[obm-l] outra de derivada parcial
Provar Seja A c R^2 um retangulo aberto, de lados paralelos aos eixos. Se f: A---R possui derivadas parciais em todos os pontos de A então, dados (a,b) e (a+h,b+k) em A existe t em (0,1) tal que f(a+h,b+k)-f(a,b)=d1f(a+th,b+k)h + d2f(a+h,b+tk)k. Obrigado _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] number theory
Essa questão foi da lista, mas não consegui faze-la e também não vi nenhuma resposta. podem ajudar? 1- qual o ultimo algarismo não nulo na representação decimal de 1000!. 2- qual o último algarismo não-nulo de n! _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] number theory
Essa questão foi da lista, mas não consegui faze-la e também não vi nenhuma resposta. podem ajudar? 1- qual o ultimo algarismo não nulo na representação decimal de 1000!. 2- qual o último algarismo não-nulo de n! _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] corrida... - CORRECAO
on 04.05.04 15:14, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 04.05.04 13:51, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, levei um tempinho para resolver esta questão, e cheguei a conclusao que a resposta é a) Gostaria de saber a opinião dos colegas da lista. Se alguem tem uma boa solucao e etc O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida. Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. Obrigado Oi, Niski: Concordo com voce. Uma ideia eh olhar isso como uma composicao, em alguma ordem, de 17 permutacoes, 9 das quais sao a transposicao (1,2) e as 8 restantes sao a transposicao (2,3). Largada: 1:R, 2:D, 3:B (B = Rubinho) Chegada: 1:R, 2:D, 3:B ou 1:D, 2:B, 3:R Repare que uma transposicao eh uma permutacao impar. Logo, a composicao de 17 (um numero impar) delas resulta numa permutacao impar. Logo, a permutacao resultante da composicao nao pode ser a identidade, o que nos forca a concluir que a chegada foi: 1:D, 2:B, 3:R, ou seja, David ganhou a corrida. Como bem lembrou o Morgado, a solucao acima estah errada. A ideia funciona mas eu esqueci de verificar a paridade da alternativa restante (1:D, 2:B, 3:R). Infelizmente, partindo de RDB, soh conseguimos chegar a DBR por meio de um numero par de transposicoes. Por exemplo: RDB - DRB - DBR. Logo, a chegada nao pode ter sido DBR, o que elimina (a) e faz com que a resposta certa seja (e). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provas IME
OI Igor, procure no site http://www.lps.ufrj.br/~sergioln se tiver problema me avise. Abraco, sergio On Wed, 5 May 2004, Igor Oliveira wrote: Meu e-mail que era cadastrado na Lista da OBM foi cancelado, e não pude verificar os comentários de vocês sobre as provas do IME. Alguém sabe qual site (ou quem) possui as provas? Li a respeito de textos sebosos, mas não importa se são ou não (creio que não sejam), gostaria mesmo era de saber onde consegui-los. Se possível, gostaria de saber onde encontrar as provas do ITA também. Obrigado, Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Curiosidade OFF-TOPIC
Sobre os ângulos: 1' = 60 " 60' = 1º Essas são as relações, porém, há alguma relação entre o grau ser 60 minutos e uma hora também o ser? Muito obrigado, Alan PellejeroYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] Variavel Complexa
Oi Lista! Podem me ajudar neste exercicio? != significa diferente ** significa expoente Seja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove que para qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 ) 1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0 Obrigado = - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Variavel Complexa
Ola Marcus! Fica simples se voce considerar que w**(n) - 1 = (w - 1)(1 + w + w**2 + ... +w**(n-1)) = 0. Como w - 1 != 0, entao 1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0. cqd. Wallace Alves Martins LPS/UFRJ Marcus Alexandre Nunes writes: Oi Lista! Podem me ajudar neste exercicio? != significa diferente ** significa expoente Seja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove que para qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 ) 1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0 Obrigado = - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
Eu posso ter errado alguma conta mas tome n = 561, k = 35 e p = 4.
