[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Já que a discussão sobre seqüências parece ir longe e está interessantíssima, aproveito para tentar matar uma curiosidade: alguém sabe se existe comando equivalente ao *interp* do Maple para o Mathematica? Obrigado, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 13, 2004 12:23 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência Para o Nicolau ou quem souber, Duas duvidas remanescentes: 1) O MAPLE reconhece apenas 1 polinomio para alguns termos iniciais de uma sequencia ? Pois a sequencia 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, pode ser interpretada como a sequencia dos primos, certo ? Mas o MAPLE viu uma logica diferente, tanto que continuou a sequencia com outros numeros. Nisso inicia minha segunda duvida: 2) Dado o polinomio ... p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6 - 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2 - 9233344800 x + 326592)/3628800. ... Por que ele (MAPLE) diz que os proximos termos sao 838, 8440, 48141, 200229, 677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ... ? Seriam as raizes ? Seria muito maçante eu substituir no polinomio para ver isso...
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
on 12.03.04 22:32, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > Hash: SHA1 > > Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> said: >> Claudio Buffara wrote: >>> Calcule o valor da soma: >>> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), >> >> Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse >> uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento >> desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos >> eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). >> [...] > > Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia > funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. > > Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale > pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo > de, mas certamente menor que, pi/6. > > []s, > > - -- > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira Fazendo exploracoes numericas no computador, eu descobri que: arctg(1/F(2n+1)) = arctg(1/F(2n)) - arctg(1/F(2n+2)) (*) Desenvolvendo isso, eu cheguei em F(2n+1)^2 = F(2n)*F(2n+2) + 1 (**). Esta eh a versao para m par da formula razoavelmente conhecida: F(m+1)^2 = F(m)*F(m+2) + (-1)^m. Como todos os passos de (*) ateh (**) sao reversiveis, eh possivel comecar com (**) e chegar a (*). A partir dai, eh soh somar de n = 1 a infinito, observando que arctg(1/F(2n+2)) -> 0 qundo n -> infinito. Assim, achamos: arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + ... = arctg(1/F(2)) = arctg(1) = Pi/4. Incluindo o tremos arctg(1/F(1)) = arctg(1) = Pi/4, obtemos, finalmente: SOMA(n>=0) arctg(1/F(2n+1)) = Pi/2, conforme o Fabio disse acima. Um novo problema seria dar uma demonstracao geometrica ou trigonometrica da expressao (*) acima. []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] outra de sequencia
Ola Claudio,Primeiramente gostei da explicacao do n*(n-1)/2. Em relacao as sequencias, eu acho que ainda devemos dar credito para elas, pois mesmo havendo milhares de *termos possiveis*, eu acho, e proprio Nicolau tbem disse, que SEMPRE HA UMA QUE EH MAIS SIMPLES. Eh claro que uma sequencia pode ser simples para uma pessoa e para uma outra nao, mas essa SIMPLICIDADE esta relacionada a conceitos dominados pela maioria das pessoas. Por exemplo: Uma coisa eh uma sequencia cuja logica envolve conceitos que envolvam MATEMATICA AVANCADA, uma outra coisa eh uma sequencia cuja logica envolve conceitos tao elementares que chegam a ser triviais. Ja ouvi um autor de best-seller de livros de *puzzles* dizendo:*Puzzles bons sao aqueles que parecem super dificeis; mas, na verdade, sao faceis*Nao sei dizer se poderiamos enquadrar *sequencias numericas* na categoria de puzzles. Gottfried Leibniz (1640-1716), filosofo e matematico alemao, ja disse algo interessante sobre os puzzles, jogos, na qual concordo plenamente.âNÃo hà homens mais inteligentes do que aqueles que sÃo capazes de inventar jogos. à aà que o seu espÃrito se manifesta mais livremente. Seria desejÃvel que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente.â Leibniz, 1715 Em uma mensagem de 13/3/2004 01:35:00 Hora padrÃo leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
on 13.03.04 00:28, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola pessoal,
Recebi uma mensagem em uma outra lista de matemaitca que participo, mas ninguem respondeu. Ja que falamos a pouco tempo sobre sequencias, vou compartilhar esta com voces. Alguem sabe ? Seria bom justificar a resposta.
Is there a pattern here? Because if there is, I'm unable to find it:
2, 14, 1094, 7174454...?
Oi, Fael:
Acho que estamos todos convencidos do seguinte:
1) dados apenas os 4 ou 5 termos iniciais de uma sequencia, existe uma infinidade de leis de formacao que sao compativeis com estes termos; e
2) sem maiores informacoes, nao teremos condicoes de escolher uma dessas leis de formacao como sendo a mais adequada.
Assim, eu diria que problemas do tipo acima nao tem grande valor matematico.
Por outro lado, voce poderia obter uma sequencia como resultado de algum processo de contagem e dai, com base nos primeiros termos, tentar obter uma formula que produz estes termos, na esperanca de que esta formula valha em geral (para qualquer n). Nesse ponto vale tudo: Maple, a enciclopedia de sequencias de inteiros, chutometria, etc... Uma vez obtida uma tal formula, o passo seguinte seria tentar encontrar uma justificativa combinatoria para ela.
