Re: [obm-l] Problema Legal
Tm toda a razao. Eu esqueci do 96 = 3*32. Obrigado pela correcao. []s, Claudio. on 16.10.04 00:37, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote: o 96 tb seria azul nao? seguindo sua lohgica: 3 6 12 24 48 96, cujo maior divisor impar eh 3: 4*0 + 3 entao teremos 48 azuis e portando 52 vermelhos, correto? On Wed, Oct 13, 2004 at 10:19:59AM -0200, Claudio Buffara wrote: on 12.10.04 18:09, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: Abaixo, segue um problema legal: Problema Num corredor, existem 100 armários em fila, numeradas de 1 até 100. Um pintor vem e pinta todas os armários de vermelho. Em seguida, vem um segundo pintor e pinta de azul os armários de três em três, começando do armário número 3. A seguir, vem um terceiro pintor e pinta de vermelho os armários de cinco em cinco, começando no armário de número 5 (ele pinta de vermelho, mesmo que o armário já seja vermelho). Em seguida, vem um quarto pintor e pinta de azul os armários de sete em sete, começando no armário 7. A seguir, vem um quinto pintor, e assim por diante, alternando a pintura vermelha, azul, até o pintor de número 50. No final, quantos armários são vermelhos? As pinturas vermelhas sao multiplas de 1, 5, 9, 13, ..., 97 (4k+1) As pinturas azuis sao multiplas de 3, 7, 11, 15, ..., 99 (4k+3) A cor final de um dado armario eh a cor da ultima pintura que ele recebe e esta cor corresponde justamente ao maior divisor impar do numero do armario. Assim, o numero de armarios azuis eh igual ao numero de inteiros entre 1 e 100 (inclusive) cujo maior divisor impar eh da forma 4k+3. Estes numeros sao: 3, 7, 11, 15, ..., 95, 99 (25); 6, 14, 22, 30, ..., 86, 94 (25+12=37); 12, 28, 44, 60, 76, 92 (37+6=43); 24, 56, 88 (43+3=46); 48 (46+1=47) Logo, os armarios vermelhos sao em numero de 100 - 47 = 53. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tangentes
Maurizio, você tem 4 incógnitas, então precisa de 4 equações. f(x)=ax^3+bx^2+cx+d == f'(x)=3ax^2+2bx+c i) f(0)=1 ii) f(3)=4 iii) f'(0)=1 iv) f'(3)=-2 Ok? Leo Citando Maurizio [EMAIL PROTECTED]: Tou com dúvida na resposta desse problema: Encontre a, b, c e d, de forma que a curva y=ax^3+bx^2+cx+d toque a reta y=x+1 no ponto (0,1), e a reta y=-2x+10 no ponto (3,4). Obrigado, Maurizio Casalaspro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 2 pares de luvas e 3 pacientes
Um cirurgiao dispoe de apenas 2 pares de luvas cirurgicas mas precisa operar 3 pacientes. Como ele deve fazer para que ninguem, nem mesmo ele, seja contaminado. OBS: O problema original era com 2 camisinhas, mas eu resolvi mudar porque alguem poderia se ofender... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] postos de gasolina
Gostei! Muito interessante o problema.
Em vez de contar a quantidade de litros que cada posto tem, vamos contar
a distância que o total de gasolina do posto permite o carro andar.
Sejam {1, ..., n} (mod n) os postos e x_i 0 é a quantidade de
gasolina (no sentido acima) no posto i.
Sabemos por hipótese que x_1 + ... + x_n = C, onde C é o comprimento do
circuito.
Seja d_i a distância do posto i ao posto i+1 (mod n, ou seja d_n é a
dist. de x_n a x_1), claramente
d_1 + ... + d_k = C.
Seja k o posto com maior valor de x_k/d_k.
Claramente x_k/d_k = 1, caso contrário, x_i d_i para todo i e isso é
uma contradição.
Agora a prova segue por indução!
Forme um novo circuito sem o trecho entre os postos k e k + 1.
No lugar do trecho e dos dois postos de gasolina, colocamos um único
posto, cuja quantidade de gasolina é x_k + x_{k-1} - d_k 0.