Entao:
561 = 1 + 35*4^2
2^35 == 263 1 (mod 561)
2^560 == 1 (mod 561)
E, no entanto, 561 = 3*11*17.
Será que, no enunciado, não devemos exigir também quep seja primo?
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 5 May 2004 12:41:54 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
E, isso reflete a minha familiaridade com linguas...
Vou traduzir:
Considere um natural p. Se k e n sao tais que kp , n=1+k*p^{2} e
2^{k}1
2^{n-1}=1 modulo n,
prove que n deve ser primo.
"Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
O livro pode ter sido traduzido, mas acho que esse enunciado ainda estah em chines...on 04.05.04 16:48, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alo criançada!Estou aqui com um livro chines (traduzido para o ingles, ainda bem...) de Teoria dos Numeros. Nele tem um problema que eu ainda nao resolvi.Vou deixar cozinhando aqui na lista e quando tiver no ponto eu volto."Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".Ah, alguem ja fez (alem de mim, do Gugu, do Zoroastro e do Shine) aquele problema da Eureka! de Teoria dos Numeros?Te mais!!!Ass.:Johann
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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Re: [obm-l] Variavel Complexa
Tente ver isso como soma de PG.Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Lista!Podem me ajudar neste exercicio?!= significa diferente** significa expoenteSeja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove quepara qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 )1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0Obrigado=-Marcus Alexandre Nunes[EMAIL PROTECTED]UIN 114153703___Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re:[obm-l] Variavel Complexa
As raizes n-esimas da unidade sao justamente as raizes do polinomio: p(x) = x^n - 1. Fatorando, ficamos com: p(x) = (x - 1)*(x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1). Se w 1 e p(w) = 0, entao w eh raiz de: q(x) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1 Ou seja: w^(n-1) + w^(n-2) + ... + w + 1 = 0. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 5 May 2004 13:51:15 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Variavel Complexa Oi Lista! Podem me ajudar neste exercicio? != significa diferente ** significa expoente Seja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove que para qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 ) 1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0 Obrigado = - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] UIN 114153703 __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Oi Nicolau, Aquele problema que circulou na lista me causou algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do Rudin). Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu, bem como aquele mais particular para funcões de R^n - R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que as derivadas direcionais de f existam em um conjunto contendo o segmento que une a a b? (acho que esta última condição basta, certo?) Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu estou tentando provar isso, mas não estou certo. Obrigado Artur --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: ... Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = grad(f)(c),y - x = SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| = M. ... O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. Seja f: R - R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). Seja y = 2 pi e x = 0. Temos f(y) - f(x) = 0. Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o qual f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) O que o teorema do valor médio diz é que existe t tal que |f(y) - f(x)| = |f'(t)| |(y - x)| o que aliás é verdade para qualquer t. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
On Wed, May 05, 2004 at 12:51:40PM -0700, Artur Costa Steiner wrote: Oi Nicolau, Aquele problema que circulou na lista me causou algumas dúvidas. Se você tiver tempo, gostaria de ajuda, pois estas questões não são cobertas no livro do Apostol nem do do Bartle (e acho que nem no do Rudin). Aquele teorema do valor médio ao qual você se referiu, bem como aquele mais particular para funcões de R^n - R, exige que f seja diferenciável ou exige apenas que as derivadas direcionais de f existam em um conjunto contendo o segmento que une a a b? (acho que esta última condição basta, certo?) Certo. Basta considerar a restrição da função ao segmento e usar o TVM usual. Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu estou tentando provar isso, mas não estou certo. Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho tão interessante; vou pensar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu estou tentando provar isso, mas não estou certo. Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho tão interessante; vou pensar. Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais dificil de se entender. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Claúdio Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. Valeu... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] álgebra