Por exemplo, imagine que voce nao sabe nada de combinatoria e estah tentando determinar o numero de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto com n elementos.
Por enumeracao bracal, voce descobre que:
n = 2 ==> 1 subconjunto
n = 3 ==> 3 subconjuntos
n = 4 ==> 6 subconjuntos
n = 5 ==> 10 subconjuntos
...
Em seguida, voce coloca esta sequencia no Maple que cospe de volta a formula:
a(n) = n*(n-1)/2.
Finalmente, voce raciocina da seguinte forma:
"Eu tenho n possibilidades para o 1o. elemento do subconjunto e n-1 possibilidades para o 2o. elemento. Logo, posso formar um par de n*(n-1) maneiras distintas.
Entretanto, se eu fizer assim, estarei contando os subconjuntos {a,b} e {b,a} como 2 subconjuntos distintos. Logo, preciso dividir n*(n-1) por 2 a fim de obter o numero correto de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto com n elementos."
***
Em suma, o que eu quero dizer eh que as sequencias de inteiros mais relevantes sao descobertas quando o ponto de partida eh um processo de contagem e nao uma formula solta qualquer, por mais atraente que ela possa parecer.
[]s,
Claudio.
RES: [obm-l] Sequencia Geometrica?
Perceba que... A(1) = 0 + 1 A(2) = 6 + 1 A(3) = 18 + 1 A(4) = 36 + 1 Essa seqüência é uma PA de segunda ordem, já que A2 - A1, A3 - A2 e A4 - A3 formam nessa ordem uma PA de primeira ordem. Pode-se dizer então que há um polinômio an² + bn + c que define a seqüência. Descobre-se então este polinômio a partir do que se conhece da seqüência: a + b + c = 1 4a + 2b + c = 7 9a + 3b + c = 19 Resolvendo o sistema, temos que a = 3, b = -3 e c =1 Logo: An = 3n² -3n + 1 Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: sexta-feira, 12 de março de 2004 11:44 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Sequencia Geometrica? Aqui vai um problema que acho que pode ser descrito como uma sequencia. Achar o numero maximo de areas formadas pela intercecao de n triangulos assim temos A(1) = 1 ( 1 triagulo, uma area ) A(2) = 7 ( 2 triangulos, 7 areas como a estrela de david ) A(3) = 19 ( eu contei 19, mas vale a pena conferir ) ... A(n) = ? O problema original era quantas areas sao formadas por (1 + 10^(um numero ridicularmente grande)) Alguma dica? _ Create a Job Alert on MSN Careers and enter for a chance to win $1000! http://msn.careerbuilder.com/promo/kaday.htm?siteid=CBMSN_1K&sc_extcmp=J S_JASweep_MSNHotm2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
Dois participantes aqui na lista ja fizeram a mesma pergunta. Da primeira vez, um outro participante respondeu o seguinte: Olá...bem...em matemática..para pegar base..estude pelo Fundamentos de Matematica do Gelson Iezzi da editora Atual...pra aprofundar estude pelo livro russo Lidski da Mir...em fisica...Topicos de Fisica pra base e Halliday e Saraeva pra aprofundar...quimica..use o Ricardo Feltre pra pegar base e Renato Garcia pra aprofundar... É isso Em uma mensagem de 13/3/2004 01:41:25 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Apesar dessa não ser a lista ideal para fazer estas perguntas foi a que mais se aproximou, então la vai: Quais são os livros de quimica e fisica mais indicado para quem vai prestar ITA e IME? Atenciosamente, Allan
Re: [obm-l] outra de sequencia
Title: Re: [obm-l] outra de sequencia
on 13.03.04 00:28, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola pessoal,
Recebi uma mensagem em uma outra lista de matemaitca que participo, mas ninguem respondeu. Ja que falamos a pouco tempo sobre sequencias, vou compartilhar esta com voces. Alguem sabe ? Seria bom justificar a resposta.
Is there a pattern here? Because if there is, I'm unable to find it:
2, 14, 1094, 7174454...?
Oi, Fael:
Acho que estamos todos convencidos do seguinte:
1) dados apenas os 4 ou 5 termos iniciais de uma sequencia, existe uma infinidade de leis de formacao que sao compativeis com estes termos; e
2) sem maiores informacoes, nao teremos condicoes de escolher uma dessas leis de formacao como sendo a mais adequada.
Assim, eu diria que problemas do tipo acima nao tem grande valor matematico.
Por outro lado, voce poderia obter uma sequencia como resultado de algum processo de contagem e dai, com base nos primeiros termos, tentar obter uma formula que produz estes termos, na esperanca de que esta formula valha em geral (para qualquer n). Nesse ponto vale tudo: Maple, a enciclopedia de sequencias de inteiros, chutometria, etc... Uma vez obtida uma tal formula, o passo seguinte seria tentar encontrar uma justificativa combinatoria para ela.
Por exemplo, imagine que voce nao sabe nada de combinatoria e estah tentando determinar o numero de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto com n elementos.