Note que o novo circuito formado tem tamanho C - d_k, a capacidade dos
postos é C - d_k e a soma das distâncias entre postos consecutivos é C -
d_k. Aplique a hip. indutiva e veja que se é possível percorrer o
circuito formado então o circuito original também pode ser percorrido.
O caso base é n = 1, que é trivial!
Olá pessoal !
Em uma pista circular há postos de gasolina, e o total de
gasolinaquehá nos postos é exatamente o suficiente para um carro dar
uma volta.Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque
inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na
pista (parando para reabastecer nos postos).
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] postos de gasolina
No lugar do trecho e dos dois postos de gasolina, colocamos um único
posto, cuja quantidade de gasolina é x_k + x_{k-1} - d_k 0.
opa! é x_k + x_{k+1} - d_k
falha minha!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] 2 pares de luvas e 3 pacientes
Quase...montando o problema fica facil, embora perca um pouco a graca cada luva tem 2 lados como sao 3 pacientes tem 6 contatos de peles envolvidos c|p1 c|p2 c|p3 duas luvas originais fica claro que 2 lados de luva tem ki ser reusados, mas como o cirurgiao eh o unico que aparece mais de uma vez entao eh claro que apenas um dos lados vai ser usado 3vezes. As luvas podem, por exemplo, ser usadas assim: c|p2 e p1|p3 primeiro o cirurgiao usa 2 luvas juntas: c | * *|p1 tira a segunda luva: c| p2 (luva nao usada *|p1) poe a segunda luva do avesso: c | p2 p1| p3 - Original Message - From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, October 16, 2004 10:23 AM Subject: Re: [obm-l] 2 pares de luvas e 3 pacientes hahaha, a resposta que eu tenho NÃO é uma prática recomendável ao problema original! coloque uma err... luva na primeira cirurgia tire a luva e coloque a segunda na segunda cirurgia. não retire a luva e coloque por cima a primeira luva usada do avesso (o lado de dentro estava nas mãos do cirurgião, que, por hip. não deve estar contaminado, certo?). _ On the road to retirement? Check out MSN Life Events for advice on how to get there! http://lifeevents.msn.com/category.aspx?cid=Retirement = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tres problemas
on 15.10.04 21:21, Edward Elric at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Parece que minha mensagem antiga não chegou. Entao eu aproveitei e coloquei
mais um problema:
O primeiro é de um nivel baixo, o segundo eu até consegui fazer, mas dei uma
soluçao estupida, deve existir uma soluçao mais rapida, o terceiro eu nao
consegui fazer.
1) As camponesas de certa região têm uma superstição curiosa para
determinar quando vão casar: A solteira segura em uma das mãos seis folhas
longas de capim, pelo centro delas, de forma que as pontas fiquem de fora,
acima e abaixo da mão. Uma amiga sua amarra as seis pontas de cima duas a
duas, de maneira aleatória, e depois faz o mesmo com as pontas de baixo. Se
as folhas de capim assim amarradas formarem um único anel, as camponesas
crêem que a solteira se casará em menos de um ano. Determine a probabilidade
de o anel ser formado.
Chame as folhas de 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Suponhamos que as pontas de cima sejam amarradas formando os pares:
{1,2}, {3,4} e {5,6}
e que as pontas de baixo sejam amarrados formando os pares X, Y e Z.
Os pares X, Y e Z podem ser escolhidos de Binom(6,2)*Binom(4,2)/3! = 15
maneiras distintas. Estes sao os casos possiveis.
Vamos agora aos casos favoraveis.
Obviamente, 1 e 2 nao podem pertencer ao mesmo par de baixo.
Suponhamos que 1 pertenca a X e 2 pertenca a Y.
A fim de termos um anel, o outro elemento de X deve ser 3, 4, 5 ou 6.
Ou seja, pode ser escolhido de 4 maneiras distintas.
Digamos, pra facilitar, que seja o 3, de forma que X = {1,3}.
A fim de termos um anel, o outro elemento de Y deve ser 5 ou 6 pois se for o
4, teremos um anel parcial formado apenas por 1, 2, 3 e 4, o que nao nos
interessa.