Calcule a soma S= ( 1/sqrt ( 2 ) + sqrt ( 1 ) ) + ( 1/sqrt ( 3 ) + sqrt ( 2 ) ) + ( 1/sqrt ( 4 ) + sqrt ( 3 ) ) + ... + ( 1/sqrt ( 99 ) + sqrt ( 100 ) ) --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Para provar isto, acho que podemos fazer o seguinte. De modo a facilitar, consideremos uma funcao de U em R, sendo U um aberto de R^2 contendo (0,0). Para todos (u,v) em U temos que f(u,v) - f(0,0) = f(u,v) - f(u,0) + f(u,0) -f(0,0). Como as derivadas parciais de f existem em U, podemos aplicar o teorema do valor medio, caso unidimensional, aa restricao de f ao segmento que une (u,0) a (u,v), obtendo um ponto y neste segmento tal que f(u,v) - f(u,0) = v*f_2(y), sendo f_2 a derivada parcial de f com relacao a x_2. Faca algo similar com relacao aa diferenca f(u,0) - f(0,0). Observe que existe um M0 tal que, para todo x em U, ||f_1(x)|| =M e ||f_2(x)|| =M. Considere a desigualdade do triangulo e veja o que acontece com ||f(u,v) - f(0,0)|| quando (u,v) - (0,0). Tambem interesante eh provar o seguinte fato que, ao que me parece, naum eh muito conhecido: Uma condicao suficiente para que f:R^n - R seja diferenciavel em um ponto interior x de seu dominio eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e que todas outras existam e sejam continuas em uma vizinhanca de x. (Esta condicao naum eh necessaria) Quando n=2, dizemos que f eh diferenciavel em x se existir uma funcao linear L:R^n - R tal que, para todo h tal que x+h fique no dominio de f, tenhamos f(x+a) - f(x) = L(h) + o(||h||), onde o eh uma funcao tal que o(h)/||h|| -0 quando ||h|| - 0. A funcao L (que depende de x) eh a derivada de f em x. No caso unidimensional, a derivada de f em x, caso exista, seria, segundo esta definicao, a funcao que a cada u associa o numero real f'(x)* u. Mas aih eh muito mais simples e conveniente ver f'(x) naum como uma funcao mas como um numero real. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao Data: 05/05/04 19:52 Claúdio Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. Valeu... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Fico contente. E como o Nicolau e o Artur não se manifestaram, acho que a demonstração deve estar certa mesmo. Nesse caso, sabendo que |f(x) - f(y)| = M*||x - y||, paraquaisquer x, y em U (onde ||a|| = norma da soma de a), acho que podemos provar até que f é uniformemente contínua em U, não? Basta tomar delta = epsilon/M. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 05 May 2004 22:27:46 + Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao Claúdio Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua. Valeu... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Oi, Artur: Eu estou no Rio e longe dos meus livros. Por isso pergunto: Qual a definição de derivada direcional? Eu me lembro de ter visto isso em Cálculo III mas foi no século passado... Por acaso a derivada direcional da função f (definida num subconjunto aberto do R^n) no ponto x_0 e na direção do vetorv é igual a: Dv(f)(x_0) =lim(t - 0) (f(x_0 +t*v)- f(x_0))/t (t real)? Em caso afirmativo,v precisa ser um vetor unitário? Eu pergunto porque se v for um vetor da base canônica do R^n (digamos o i-esimo: e_i), acho que o limite acima será igual à derivada parcial de f em relação a i-ésima variável independente. Daí, talvez seja só uma questão de expressar v em função dos vetores da base canônica. Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). Então, um pouquinho de álgebra resulta em: (f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/(tb). Fazendo t - 0, teremos que: Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) == Dv(f)(x_0) = grad(f)(x_0) , v = produto interno usual de grad(f) no ponto x_0 e v. Se tudo acima estiver certo, então a existência das derivadas parciais no aberto implica a existência das derivadas direcionais. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu estou tentando provar isso, mas não estou certo. Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho tão interessante; vou pensar. Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais dificil de se entender. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
E verdade...Mas ce sabe, substituiçao psicologica e dose..."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu posso ter errado alguma conta mas tome n = 561, k = 35 e p = 4.