Por enumeracao bracal, voce descobre que:
n = 2 ==> 1 subconjunto
n = 3 ==> 3 subconjuntos
n = 4 ==> 6 subconjuntos
n = 5 ==> 10 subconjuntos
...
Em seguida, voce coloca esta sequencia no Maple que cospe de volta a formula:
a(n) = n*(n-1)/2.
Finalmente, voce raciocina da seguinte forma:
"Eu tenho n possibilidades para o 1o. elemento do subconjunto e n-1 possibilidades para o 2o. elemento. Logo, posso formar um par de n*(n-1) maneiras distintas.
Entretanto, se eu fizer assim, estarei contando os subconjuntos {a,b} e {b,a} como 2 subconjuntos distintos. Logo, preciso dividir n*(n-1) por 2 a fim de obter o numero correto de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto com n elementos."
***
Em suma, o que eu quero dizer eh que as sequencias de inteiros mais relevantes sao descobertas quando o ponto de partida eh um processo de contagem e nao uma formula solta qualquer, por mais atraente que ela possa parecer.
[]s,
Claudio.
[obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
Apesar dessa não ser a lista ideal para fazer estas perguntas foi a que mais se aproximou, então la vai: Quais são os livros de quimica e fisica mais indicado para quem vai prestar ITA e IME? Atenciosamente, Allan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Diagramas
Ola pessoal, Resolvi o problema abaixo e minha resposta foi 11. Sera que resolvi certo, pois nao tenho o gabarito ? ps: resolvi por Venn-Euler In a class of 39 students, besides speaking English, every student speaks at least one of the following second languages: Mandarian, Malay and Tamil. 26 students speak Mandarian, 16 speak Malay and 8 speak Tamil. No student speaks all three of these second languages. How many pupils speak two of these second languages?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Para o Nicolau ou quem souber,
Duas duvidas remanescentes:
1) O MAPLE reconhece apenas 1 polinomio para alguns termos iniciais de uma sequencia ? Pois a sequencia 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, pode ser interpretada como a sequencia dos primos, certo ? Mas o MAPLE viu uma logica diferente, tanto que continuou a sequencia com outros numeros. Nisso inicia minha segunda duvida:
2) Dado o polinomio ...
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 326592)/3628800.
... Por que ele (MAPLE) diz que os proximos termos sao 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ... ? Seriam as raizes ? Seria muito maçante eu substituir no polinomio para ver isso...
Em uma mensagem de 12/3/2004 11:32:22 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Para o Nicolau ou quem souber,
>
> [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
>
> Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para visualizar
> melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X polinomios X
> geometria analitica]]] foi bem interessante.
Defina
qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio s.
Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
O comando para encontrar este polinômio no maple é:
p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
A que o maple responde com:
457 10 5501 9 3001 8 358907 7 4825441 6 5944169 5
p := --- x - -- x + - x - -- x + --- x - --- x
3628800 725760 15120 120960 172800 34560
253180001 4 331321657 3 16361409 2 1282409
+ - x - - x + x - --- x + 900
362880 181440 5600 504
Ou seja,
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 326592)/3628800.
Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
resposta está correta. ;-)
[obm-l] outra de sequencia
Ola pessoal, Recebi uma mensagem em uma outra lista de matemaitca que participo, mas ninguem respondeu. Ja que falamos a pouco tempo sobre sequencias, vou compartilhar esta com voces. Alguem sabe ? Seria bom justificar a resposta. Is there a pattern here? Because if there is, I'm unable to find it: 2, 14, 1094, 7174454...?
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Ricardo Bittencourt wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Continuando o raciocínio, vale também pra versão modificada só com os ímpares: Você começa com (1+i), depois multiplica por (1+i), depois por (2+i),(3+i),(5+i), etc. O número resultante na etapa n, vamos chamar de (an+i*bn). Na etapa n+1, vai ser: (an+i*bn)*(F(n+1)+i)= (an*F(n+1)+an*i+bn*F(n+1)-bn) ou seja basta resolver a recorrência dupla: a(n+1)=a(n)*F(n+1)-b(n) b(n+1)=b(n)*F(n+1)+a(n) Nesse caso, sum(1<=m<=n)arctg(1/F(m))=arctg(b(n)/a(n)) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sobre a calha de tempo minimo
Entre no Google e digite "brachistochrone". Nao vao faltar referencias... on 12.03.04 22:18, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola turma > Estou com um serio problema de Fisica (e ninguem > se dispos a descascar esse abacaxi...) > > 1)Considere um pedaço de arame ligando dois > pontos A e B no plano,cuja reta AB e > inclinada.Qual a forma do arame tal que uma > arruela possa deslizar sem atrito sobre ele e > chegar de A a B em tempo minimo, partindo do > repouso? > > 2)Prove que para esse formato de fio de arame, o > tempo para se chegar entre A e B (no fio de > arame) e o mesmo. > > Ass.: J O H AN N > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