Ou seja, o outro elemento de Y pode ser escolhido de 2 maneiras diferentes.
Uma vez escolhido o outro elemento de Y, os elementos de Z ficam
automaticamente determinados.
Em suma, um anel pode ser formado de 4*2 = 8 maneiras distintas e, portanto,
a probabilidade de termos um anel eh igual a 8/15.
2) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertencem ao
conjunto {2,3,5,7} e
que termina em 11? Se existir, ache o menor deles. Se não existir, mostre
porque.
Seja N o tal inteiro.
Claramente, 2 e 5 nao podem ser fatores pois nenhum multiplo de 2 ou de 5
termina em 11. Assim, N, caso exista, serah da forma 3^a*7^b.
Os ultimos digitos de 3^k e 7^k sao:
k 3^k 7^k
4m 1 1
4m+1 3 7
4m+2 9 9
4m+3 7 3
Assim, uma inspecao rapida mostra que, se N termina em 1, os expoentes de 3
e 7 devem ser congruentes mod 4, ou seja, devem existir inteiros
nao-negativos r e s tais que N = 3^(4r+k)*7^(4s+k), com k em {0,1,2,3}.
Em outras palavras, N = 81^r*2401^s*21^k
Vamos agora trabalhar mod 100:
N == 81^r*1^s*21^k == 81^r*21^k.
81^0 == 1, 81^1 == 81, 81^2 == 61, 81^3 == 41, 81^4 == 21, 81^5 == 1
Ou seja, 81^k eh periodico de periodo 5.
21^0 == 1, 21^1 == 21, 21^2 == 41, 21^3 == 81
Infelizmente, o produto de quaisquer dois elementso (nao necessariamente
distintos) de {1, 21, 41, 61, 81} nao eh congruente a 11 mod 100.
Ou seja, o tal N nao existe.
3) Em cada vértice de um quadrado há algumas fichas. Um movimento é
escolher um vertice, tirar algumas fichas dele, escolher um vizinho e pôr o
dobro de fichas retiradas no vizinho. Se no inicio ha 1,0,0,0 fichas, é
possivel termos 1,9,8,9 fichas em algum momento?
Esse problema eh interessante. A solucao deve envolver algum invariante ou,
pelo menos, um monovariante.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] 2 pares de luvas e 3 pacientes
Acho q é assim: Se o cirurgião tem certeza que não é portador de qualquer vírus (aids p exemplo) ele usa um par para cada paciente (nos dois primeiros) e quando chegar no terceiro, ele vira do avesso as luvas do primeiro e bota por fora das luvas do segundo. Assim o terceiro paciente terá contato apenas com o lado da luva que teve contato com a pele dó médico e este será protegido pelo outro par de luvas. Felipe Torres --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Um cirurgiao dispoe de apenas 2 pares de luvas cirurgicas mas precisa operar 3 pacientes. Como ele deve fazer para que ninguem, nem mesmo ele, seja contaminado. OBS: O problema original era com 2 camisinhas, mas eu resolvi mudar porque alguem poderia se ofender... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tangentes
Nao estah claramente dito, mas pelo titulo da mensagem deduzo que as retas tangenciam o polinomio de 3o grau nos pontos das respctivas interseccoes. Sendo P o polinomio, basta observar que, como a reta intersecta o pol. nos pontos dados, devemos ter P(0)=1 e P(3) = 4. Nestes pontos, a derivada do polinomio deverah se igualar ao coeficiente angular das retas, tendo-se entao que P'(0) = 1 e P'(3) = -2. Estas 4 condicoes acarretam um sistema linear de 4 equacoes e 4 incognitas. Cabe agora resolve-lo, ver se tem solucao, se a solucao eh unica, etc... Probleminha sem graca, nao? Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Tangentes Data: 15/10/04 22:09 Tou com dúvida na resposta desse problema: Encontre a, b, c e d, de forma que a curva y=ax^3+bx^2+cx+d toque a reta y=x+1 no ponto (0,1), e a reta y=-2x+10 no ponto (3,4). Obrigado, Maurizio Casalaspro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida sobre operações com complexos
Oi. eu gostaria de saber se quando aparece algo do tipo | z - 1 | = ? eu faço | |z| - 1| = ? ou z= a+bi logo | z - 1| = | (a-1) + bi | = sqrt[(a-1)^2 + b^2] Eu achava que era do segundo jeito... mas tem dois problemas que só consigo fazer através do primeiro: 1) Sejam z e w números complexos tais que |z| = 1 e |w|1. Calcule | (z-w)/(1-w'*z) | obs.: eu usei w' para o conjugado de w. 2)o valor da expressão |1-z|^2 + |1+z|^2 sendo Z um complexo de módulo unitário é? ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RESOLUÇÕES ENGENHOSAS!