Entao:
561 = 1 + 35*4^2
2^35 == 263 1 (mod 561)
2^560 == 1 (mod 561)
E, no entanto, 561 = 3*11*17.
Será que, no enunciado, não devemos exigir também quep seja primo?
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 5 May 2004 12:41:54 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
E, isso reflete a minha familiaridade com linguas...
Vou traduzir:
Considere um natural p. Se k e n sao tais que kp , n=1+k*p^{2} e
2^{k}1
2^{n-1}=1 modulo n,
prove que n deve ser primo.
"Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
O livro pode ter sido traduzido, mas acho que esse enunciado ainda estah em chines...on 04.05.04 16:48, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alo criançada!Estou aqui com um livro chines (traduzido para o ingles, ainda bem...) de Teoria dos Numeros. Nele tem um problema que eu ainda nao resolvi.Vou deixar cozinhando aqui na lista e quando tiver no ponto eu volto."Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".Ah, alguem ja fez (alem de mim, do Gugu, do Zoroastro e do Shine) aquele problema da Eureka! de Teoria dos Numeros?Te mais!!!Ass.:Johann
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[obm-l] RE: [obm-l] álgebra
Eu acredito que você tenha escrito os termos da soma de modo errado, pois
não haveria necessidade de parênteses externos nos termos. Provavelmente, a
soma desejada é um caso particular da clássica apresentada após a notação.
Na resolução considere a seguinte notação:
S[i=a][i=b]{f(i)}: Somatório de f(i) com i variando de a até b.
Calcule a soma
S=1/[sqr(2)+sqr(1)]+1/[sqr(3)+sqr(2)]+1/[sqr(4)+sqr(3)]+...+
1/[sqr(n)+sqr(n-1)], como n inteiro maior que 1.
RESOLUÇÃO:
S = S[i=2][i=n]{1/[sqr(i)+sqr(i-1)]}
Multiplicando o numerador e o denominador do termo geral pelo termo
racionalizante, tem-se:
S = S[i=2][i=n]{1.[sqr(i)-sqr(i-1)]/[sqr(i)+sqr(i-1)].[sqr(i)-sqr(i-1)]}
S = S[i=2][i=n]{[sqr(i)-sqr(i-1)]/[i-(i-1)]}
S = S[i=2][i=n]{[sqr(i)-sqr(i-1)]}
S = S[i=2][i=n]{sqr(i)}-S[i=2][i=n]{sqr(i-1)}
S = S[i=2][i=n]{sqr(i)}-S[i-1=1][i-1=n-1]{sqr(i-1)}
S = S[i=2][i=n]{sqr(i)}-S[i=1][i=n-1]{sqr(i)}
S = S[i=2][i=n-1]{sqr(i)}+sqr(n)-sqr(1)-S[i=2][i=n-1]{sqr(i)}
S = sqr(n)-sqr(1)
S = sqr(n)-1
No caso particular deste problema:
n = 100: S = sqr(100)-1 = 10-1 = 9
Resposta: S = 9
Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação
[EMAIL PROTECTED]
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of seanjr
Sent: quarta-feira, 5 de maio de 2004 20:17
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] álgebra
Calcule a soma S= ( 1/sqrt ( 2 ) + sqrt ( 1 ) ) + ( 1/sqrt (
3 ) + sqrt (
2 ) ) + ( 1/sqrt ( 4 ) + sqrt ( 3 ) ) + ... + ( 1/sqrt ( 99 )
+ sqrt (
100 ) )
---
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=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] álgebra
Acho que esse somatório está escrito errado ... veja se o último termo não é 1/sqrt(100) + sqrt(99) ou então 1/sqrt(101) + sqrt(100) []'s MP = De:seanjr [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] álgebra Calcule a soma S= ( 1/sqrt ( 2 ) + sqrt ( 1 ) ) + ( 1/sqrt ( 3 ) + sqrt ( 2 ) ) + ( 1/sqrt ( 4 ) + sqrt ( 3 ) ) + ... + ( 1/sqrt ( 99 ) + sqrt ( 100 ) ) --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
??