on 12.03.04 21:47, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Claudio Buffara wrote: >> Calcule o valor da soma: >> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), > > Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse > uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento > desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos > eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). > Eh uma ideia, mas me parece que esse produtorio pode ser ainda mais dificil de se calcular. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> said: > Claudio Buffara wrote: > > Calcule o valor da soma: > > SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), > > Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse > uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento > desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos > eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). > [...] Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo de, mas certamente menor que, pi/6. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAUmSoalOQFrvzGQoRAnXxAJ4kIPkdVqzXBPAySgGIXE4CGTmKSgCg3rHv oBR7SRRbnKBTF/m6JoWX6ys= =ogVT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sobre a calha de tempo minimo
Ola turma Estou com um serio problema de Fisica (e ninguem se dispos a descascar esse abacaxi...) 1)Considere um pedaço de arame ligando dois pontos A e B no plano,cuja reta AB e inclinada.Qual a forma do arame tal que uma arruela possa deslizar sem atrito sobre ele e chegar de A a B em tempo minimo, partindo do repouso? 2)Prove que para esse formato de fio de arame, o tempo para se chegar entre A e B (no fio de arame) e o mesmo. Ass.: J O H AN N = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Caros colegas: Eu copiei errado o enunciado desse problema. O enunciado correto eh: Calcular o valor de SOMA(n>=1) arctg(1/F_(2n-1)), onde F_m = m-esimo termo da sequencia de Fibonacci (com F_1 = F_2 = 1). Ou seja, a soma envolve apenas os F_m com m impar. Mesmo assim, ainda acho que o caminho eh aquele sugerido pelo Luis Lopes, de achar uma sequencia a(n) tal que: 1/F_(2n-1) = (a(n+1) - a(n))/(1 + a(n)*a(n+1)). Desculpem qualquer inconveninete que isso possa ter causado. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Claudio Buffara wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PROBABILIDADE & CHANCE!
Olá, pessoal! Caro Qwert, continuava com dúvidas após a elucidação do prof. Nicolau e pelo sim, pelo não, os raros comentários do Ralph serão sempre bem-vindos.(CAMPEÃO!) Verifique algebricamente que a equação a/b=p/1-p, resolvida em relação a p, dá p=a/a+b, ou seja, a probabilidade de sua ocorrência se há uma chance de a para b de ocorrência de um evento. Um abraço à todos e bom final de semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inverter sequencias
>Fazendo F_n - a_n = y_(n+1)/y_n, >obtemos: y_(n+2) - F_(n+2)*y(n+1) + ((F_n)^2 + 1)*y(n) = 0 Que tal agora imaginar essa equação como algo parecido à uma equaçao diferencial de segunda ordem e usar um método parecido com à "variação dos parâmetros". O Saber deixa isso como um exercício, só não sei a página, pois não estou c/ o livro em mãos. Eu lembro que resolvi o exercício do Saber quando fazia seminários c/ meu orientador. A coisa mais interessante é que o "análogo" discreto ao Wronskiano é chamado de Casoratiano que é um determinante de Wandermonde. Basicamente você coloca y_n = z_n*(a^n) a^n é solução da eq. homogênea c/ coeficientes constantes. e daí você acha z_n. Donde vem que y_n = a_1z_n + a_2zn e com as condições inicias vc acha as constantes a_1 e a_2. Essa é uma forma. Outra que me vem à cabeça é fazer algo do tipo fatorar a eq. acima depois de substituir y_n = a^n. É isso... mais tarde eu discuto mais, tenho que dar aula agora... []s Ronaldo L. Alonso >problema de se calcular SOMA(n >= 0) 1/F_(2^n). Eu vou tentar esse também, mas se ninguém resolveu eu DUVIDO que eu consiga ... []s novamente :) _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inverter sequencias
on 12.03.04 16:29, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Cláudio, essa história de sequências pode sempre ser > resolvida com equações de diferenças de modo mais > ou menos padrão. > Por exemplo, seja a(n+2) = a(n+1) + a(n) que é a famosa > fibonaci que vc conhece. O livro > de Saber Elaydi abaixo mostra como calcular analiticamente > a(n): > Sequencias recorrentes lineares sao faceis mas, infelizmente, acho que nao se aplicam aqui. > [1] An Introduction to Difference Equations (Undergraduate Texts in > Mathematics) by Saber N. Elaydi > > Provavelmente vc já deve ter visto ele. Mas dá uma olhada > de novo. Seu caso é meio diferente vc quer a(n) em função > de b(n) neste caso vc pode considerar b(n) como um > parâmetro e resolver a equação analiticamente para > a(n) e daí vc tem b(n) em função de a(n) ou reciprocamente > se vc quiser. > Muito bem. O caso que me interessa eh b_n = 1/F_n. Resolvendo para a_(n+1), eu acho a_(n+1) = (a_n*F_n + 1)/(F_n - a_n). Na pg. 87 do livro do Elaydi, eu achei uma mudanca de variaveis que talvez possa ajudar. Fazendo F_n - a_n = y_(n+1)/y_n, obtemos: y_(n+2) - F_(n+2)*y(n+1) + ((F_n)^2 + 1)*y(n) = 0 > Eu só não entendo como vc consegue resolver o problema > assim. Veja a mensagem do Luis Lopes para a lista em 10/03. > Aliás, algueém já resolveu o problema mais > simples, ou seja, caluclar soma(n>1) 1/F_N? Acho que > já , mas só perguntando... Este problema estah em aberto. No entanto, jah foi resolvido aqui na lista o problema de se calcular SOMA(n >= 0) 1/F_(2^n). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Putnam Problems
