Duas Questõ es
Tome m = 3 e os inteiros consecutivos 5, 6 e 7. Pelo seu argumento, a_1 = 6 eh o unico que eh divisivel por 2 e 3. 5 e 7 sao divisiveis apenas por 1 (alem disso, o k nao eh o mesmo para todos os a_i). A solucao padrao desse problema (antiquissimo) consiste em observar que: (p+1)(p+2)(p+m)/m! = Binom(p+m,m) = inteiro. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 24 Nov 2006 15:07:20 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Duas Questões Olá, sejam a_1, a_2, a_3, ..., a_m, vamos mostrar que o produto destes numeros é divisivel por m!... como esses numeros estao sequenciais, eles formam um conjunto de representantes modulo m.. deste modo, podemos ordena-los com a seguinte lei: a_1 = km a_2 = km + 1 a_3 = km + 2 . . a_m = km + (m-1) isto é, a_1 deixa resto 0, a_2 deixa resto 1, e assim por diante. assim, quando dividimos o produto de a_1, a_2, .., a_m por m, temos: k * a_2 * a_3 * a_4 * ... * a_m temos que mostrar agora que este numeros sao divisiveis por m-1 mas: a_i = km + i-1 = k(m-1) + k + i - 1, para i=2, ..., m assim, para i=2, temos a_2 = k+1 (mod m-1) para i=3, temos a_3 = k+2 (mod m-1), e assim por diante.. novamente temos um conjuntos dos representantes modulo m... isto é, podemos reordena-los de modo que: b_1, b_2, b_3, ..., b_(m-1) estejam na ordem crescente modulo m-1... seguindo esta linha, mostramos que o numero é divisivel por m, m-1, m-2, ... 2 e 1.. logo, é divisivel por m! se tiver algo errado, aguardo correcoes abracos, Salhab - Original Message - From: ivanzovisk To: obm-l Sent: Friday, November 24, 2006 10:15 AM Subject: [obm-l] Duas Questões 1- Prove que o produto de m fatores inteiros positivos e consecutivos é divisivel por m! 2- Um homem possui 8 pares de meias (todos distintos). De quantas formas ele pode selecionar 2 meias, sem que elas sejam do mesmo par? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