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 5 May 2004 21:33:19 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
E verdade...Mas ce sabe, substituiçao psicologica e dose..."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu posso ter errado alguma conta mas tome n = 561, k = 35 e p = 4.
Entao:
561 = 1 + 35*4^2
2^35 == 263 1 (mod 561)
2^560 == 1 (mod 561)
E, no entanto, 561 = 3*11*17.
Será que, no enunciado, não devemos exigir também quep seja primo?
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 5 May 2004 12:41:54 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] Outro de Teoria dos Numeros
E, isso reflete a minha familiaridade com linguas...
Vou traduzir:
Considere um natural p. Se k e n sao tais que kp , n=1+k*p^{2} e
2^{k}1
2^{n-1}=1 modulo n,
prove que n deve ser primo.
"Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
O livro pode ter sido traduzido, mas acho que esse enunciado ainda estah em chines...on 04.05.04 16:48, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Alo criançada!Estou aqui com um livro chines (traduzido para o ingles, ainda bem...) de Teoria dos Numeros. Nele tem um problema que eu ainda nao resolvi.Vou deixar cozinhando aqui na lista e quando tiver no ponto eu volto."Se kp, n=1+k*p^{2} e 2^{k}1=2^{n-1} (mod n), entao n e primo".Ah, alguem ja fez (alem de mim, do Gugu, do Zoroastro e do Shine) aquele problema da Eureka! de Teoria dos Numeros?Te mais!!!Ass.:Johann
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
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Re[2]: [obm-l] Variavel Complexa
1 + w + w^2 + w^3 + ... + w^(n-1) = =[(w-1)(1 + w + w^2+... +w^(n-1)]/(w-1) = =[w^n -1]/(w-1]= =0/(w-1) = 0 no enunciado diz q w é uma raíz n-ésima da unidade e, portanto w^n - 1 = 0 mas w - 1 != 0 porque está explícito q w!=1 []'s MP = De:Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Variavel Complexa Tente ver isso como soma de PG.Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Lista!Podem me ajudar neste exercicio?!= significa diferente** significa expoenteSeja w != 1 uma raiz enesima da unidade. Prove quepara qualquer inteiro nao-negativo (n !=1 )1 + w + w**2 + ... +w**(n-1) = 0Obrigado=-M arcus Alexandre [EMAIL PROTECTED] 114153703___ ___Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l .html=== == TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Quando for assim... entra no mathworld... http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Derivadas parciais e prova bijetiva
Bem lembrado. E por sinal, a definição do Mathworld bate com a que eu tinha em mente, só que o vetor da direção é unitário. Obrigado. * Mudando de assunto, você tem certeza de que aquela fórmula da demonstração bijetivaestá certa? De ondevocê tirouo problema? Eu achei que fura para n = 6, mas como fiz a enumeração das sequencias no braço, eu posso ter deixado passar alguma. Eu incluí a sequência vazia, as unitárias e aquelas com 2 termos. n u(n) s(n) u(n-1) + s(n)/2 1 2 2 2 4 4 4 37 6 7 4 12 1012 5 19 14 19 6 29 20 29 7 43 26 42 * 8 62 36 61 * []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 5 May 2004 23:09:31 -0300 Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais Quando for assim... entra no mathworld... http://mathworld.wolfram.com/DirectionalDerivative.html
Re[obm-l] number theory - alguma solução melhor?
alguém tem uma solução melhor?
Ja foi respondido sim...