Um da Putnam... ai and bi are constants. Let A be the (n+1) x (n+1) matrix Aij, defined as follows: Ai1 = 1; A1j = xj-1 for j ≤ n; A1 (n+1) = p(x); Aij = ai-1j-1 for i > 1, j ≤ n; Ai (n+1) = bi-1 for i > 1. We use the identity det A = 0 to define the polynomial p(x). Now given any polynomial f(x), replace bi by f(bi) and p(x) by q(x), so that det A = 0 now defines a polynomial q(x). Prove that f( p(x) ) is a multiple of ∏ (x - ai) plus q(x). = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Como ja e de praxe nao vou negar fogo tao facilmente... Tive uma ideiaTrace o triangulo medial da joça para ver o que ocorre...Os pontos R,S,T estarao nos lados desse triangulo (Tales, oras!).Transportando algumas razoes talvez saia algo (estou resolvendo o problema agora!). AM,BN e CP sao nossas medianas. Bem, acho que vou tentar mais em casa. Uma boa e usar vetores.Para tal chame o SuperBuffaraEle tem mais paciencia nessas coisas que eu... Ass. J o h a n n --- Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Sauda,c~oes, > > Um de geometria de uma outra lista. > > []'s > Luis > > > -Mensagem Original- > De: "Ben" <@hotmail.com> > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: segunda-feira, 9 de fevereiro de > 2004 17:31 > Assunto: Putnam Question > > > > This is a problem I found in the 2001 Putnam > exam. Anyone want to take > > a stab at it? > > > > Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and > G,lie respectively on > > sides BC , CA, and AB, such that AE bisects > BF at point R, BF bisects > > CG at point S, and CG bisects AE at point T, > Find the area of triangle > > RST. > > > > And go > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inverter sequencias
Minha ideia e usar Taylor para calcular arctg(1/Fib) e ver se a soma sai bonitinha.Mas nem sei se vira... TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Inverter sequencias
Tente ver o artigo do ET na Eureka! 9 ou do Shine na Preparaçao do Brasil para a Ibero e IMO. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Equações Difereciais Parciais
Pessoal, gostaria de saber se alguem do grupo participa de alguma lista de discussão sobre problemas envolvendo Equações Diferenciais Parciais pois também estou interessado em participar. Agradeço qualquer informação. Abs. Rivaldo B. Dantas - URI - Campus de Santo Angelo-RS http://www.urisan.tche.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência Date: Fri, 12 Mar 2004 16:17:21 -0300 On Fri, Mar 12, 2004 at 09:53:26AM -0500, Qwert Smith wrote: > Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver, > totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em > portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica? > > Qual o proximo numero da sequencia: > 1,10,2,5,4,14,19,... > Resposta (ridicula): 16 Eu francamente acho que você poderia fazer isso sozinho. Desculpe...realmente nao foi por mal...nao tive intencao de tomar o seu tempo, nem faze-lo escrever 'francamente' 2 vezes no mesmo email. Nao sei onde estava com a cabeca... francamente :) _ Store more e-mails with MSN Hotmail Extra Storage 4 plans to choose from! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200362ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Inverter sequencias
Cláudio, essa história de sequências pode sempre ser resolvida com equações de diferenças de modo mais ou menos padrão. Por exemplo, seja a(n+2) = a(n+1) + a(n) que é a famosa fibonaci que vc conhece. O livro de Saber Elaydi abaixo mostra como calcular analiticamente a(n): [1] An Introduction to Difference Equations (Undergraduate Texts in Mathematics) by Saber N. Elaydi Provavelmente vc já deve ter visto ele. Mas dá uma olhada de novo. Seu caso é meio diferente vc quer a(n) em função de b(n) neste caso vc pode considerar b(n) como um parâmetro e resolver a equação analiticamente para a(n) e daí vc tem b(n) em função de a(n) ou reciprocamente se vc quiser. Eu só não entendo como vc consegue resolver o problema assim. Aliás, algueém já resolveu o problema mais simples, ou seja, caluclar soma(n>1) 1/F_N? Acho que já , mas só perguntando... []s Ronaldo L. Alonso >Estou precisando resolver o problema abaixo a fim de calcular >SOMA(n>=1) arctg(1/F_n), onde F_n = n-esimo numero de Fibonacci. > _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
