Acho que a melhor maneira de responder a esta pergunta é
através de um exemplo:
Considere o seguinte problema:
Prove que se um triângulo tem duas bissetrizes
internas iguais, então ele é isósceles.Solução (fornecida pelo
Prof. Eduardo Wagner):Desenhe o triangulo ABC e as bissetrizes BD e
Caro Felipe:
Infelizmente o resultado não é verdadeiro. Por
exemplo, tome n=2 e m=9. Neste caso,9 e2 são primos entre si
mas2^9 - 2 = 510, o qual não é múltiplo de 9.
No entanto, existe um teoremaimportante de
teoria dos números que diz o seguinte:
Sejam m e ninteiros positivos primos
Problema 2:
ABCD
é um quadrilátero cíclico. Areta tangentepor A encontra CB em
K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.
Mostre que o quadrilátero tem dois lados
paralelos.
O resultado estará provado se conseguirmos mostrar
que os ângulos MAB e MDC são
Caro Artur:
Seja X um conjunto aberto da reta real. Então, pelo teorema da existência
(para cada aberto X, existe uma família enumerável de intervalos abertos
disjuntos dois a dois cuja união é X), podemos escrever X = UNIÃO A(i), onde
i pertence a N e os A(i) são intervalos abertos disjuntos
Problema 1:
ABCD
é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é
um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é
igual ao ângulo BCM.
Tome o ponto N no mesmo semi-plano que C em relação a DM e de
forma que o segmento DN seja
O elemento situado na linha "i" e coluna "j" é
igual ao resto da divisão de i^j por j.
Isso também pode ser expresso como i^j mod
j.
Assim, por exemplo:
2^5 = 32 deixa resto 2 na divisão por 5 ==
A(2,5) = 2.
7^4 = 2401 deixa resto 1na divisão por 4
== A(7,4) = 1.
- Original
- Original Message -
From: Marcelo Leitner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, January 04, 2003 12:43 PM
Subject: Re: [obm-l] polinômios
On Sat, Jan 04, 2003 at 12:56:05AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal,
Se 2x + 5 é identico à (x + m)^2 - (x -
As funções seno e cosseno são periodicas, com
período = 2*pi, ou seja, qualquer que seja x, teremos sen(x+2*pi) = sen(x) e
cos(x+2*pi)=cos(x).
A função tangente é periódica de período = pi
== tg(x+pi)=tg(x).
Bom, 9pi/4 = pi/4 + 2pi == tg(9pi/4) = tg(pi/4
+ 2pi) = tg(pi/4 + pi) = tg(pi/4).
A primeira coisa a fazer neste problema é
determinar que números tem fatorial igual a 1. Naturalmente, estes números são 0
e 1.
Se 5x-7 = 0, então x = 7/5.
Se 5x-7 = 1, então x = 8/5
Assim, as rãízes da equação são x1 = 7/5 e x2 =
8/5.
x1 + x2 = 7/5 + 8/5 = 15/5 = 3.
- Original
O R na resolução é o raio da base do cone. O raio
do semicírculo inicial está sendo chamado de g (de geratriz).
A afirmativa que precisa ser justificada é a de que
um semicírculo gera um cone equilátero (ou seja, um no qual a geratriz é igual
ao diâmetro da base). Isso não é muito difícil.
A mediana desejada une o vértice B (4,5) ao
ponto médio de AC (4,3).
Repare que ambos os pontos têm a mesma abscissa
(coordenada x). Assim, a reta que os une é: x = 4.
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To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 02,
Tanto álgebra como geometria estudam simetrias.
Existe uma sub-área da álgebra chamada Teoria dos Grupos, a qual estuda
sistematicamente, e de forma abstrata, simetrias em geral. Neste caso, por
simetria entende-se alguma operação ou transformação sobre um dado conjunto que
deixa este
Qualquer que seja n, dados os n primeiros termos de
uma sequência qualquer, existe sempre uma infinidade de fórmulas que podem
"explicar" aqueles termos.
Por exemplo, dados X1, X2, ..., Xn, podemos
semprepostular um polinômio:
F(X) = A(0) + A(1)*X +A(2)*X^2 + ... +
A(n)*X^(n), de grau n
Tome um número natural "n" qualquer.
Considere os números 1, 11, 111, , 1,
e 111..11 (onde o último número é formado por (n+1) algarismos 1, e os
restos que cada um destes números deixa quando dividido por n.