1000! =
402387 260077 093773 543702 433923 003985 719374 864210 714632 543799
910429
938512 398629 020592 044208 486969 404800 479988 610197 196058 631666
872994
808558 901323 829669 944590 997424 504087 073759 918823 627727 188732
519779
505950 995276 120874 975462 497043 601418 278094 646496 291056 393887
437886
487337 119181 045825 783647 849977 012476 632889 835955 735432 513185
323958
463075 557409 114262 417474 349347 553428 646576 611667 797396 668820
291207
379143 853719 588249 808126 867838 374559 731746 136085 379534 524221
586593
201928 090878 297308 431392 844403 281231 558611 036976 801357 304216
168747
609675 871348 312025 478589 320767 169132 448426 236131 412508 780208
000261
683151 027341 827977 704784 635868 170164 365024 153691 398281 264810
213092
761244 896359 928705 114964 975419 909342 221566 832572 080821 333186
116811
553615 836546 984046 708975 602900 950537 616475 847728 421889 679646
244945
160765 353408 198901 385442 487984 959953 319101 723355 556602 139450
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195444
414282 012187 361745 992642 956581 746628 302955 570299 024324 153181
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075781 391858 178889 652208 164348 344825 993266 043367 660176 999612
831860
788386 150279 465955 131156 552036 093988 180612 138558 600301 435694
527224
206344 631797 460594 682573 103790 084024 432438 465657 245014 402821
885252
470935 190620 929023 136493 273497 565513 958720 559654 228749 774011
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640259 899490 21 765904 339901 886018 566526 485061 799702 356193
897017
860040 811889 729918 311021 171229 845901 641921 068884 387121 855646
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798722 908519 296819 372388 642614 839657 382291 123125 024186 649353
143970
137428 531926 649875 337218 940694 281434 118520 158014 123344 828015
051399
694290 153483 077644 569099 073152 433278 288269 864602 789864 321139
083506
217095 002597 389863 554277 196742 822248 757586 765752 344220 207573
630569
498825 087968 928162 753848 863396 909959 826280 956121 450994 871701
244516
461260 379029 309120 889086 942028 510640 182154 399457 156805 941872
748998
094254 742173 582401 063677 404595 741785 160829 230135 358081 840096
996372
524230 560855 903700 624271 243416 909004 153690 105933 983835 777939
410970
027753 472000 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 =
2 ^ 994 x 3 ^ 498 x 5 ^ 249 x 7 ^ 164 x 11 ^ 98 x 13 ^ 81 x 17 ^ 61 x 19 ^
54 x
23 ^ 44 x 29 ^ 35 x 31 ^ 33 x 37 ^ 27 x 41 ^ 24 x 43 ^ 23 x 47 ^ 21 x 53 ^
18 x
59 ^ 16 x 61 ^ 16 x 67 ^ 14 x 71 ^ 14 x 73 ^ 13 x 79 ^ 12 x 83 ^ 12 x 89
^11
x
97 ^ 10 x 101 ^ 9 x 103 ^ 9 x 107 ^ 9 x 109 ^ 9 x 113 ^ 8 x 127 ^ 7 x 131 ^
7 x
137 ^ 7 x 139 ^ 7 x 149 ^ 6 x 151 ^ 6 x 157 ^ 6 x 163 ^ 6 x 167 ^ 5 x 173 ^
5 x
179 ^ 5 x 181 ^ 5 x 191 ^ 5 x 193 ^ 5 x 197 ^ 5 x 199 ^ 5 x 211 ^ 4 x 223 ^
4 x
227 ^ 4 x 229 ^ 4 x 233 ^ 4 x 239 ^ 4 x 241 ^ 4 x 251 ^ 3 x 257 ^ 3 x 263 ^