On Fri, Mar 12, 2004 at 09:53:26AM -0500, Qwert Smith wrote: > Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver, > totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em > portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica? > > Qual o proximo numero da sequencia: > 1,10,2,5,4,14,19,... > Resposta (ridicula): 16 Eu francamente acho que você poderia fazer isso sozinho. Se você não tiver o maple existem um monte de outros programas que fazem isso. Em todo caso: p := interp([2,3,4,5,6,7,8],[1,10,2,5,4,14,19],x); dá p(x) = (-67 x^6+2028 x^5-24790 x^4+156210 x^3-532963 x^2+928062 x-637560)/360 donde temos ..., -1771, -303, 1, 10, 2, 5, 4, 14, 19, -223, -1509, -5654, -16088, -38587, -82138, -159938, -290527, -499055, -818683, -1292118, -1973282, ... Observe que acrescentar um termo muda tudo: se acrescentarmos o 16 para x = 9 temos p(x) = (239 x^7 - 9303 x^6 + 150521 x^5 - 1309035 x^4 + 6590276 x^3 - 19139022 x^2 + 29546964 x - 18562320)/5040 e ..., -3683, -542, 1, 10, 2, 5, 4, 14, 19, 16, 403, 2950, 12592, 40283, 107150, 250186, 529721, 1038910, 1915477, 3355954, 5632654, ... Mas francamente acho estas soluções ainda menos interessantes do que o problema original. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Esperança & Combinatória
> Acho que voce tambem procisa supor que as x_i sao independentes duas a duas. sim, são independentes... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inverter sequencias
Oi, pessoal: Estou precisando resolver o problema abaixo a fim de calcular SOMA(n>=1) arctg(1/F_n), onde F_n = n-esimo numero de Fibonacci. O problema: Sejam (a_n) e (b_n) sequencias numericas tais que, para todo n >= 1: b_n = (a_(n+1) - a_n)/(1 + a_(n+1)*a_n). (podemos supor que, para todo n >= 1, a_n*a_(n+1) <> -1) Expresse a_n em funcao dos b_i. Qualquer ajuda serah bem vinda. []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esperança & Combinatória
on 12.03.04 14:14, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Olá!
>
> Este aqui é bonitinho:
>
> Obtenha uma solução combinatória para E[ |S_n| ], onde S_n é a soma de n
> variáveis aleatórias uniformes em {-1, 1}, ou seja S_n = x_1 + x_2 + ... +
> x_n, onde cada x_i tem probabilidade 1/2 de ser -1 e 1/2 de ser 1.
>
> Se ninguém que tentar conseguir eu coloco a resposta :-)
>
> [ ]'s
>
Acho que voce tambem procisa supor que as x_i sao independentes duas a duas.
[]'s,
Claudio.
=
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[obm-l] Algoritmo em grafo
Oi...
Suponha que tenhamos um grafo G=(V, E) e queiramos obter S contido em V tal
que para toda aresta e em E uma das pontas de e esteja em S.
Um algoritmo (guloso) que eu proponho para fazer isso é:
inicie S = Ø
escolha um vértice u com grau máximo, este vértice vai para S e elimine o
vértice u e todas arestas que saem dele do grafo G e repita o processo até
que o conjunto de arestas fique fazio.
A pergunta é: em relação a min{|S| : para todo e=(u, v) em E, {u, v} inter
S != Ø} qual seria o tamanho do S encontrado por este algoritmo... ou seja,
em relação ao(s) conjunto(s) S ótimo(s) qual a aproximação que este
algoritmo nos dá?
[ ]'s
=
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Pois e, ainda pior ja que mesmo em portugues depende da grafia usada. Essa questao eu recebi num grupo de discussao de portugueses. From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência Date: Fri, 12 Mar 2004 13:03:10 -0300 on 12.03.04 11:53, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver, > totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em > portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica? > > Qual o proximo numero da sequencia: > 1,10,2,5,4,14,19,... > Resposta (ridicula): 16 > > Tudo bem ,mas voce tem que escrever 14 como CATORZE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Fast. Reliable. Get MSN 9 Dial-up - 3 months for the price of 1! (Limited-time Offer) http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200361ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Esperança & Combinatória
Olá!
Este aqui é bonitinho:
Obtenha uma solução combinatória para E[ |S_n| ], onde S_n é a soma de n
variáveis aleatórias uniformes em {-1, 1}, ou seja S_n = x_1 + x_2 + ... +
x_n, onde cada x_i tem probabilidade 1/2 de ser -1 e 1/2 de ser 1.
Se ninguém que tentar conseguir eu coloco a resposta :-)
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seq üência
on 12.03.04 11:53, Qwert Smith at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver, > totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em > portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica? > > Qual o proximo numero da sequencia: > 1,10,2,5,4,14,19,... > Resposta (ridicula): 16 > > Tudo bem ,mas voce tem que escrever 14 como CATORZE. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] En: Putnam Question
Sauda,c~oes, Um de geometria de uma outra lista. []'s Luis -Mensagem Original- De: "Ben" <@hotmail.com> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: segunda-feira, 9 de fevereiro de 2004 17:31 Assunto: Putnam Question > This is a problem I found in the 2001 Putnam exam. Anyone want to take > a stab at it? > > Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on > sides BC , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects > CG at point S, and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle > RST. > > And go > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] como faço pra sair da lista ????
como faço pra poder sair da lista ?? obrigado __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Conjunto das Partes
Talvez valha apena checar essa menssagem:
www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/ msg17503.html
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Conjunto das Partes
Date: Fri, 12 Mar 2004 08:24:16 -0300
Eu tenho reparado que problemas sobre conjuntos sempre dão ibope nessa
lista.