Ola Jorge e demais amigos da lista.Um professor de matematica conhecido meu(alias parabens atrasado a todos os professores dessa lista pelo dia do professor) mostra o raciocinio do problema do xadrez em http://pe360graus.globo.com/educacao360/. PS:Jorge,o livro de Marcio Triolo que vc indicou ,Introdução a estatistica é arretado(giria daqui), deve ser por isso que esta agora na 7 ediçao.Valeu :) Um tabuleiro de damas ou de xadrez padrão consiste em 8 fileiras de 8 quadrados cada. Quadrados adjacentes têm cores alternadas, branco e preto (ou vermelho e preto). Um conjunto de 32 ladrilhos 1x2, cada um cobrindo 2 quadrados, cobrem o tabuleiro completamente (4 ladrilhos por fileira, 8 fileiras). Prove que, se os quadrados nos cantos diagonalmente opostos do tabuleiro forem removidos, o que resta do tabuleiro não pode ser coberto com 31 ladrilhos. Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provar uma congruencia
acho que a minha resposta tah bacana: F(n) = n^5 - 20n^4 + 40n^3 + 70n^2 + 79n - 50 para reduzir o grau dessa expressao, podemos utilizar uma outra que sabemos que eh multipla de 120: por exemplo: (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) esse numero eh multiplo de 120 pois eh multiplo de 5 (produto de 5 numeros consecutivos), eh multiplo de 3 (produto de tres numeros consecutivos) e eh multiplo de 8 (produto de pelo menos dois numeros pares consecutivos) (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) = n^5 - 15n^4 + 85n^3 - 225n^2 + 274n - 120 e portanto: F(n) = (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) - 5n^4 - 45n^3 + 295n^2 - 195n + 70 F(n) = (n-5)(n-4)(n-3)(n-2)(n-1) - 5( n^4 + 9n^3 - 59n^2 + 39n - 14) entao, para provar que F(n) = 0 (mod 120), para qualquer primo maior que 7, basta provar que P(n) = n^4 + 9n^3 - 59n^2 + 39n - 14 = 0 (mod 24), para qualquer primo maior que 7. agora vamos utilizar o mesmo procedimento: sabemos que o produto de quatro numeros consecutivos eh multplo de 24, vamos usar a expressao n(n+1)(n+2)(n+3) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n portanto, P(n) = n(n+1)(n+2)(n+3) + 3n^3 - 70n^2 + 33n - 14 entao, para provar que F(n) = 0 (mod 120) para qualquer primo maior que 7, basta provar que Q(n) = 3n^3 - 70n^2 + 33n - 14 = 0 (mod 24) para qualquer primo maior que 7. se o numero é primo e maior que 7, entao ele é ímpar e pode ser escrito como n = 2k+1 Q(2k+1) = 3[2k + 1]^3 - 70[2k + 1]^2 + 33[2k + 1] - 14 = 4[6k^3 - 61k^2 - 49k - 12] portanto, basta provar que 6k^3 - 61k^2 - 49k - 12 é multiplo de 6 multiplo de 2 percebos que eh, pois se k for impar teremos: par - impar - impar - par = par se k for par, teremos: par - par - par - par = par entao, soh falta provar que é multiplo de 3, o que será se 61k^2 + 49k o for. caso k = 3p, 61k^2 + 49k = k(61k + 49) = 3p(61k + 49), que eh multiplo de 3 k = 3p + 1 faria com que o numero n fosse igual a 3(3p + 1), o que contraria a hipótese de que n é primo e maior que 7 caso k = 3p + 2, 61k^2 + 49k = 3[183p^2 + 293p + 114], que eh multiplo de 3 como soh falatava provar isso, a tese estah provada On Wed, Oct 13, 2004 at 07:19:28PM -0300, Demetrio Freitas wrote: Ola, Gostaria de provar uma congruencia. Dado F(n) = n^5 -20*n^4 +40*n^3 +70*n^2 +79*n -50 Prove