3 x
269 ^ 3 x 271 ^ 3 x 277 ^ 3 x 281 ^ 3 x 283 ^ 3 x 293 ^ 3 x 307 ^ 3 x 311 ^
3 x
313 ^ 3 x 317 ^ 3 x 331 ^ 3 x 337 ^ 2 x 347 ^ 2 x 349 ^ 2 x 353 ^ 2 x 359 ^
2 x
367 ^ 2 x 373 ^ 2 x 379 ^ 2 x 383 ^ 2 x 389 ^ 2 x 397 ^ 2 x 401 ^ 2 x 409 ^
2 x
419 ^ 2 x 421 ^ 2 x 431 ^ 2 x 433 ^ 2 x 439 ^ 2 x 443 ^ 2 x 449 ^ 2 x 457 ^
2 x
461 ^ 2 x 463 ^ 2 x 467 ^ 2 x 479 ^ 2 x 487 ^ 2 x 491 ^ 2 x 499 ^ 2 x 503 x
509 x
521 x 523 x 541 x 547 x 557 x 563 x 569 x 571 x 577 x 587 x 593 x 599 x 601
x 607 x
613 x 617 x 619 x 631 x 641 x 643 x 647 x 653 x 659 x 661 x 673 x 677 x 683
x 691 x
701 x 709 x 719 x 727 x 733 x 739 x 743 x 751 x 757 x 761 x 769 x 773 x 787
x 797 x
809 x 811 x 821 x 823 x 827 x 829 x 839 x 853 x 857 x 859 x 863 x 877 x 881
x 883 x
887 x 907 x 911 x 919 x 929 x 937 x 941 x 947 x 953 x 967 x 971 x 977 x 983
x 991 x 997
Logo o ultimo algarismo não nulo na representação decimal de 1000! e 2
O ultimo algarismo não nulo na representação decimal de n! e k, tal que k
em
{2,4,6,8}
Todo n! pode ser escrito como:
n! = 2^(a+b)*5^(b)*m
Logo o algarismo procurado e 2^a*m (mod 10)
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] number theory
Date: Wed, 5 May 2004 02:47:31
Re[obm-l] number theory - alguma solução melhor?
alguém tem uma solução melhor?
Ja foi respondido sim...
1000! =
402387 260077 093773 543702 433923 003985 719374 864210 714632 543799
910429
938512 398629 020592 044208 486969 404800 479988 610197 196058 631666
872994
808558 901323 829669 944590 997424 504087 073759 918823 627727 188732
519779
505950 995276 120874 975462 497043 601418 278094 646496 291056 393887
437886
487337 119181 045825 783647 849977 012476 632889 835955 735432 513185
323958
463075 557409 114262 417474 349347 553428 646576 611667 797396 668820
291207
379143 853719 588249 808126 867838 374559 731746 136085 379534 524221
586593
201928 090878 297308 431392 844403 281231 558611 036976 801357 304216
168747
609675 871348 312025 478589 320767 169132 448426 236131 412508 780208
000261
683151 027341 827977 704784 635868 170164 365024 153691 398281 264810
213092
761244 896359 928705 114964 975419 909342 221566 832572 080821 333186
116811
553615 836546 984046 708975 602900 950537 616475 847728 421889 679646
244945
160765 353408 198901 385442 487984 959953 319101 723355 556602 139450
399736
280750 137837 615307 127761 926849 034352 625200 015888 535147 331611
702103
968175 921510 907788 019393 178114 194545 257223 865541 461062 892187
960223
838971 476088 506276 862967 146674 697562 911234 082439 208160 153780
889893
964518 263243 671616 762179 168909 779911 903754 031274 622289 988005
195444
414282 012187 361745 992642 956581 746628 302955 570299 024324 153181
617210
465832 036786 906117 260158 783520 751516 284225 540265 170483 304226
143974
286933 061690 897968 482590 125458 327168 226458 066526 769958 652682
272807
075781 391858 178889 652208 164348 344825 993266 043367 660176 999612
831860