Então aqui vai um:
Dê um exemplo de um conjunto A tal que existe uma bijeção entre P(A) e N,
onde:
N = conjunto dos números naturais = {1, 2, 3,};
P(A) = conjunto das partes de A = conjunto cujos elementos são todos os
subconjuntos de A
(por exemplo, se A = {1,2}, então P(A) = {vazio,{1},{2},{1,2}})
[]´s,
Claudio.
N = conjunto dos numeros naturais = {1, 2, 3, ...}
_
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=
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Re: [obm-l] Conjunto das Partes
Eu posso estar equivocado, mas estah me parecendo que naum existe tal
conjunto. Nenhum conjunto eh equivalente ao conjunto de suas partes. Se f eh
uma funcao de A sobre P(A), entao sempre hah um elemento de P(A) que nao eh
imagem de nenhum elemento de A. Se P(A) for equivalente a N, entao A nao
pode ser equivalente a N, pois neste caso A seria equivalente a P(A),o que
eh impossivel. Logo, A nao eh infinito numeravel. Tambem nao eh possivel que
A seja infinito nao numeravel, pois isto implicaria que P(A) nao fosse
numeravel, contrariamente aa hipotese. Logo, A tem que ser finito. Mas se A
eh finito, entao P(A) eh tambem finito - se A tem n elementos, P(A) tem 2^n
- e nao existe bijecao entre A e N. Chegamos a uma contradicao.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Conjunto das Partes
Data: 12/03/04 08:50
Eu tenho reparado que problemas sobre conjuntos sempre dão ibope nessa
lista.
Então aqui vai um:
Dê um exemplo de um conjunto A tal que existe uma bijeção entre P(A) e N,
onde:
N = conjunto dos números naturais = {1, 2, 3,};
P(A) = conjunto das partes de A = conjunto cujos elementos são todos os
subconjuntos de A
(por exemplo, se A = {1,2}, então P(A) = {vazio,{1},{2},{1,2}})
[]´s,
Claudio.
N = conjunto dos numeros naturais = {1, 2, 3, ...}
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[obm-l] Sequencia Geometrica?
Aqui vai um problema que acho que pode ser descrito como uma sequencia. Achar o numero maximo de areas formadas pela intercecao de n triangulos assim temos A(1) = 1 ( 1 triagulo, uma area ) A(2) = 7 ( 2 triangulos, 7 areas como a estrela de david ) A(3) = 19 ( eu contei 19, mas vale a pena conferir ) ... A(n) = ? O problema original era quantas areas sao formadas por (1 + 10^(um numero ridicularmente grande)) Alguma dica? _ Create a Job Alert on MSN Careers and enter for a chance to win $1000! http://msn.careerbuilder.com/promo/kaday.htm?siteid=CBMSN_1K&sc_extcmp=JS_JASweep_MSNHotm2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Professor mandei a sequencia a seguir como exemplo de sequencia, a meu ver,
totalmente sem graca porque a solucao que me foi dada so faz sentido em
portugues... o senhor pode verificar no maple uma alternativa matematica?
Qual o proximo numero da sequencia:
1,10,2,5,4,14,19,...
Resposta (ridicula): 16
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
Date: Fri, 12 Mar 2004 11:20:29 -0300
On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Para o Nicolau ou quem souber,
>
> [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
>
> Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para
visualizar
> melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X
polinomios X
> geometria analitica]]] foi bem interessante.
Defina
qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio
s.
Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
O comando para encontrar este polinômio no maple é:
p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
A que o maple responde com:
457105501 9 3001 8 358907 7 4825441 6 5944169
5
p := --- x - -- x + - x - -- x + --- x - ---
x
3628800 725760 15120 120960 17280034560
253180001 4 331321657 3 16361409 2 1282409
+ - x - - x + x - --- x + 900
362880 181440 5600 504
Ou seja,
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 326592)/3628800.
Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
resposta está correta. ;-)
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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http://clk.atdmt.com/AVE/go/onm00200414ave/direct/01/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Seqüência
On Thu, Mar 11, 2004 at 10:47:21PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Para o Nicolau ou quem souber,
>
> [... Dados n pontos (x1, y1), ..., (xn, yn) no plano com xis distintos,
> sempre existe um único polinômio p de grau < n tal que p(xi) = yi...]
>
> Poderiam me dar um exemplo de uma sequencia qualquer apenas para visualizar
> melhor o que esta acima ? Pois esta relacao entre [[[sequencia X polinomios X
> geometria analitica]]] foi bem interessante.
Defina
qi(x) = (x - x1)(x - x2) ... (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) ... (x - xn)
Note que qi é um polinômio de grau (n-1) com raízes
x1, x2, ..., x_{i-1}, x_{i+1}, ..., xn. Ou seja,
qi(xj) = 0 se i for diferente de j e qi(xi) é diferente de 0.