que F(n) = 0 (mod 120), se n for primo 7. (Onde = denota conguente) Por exemplo: F(11) = -69240 = -120 * 577 F(19) = 170760 = 120 * 1423 F(97) = 6853927800 = 120 * 57116065 F(563) = 54562015773960 = 120 * 454683464783 Porem: F(15) = -101240 - nao divisivel por 120 F(129) = 30271636600 - nao divisivel por 120 F(597) = 73303331579800 - nao divisivel por 120 Qual caminho usar? Obrigado, Demetrio OBS: Naturalmente a condição eh se n primo e não sse (se e somente se), pois ha muitos n compostos onde F(n) = 0 (mod 120) ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre operações com complexos
on 16.10.04 16:10, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi. eu gostaria de saber se quando aparece algo do tipo | z - 1 | = ? eu fa?o | |z| - 1| = ? Nao. Tente z = -1 e veja o que acontece. ou z= a+bi logo | z - 1| = | (a-1) + bi | = sqrt[(a-1)^2 + b^2] Isso tah certo. Eu achava que era do segundo jeito... mas tem dois problemas que s? consigo fazer atrav?s do primeiro: 1) Sejam z e w n?meros complexos tais que |z| = 1 e |w|1. Calcule | (z-w)/(1-w'*z) | Multiplique o numerador e o denominador por z' e leve me conta que z'z = 1: |(z - w)/(1 - w'z)| = |z'(z - w)/(z'(1 - w'z))| = |z'(z - w)/(z' - w')| = |z'||(z - w)/(z - w)'| = |z'| = |z|. obs.: eu usei w' para o conjugado de w. 2)o valor da express?o |1-z|^2 + |1+z|^2 sendo Z um complexo de m?dulo unit?rio ?? (1 - z)(1 - z') + (1 + z)(1 + z') = 1 - z - z' + zz' + 1 + z + z' + zz' = 2(1 + zz') = 2(1 + 1) = 4 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] postos de gasolina
Obrigado, Domingos !
Falando em indução, se tiverem algum material (apostila on-line, endereço na internet, etc...) onde eu possa estudar isto, agradeceria muito. Eu até encontrei algumas coisas, mas eu gostaria de algum paper que tivesse MUITOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO. Dos que encontrei há apenas 2 exemplos (exercício), na maioria das vezes aquele exemplo da soma de uma P.A ;-)
Se não me engano é um dos axiomas de Peano, não é isso ?
Em uma mensagem de 16/10/2004 11:04:25 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Gostei! Muito interessante o problema.
Em vez de contar a quantidade de litros que cada posto tem, vamos contar
a distância que o total de gasolina do posto permite o carro andar.
Sejam {1, ..., n} (mod n) os postos e x_i 0 é a "quantidade" de
gasolina (no sentido acima) no posto i.
Sabemos por hipótese que x_1 + ... + x_n = C, onde C é o comprimento do
circuito.
Seja d_i a distância do posto i ao posto i+1 (mod n, ou seja d_n é a
dist. de x_n a x_1), claramente
d_1 + ... + d_k = C.
Seja k o posto com maior valor de x_k/d_k.
Claramente x_k/d_k = 1, caso contrário, x_i d_i para todo i e isso é
uma contradição.
Agora a prova segue por indução!
Forme um novo circuito sem o trecho entre os postos k e k + 1.
No lugar do trecho e dos dois postos de gasolina, colocamos um único
posto, cuja quantidade de gasolina é x_k + x_{k-1} - d_k 0.
Note que o novo circuito formado tem tamanho C - d_k, a capacidade dos
postos é C - d_k e a soma das distâncias entre postos consecutivos é C -
d_k. Aplique a hip. indutiva e veja que se é possível percorrer o
circuito formado então o circuito original também pode ser percorrido.