Existem n+1 números mas apenas n restos possíveis
(0, 1, ..., n-1).
tg(9pi/4) = tg(pi/4) = 1 = 6x / pi
== x = pi/6 == 3x = pi/2 == cos 3x =
cos(pi/2) = 0.
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Sent: Thursday, January 02, 2003 7:15
PM
Subject: [obm-l] trigonometria
Porque se a tg
(9pi/4)=6x/pi,
Sugestão: tire o log das duas equações,
obtendo:
x*log2 + y*log3 = log108
x*log4 + y*log2 = log128
Agora, você tem um sistema linear c/ 2 equações e 2
incógnitas.
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To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 02, 2003
i+ 1/(1+i) = [i(1+i) + 1 ]/(1+i)
=(i-1+1)/(1+i) = i/(1+i).
O módulo é 1/raiz(1^2+1^2) = 1/raiz(2) =
raiz(2)/2
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Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16
PM
Subject: [obm-l] complexos
Se z = i +
Faça um "corte" no cone segundo alguma geratriz e
"desenrole-o" (fazendo assim a tão chamada planificação - termo mais chique mas
muito menos intuitivo do que "cortar e desenrolar"). Esqueça a base (que não
contribui para a área lateral). Você vai ter umsetor circular de raio = g
(geratriz)
Caro Domingos Jr.:
Obrigado pela observação. Apesar de ser fácil mostrar que se X tem aquela
forma específica, então X = X*, este fato tinha que estar explicitado na
demostração.
Sobre o cálculo de P(n) propriamente dito, eu chequei o site:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
e a
Existe um site bem interessante para quem gosta de sequências numéricas:
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Neste site, a sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, ... é descrita como
sendo uma permutação dos inteiros positivos tal que a média
Caro Paulo:
Você levantou uma questão interessante e relevante tanto para quem está
escrevendo um livro ou artigo expositório quanto para quem está prestando um
exame discursivo.
Eu me lembro de uma discussão há pouco tempo aqui na lista sobre a
necessidade ou não de se justificar a fórmula da
raiz(2) / m = 3 / raiz(2) -
1
raiz(2) / m = ( 3 - raiz(2)
) / raiz(2)
2/ m = 3 - raiz(2)
m = 2 / ( 3 - raiz(2) )
m = 2 * ( 3 + raiz(2) ) / ( 9 - 2
)
m = ( 6 + 2*raiz(2) ) / 7
No penúltimo passo, eu racionalizei o denominador,
multiplicando o numerador e o denominador por ( 3 +
Como 5 - 2x aparece num denominador e sob o sinal
de raiz quadrada, temos que ter:
5 - 2x 0 == 2x 5
== x = 1 ou x = 2 (procura-se solução em inteiros
positivos).
Respeitada esta condição, a equação pode ser
re-arranjada como:
5 - 2x = 5 - 2x.
Se não houvesse restrição alguma, qualquer
O princípio da indução finita é um dos axiomas de
Peano, os quais definem o conjunto dos números naturais.
Ele diz o seguinte:
Seja N o conjunto dos números naturais (inteiros
positivos)
Seja X um subconjunto de N com as seguintes
propriedades:
a) 1 pertence a X, e
b) se n pertence a X
A demonstração da
volta (no triângulo ABC, sejam BD e CE bissetrizes dos ângulos ABC e ACB,
respectivamente; se BD = CE então ABC é isosceles) sai por meio do uso de dois
teoremas:
1. A bissetriz de um ângulo divide o lado oposto a
este ângulo em partes proporcionais aos outros dois lados;
Dois problemas bonitinhos:
1) Um besouro no plano cartesiano quer (?) ir do
ponto (5,8) até o ponto (-11/2,-3/2). Sua velocidade é constante, igual a 2
unidades / minuto, exceto quando está no segundo quadrante (x0 e y0), no
qual sua velocidade é apenas 1 unidade / minuto.
Qual o trajeto
Com 4 termos, pode ser um monte de coisas, mas eu
chutaria que é a sequencia dos dobros dos números primos.
Você já conhece esta aqui?
1 , 11 , 21 ,
1211 , 111221 ,
Pra quem gosta de sequências, aqui tem uma boa que
está me dando trabalho.
Defina a seguinte seqência:
X(1) = 1
Para
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