788386 150279 465955 131156 552036 093988 180612 138558 600301 435694
527224
206344 631797 460594 682573 103790 084024 432438 465657 245014 402821
885252
470935 190620 929023 136493 273497 565513 958720 559654 228749 774011
413346
962715 422845 862377 387538 230483 865688 976461 927383 814900 140767
310446
640259 899490 21 765904 339901 886018 566526 485061 799702 356193
897017
860040 811889 729918 311021 171229 845901 641921 068884 387121 855646
124960
798722 908519 296819 372388 642614 839657 382291 123125 024186 649353
143970
137428 531926 649875 337218 940694 281434 118520 158014 123344 828015
051399
694290 153483 077644 569099 073152 433278 288269 864602 789864 321139
083506
217095 002597 389863 554277 196742 822248 757586 765752 344220 207573
630569
498825 087968 928162 753848 863396 909959 826280 956121 450994 871701
244516
461260 379029 309120 889086 942028 510640 182154 399457 156805 941872
748998
094254 742173 582401 063677 404595 741785 160829 230135 358081 840096
996372
524230 560855 903700 624271 243416 909004 153690 105933 983835 777939
410970
027753 472000 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00
00
00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 =
2 ^ 994 x 3 ^ 498 x 5 ^ 249 x 7 ^ 164 x 11 ^ 98 x 13 ^ 81 x 17 ^ 61 x 19 ^
54 x
23 ^ 44 x 29 ^ 35 x 31 ^ 33 x 37 ^ 27 x 41 ^ 24 x 43 ^ 23 x 47 ^ 21 x 53 ^
18 x
59 ^ 16 x 61 ^ 16 x 67 ^ 14 x 71 ^ 14 x 73 ^ 13 x 79 ^ 12 x 83 ^ 12 x 89
^11
x
97 ^ 10 x 101 ^ 9 x 103 ^ 9 x 107 ^ 9 x 109 ^ 9 x 113 ^ 8 x 127 ^ 7 x 131 ^
7 x
137 ^ 7 x 139 ^ 7 x 149 ^ 6 x 151 ^ 6 x 157 ^ 6 x 163 ^ 6 x 167 ^ 5 x 173 ^
5 x
179 ^ 5 x 181 ^ 5 x 191 ^ 5 x 193 ^ 5 x 197 ^ 5 x 199 ^ 5 x 211 ^ 4 x 223 ^
4 x
227 ^ 4 x 229 ^ 4 x 233 ^ 4 x 239 ^ 4 x 241 ^ 4 x 251 ^ 3 x 257 ^ 3 x 263 ^
3 x
269 ^ 3 x 271 ^ 3 x 277 ^ 3 x 281 ^ 3 x 283 ^ 3 x 293 ^ 3 x 307 ^ 3 x 311 ^
3 x
313 ^ 3 x 317 ^ 3 x 331 ^ 3 x 337 ^ 2 x 347 ^ 2 x 349 ^ 2 x 353 ^ 2 x 359 ^
2 x
367 ^ 2 x 373 ^ 2 x 379 ^ 2 x 383 ^ 2 x 389 ^ 2 x 397 ^ 2 x 401 ^ 2 x 409 ^
2 x
419 ^ 2 x 421 ^ 2 x 431 ^ 2 x 433 ^ 2 x 439 ^ 2 x 443 ^ 2 x 449 ^ 2 x 457 ^
2 x
461 ^ 2 x 463 ^ 2 x 467 ^ 2 x 479 ^ 2 x 487 ^ 2 x 491 ^ 2 x 499 ^ 2 x 503 x
509 x
521 x 523 x 541 x 547 x 557 x 563 x 569 x 571 x 577 x 587 x 593 x 599 x 601
x 607 x
613 x 617 x 619 x 631 x 641 x 643 x 647 x 653 x 659 x 661 x 673 x 677 x 683
x 691 x
701 x 709 x 719 x 727 x 733 x 739 x 743 x 751 x 757 x 761 x 769 x 773 x 787
x 797 x
809 x 811 x 821 x 823 x 827 x 829 x 839 x 853 x 857 x 859 x 863 x 877 x 881
x 883 x
887 x 907 x 911 x 919 x 929 x 937 x 941 x 947 x 953 x 967 x 971 x 977 x 983
x 991 x 997
Logo o ultimo algarismo não nulo na representação decimal de 1000! e 2
O ultimo algarismo não nulo na representação decimal de n! e k, tal que k
em
{2,4,6,8}
Todo n! pode ser escrito como:
n! = 2^(a+b)*5^(b)*m
Logo o algarismo procurado e 2^a*m (mod 10)
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Subject: [obm-l] number theory
Date: Wed, 5 May 2004 02:47:31