Defina ri(x) = qi(x)/qi(xi): temos ri(xj) = [ i = j ] (notação de Iverson),
ou seja, 1 se i = j e 0 caso contrário.
Finalmente, defina p(x) = y1 r1(x) + y2 r2(x) + ... + yn rn(x).
Claramente p(xi) = yi para todo i e p é um polinômio de grau <= n-1.
Suponha agora que p1(xi) = yi para todo i. Temos (p1 - p)(xi) = 0 para
todo i donde (p1 - p)(x) = s(x)(x-x1)(x-x2)...(x-xn) para algum polinômio s.
Assim ou p1 = p (se s = 0) ou grau(p1 - p) >= n (se s for diferente de 0).
O segundo caso implica grau(p1) >= n. Isto prova o que eu afirmei.
O maple tem a função interp que obtem este polinômio p.
Digamos que você deseje obter uma seqüência que comece assim:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...
Bem, talvez esta seqüência seja um polinômio. Como demos 11 termos,
podemos encontrar um único polinômio p de grau <= 10 tal que
p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, ..., p(11) = 31.
O comando para encontrar este polinômio no maple é:
p := interp([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31],x);
A que o maple responde com:
457105501 9 3001 8 358907 7 4825441 6 5944169 5
p := --- x - -- x + - x - -- x + --- x - --- x
3628800 725760 15120 120960 17280034560
253180001 4 331321657 3 16361409 2 1282409
+ - x - - x + x - --- x + 900
362880 181440 5600 504
Ou seja,
p = (457 x^10 - 27505 x^9 + 720240 x^8 - 10767210 x^7 + 101334261 x^6
- 624137745 x^5 + 2531800010 x^4 - 6626433140 x^3 + 10602193032 x^2
- 9233344800 x + 326592)/3628800.
Assim, os primeiros 20 termos da seqüência são claramente:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 838, 8440, 48141, 200229,
677006, 1972016, 5126743, 12178361, 26874761, ...
Bem, talvez você consiga pensar em alguma outra seqüência com
aqueles primeiros 11 termos, mas você não tem como negar que a minha
resposta está correta. ;-)
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] Enc: RE: DÚVIDA CRÔNICA!
A sua pergunta ja tinha sido respondida pelo grande Nicolau http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg18057.html From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Enc: RE: DÚVIDA CRÔNICA! Date: Thu, 11 Mar 2004 20:01:46 -0300 - Mensagem encaminhada de Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> - Data: Wed, 10 Mar 2004 22:22:53 -0300 De: Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> Reponder para: Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: RE: DÚVIDA CRÔNICA! Para: [EMAIL PROTECTED] Correto (supondo que os dados sao justos e independentes entre si). Se X eh o resultado do primeiro dado e Y o do segundo (com S=X+Y sendo a soma), temos: Pr(S=10) = 3/36 = 1/12 mas Pr(S=10 | X=5) = Pr(Y=5) = 1/6 (o dobro da anterior) Pr(S=10 | X<>5) = 2/30 = 1/15 isto eh, antes de apostar no 10, eu gostaria de saber se o primeiro deu 5 ou nao. O primeiro dado dar 5 aumenta a chance da soma dar 10 de 1/12 para 1/6. porem Pr(S=7) = 6/36 = 1/6 e Pr(S=7 | X=5) = Pr(Y=2) = 1/6 Pr(S=7 | X<>5) = 5/30 = 1/6 entao uma espiadela no primeiro dado nao ajuda em nada se eu estou preocupado em saber se a soma deu 7 ou nao. Abraco, Ralph P.S.: Voce conhece a lista de olimpiadas de matematica? Estas perguntas caem bem lah. Veja http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wed 3/10/2004 8:40 PM To: Ralph Teixeira Cc: Subject: Enc: DÚVIDA CRÔNICA! Gostaria muito da sua ajuda no problema abaixo que vem causando muita polêmica! Jogamos dois dados, interessando-nos os seguintes eventos: primeiro dado, resultado 5; total 7; total 10. A seguinte conclusão verbal é correta? Se não, corrigi-la. Se eu apostar no total 10, uma olhada no primeiro dado, para ver se deu 5, me ajudará (modificará as chances). Mas se eu apostar no total 7, não adiantará. NOTA: Vale salientar que a resposta do livro INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA, Thomas H. Wonnacott e Ronald J. Wonnacott afirma que a conclusão é verdadeira! OK! - Finalizar mensagem encaminhada - WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ One-click access to Hotmail from any Web page download MSN Toolbar now! http://clk.atdmt.com/AVE/go/onm00200413ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjunto das Partes
Eu tenho reparado que problemas sobre conjuntos sempre dão ibope nessa lista.
Então aqui vai um:
Dê um exemplo de um conjunto A tal que existe uma bijeção entre P(A) e N, onde:
N = conjunto dos números naturais = {1, 2, 3,};
P(A) = conjunto das partes de A = conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A
(por exemplo, se A = {1,2}, então P(A) = {vazio,{1},{2},{1,2}})
[]´s,
Claudio.
N = conjunto dos numeros naturais = {1, 2, 3, ...}