O caso base é n = 1, que é trivial!
Olá pessoal !
Em uma pista circular há postos de gasolina, e o total de
gasolinaquehá nos postos é exatamente o suficiente para um carro dar
uma volta.Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque
inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na
pista (parando para reabastecer nos postos).
Re: [obm-l] Combinatoria!
Talvez seja mais facil comecar com: Qual o numero maximo de cavalos que podem ser colocados num tabuleiro 8x8 de modo que dois cavalos quaisquer nao se ameacem? on 16.10.04 18:28, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: oi Eu n sei se j? foi respondido, pq j? faz um m?s quase que a msg foi enviada.. mas tente bot?-los numa mesma linha ou coluna... os cavalos n?o atacam em linha reta. Felipe --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conhe?o e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre operações com complexos
on 16.10.04 18:18, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] como voc? chegou a equival?ncia |1-z|^2 + |1+z|^2= (1 - z)(1 - z') + (1 + z)(1 + z') ? z*z' = |z|^2 e (z + w)' = z' + w', para todos os complexos z e w. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Problemas com números complexos
1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 (z+1)^5 + z^5 = 0 - (z+1)^5 = -z^5 - ((z+1)^5)/z^5 = -1 - (z+1)/z= (-1)^1/5 Como -1 = cis(pi), temos (-1)^1/5= cis((pi + 2*k*pi)/5), com k=0,1,2,3,4 Assim z(1 - cis((pi + 2*k*pi)/5))=-1 - z= 1/ (cis((pi + 2*k*pi)/5) - 1) Lembrando que cis(x)-1= 2*i*sen(x/2)*cis(x/2) temos: z=1/ 2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)*cis(pi + 2*k*pi)/10) = (cos((pi + 2*k*pi)/10) - i*sen((pi + 2*k*pi)/10)))/2*i*sen(pi + 2*k*pi)/10)= -(1 + i*cot((pi + 2*k*p)/10))/2 Assim temos que a parte real de z é igual a -1/2, e as 5 soluçoes do imaginario de z pertence a essa reta. From: Felipe Torres [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problemas com números complexos Date: Sat, 16 Oct 2004 12:33:18 -0700 (PDT) Oi pessoal, parece q to precisando de um reforço em números complexos.. se alguém souber como se resolve estes problemas a seguir, ou souber indicar uma bibliografia online, agradeço desde já. 1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginário. [nesse aqui eu cheguei a fazer z= -1/2 +bi. depois eu fiz (1/2 + bi)^5 = (1/2 - bi)^5 com isso eu já poderia dizer q obrigatoriamente todas as soluções estarão na abcissa -1/2?] 2)Dado z= 1/ sqrt( -7 + 24i), calcule as partes real e imaginária de z. ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria!
vc pode por 32 cavalos ja que sempre atacam a cor oposta... Claudio Buffara escreveu: Talvez seja mais facil comecar com: Qual o numero maximo de cavalos que podem ser colocados num tabuleiro 8x8 de modo que dois cavalos quaisquer nao se ameacem? on 16.10.04 18:28, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: oi Eu n sei se j? foi respondido, pq j? faz um m?s quase que a msg foi enviada.. mas tente bot?-los numa mesma linha ou coluna... os cavalos n?o atacam em linha reta. Felipe --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conhe?o e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria!
Correto. Soh que iso soh prova que o numero maximo eh = 32. Falta provar que este numero eh = 32. []s, Claudio. on 16.10.04 23:39, Maurizio at [EMAIL PROTECTED] wrote: vc pode por 32 cavalos ja que sempre atacam a cor oposta... Claudio Buffara escreveu: Talvez seja mais facil comecar com: Qual o numero maximo de cavalos que podem ser colocados num tabuleiro 8x8 de modo que dois cavalos quaisquer nao se ameacem? on 16.10.04 18:28, Felipe Torres at [EMAIL PROTECTED] wrote: oi Eu n sei se j? foi respondido, pq j? faz um m?s quase que a msg foi enviada.. mas tente bot?-los numa mesma linha ou coluna... os cavalos n?o atacam em linha reta. Felipe --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conhe?o e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
[obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Ola pessoal Algum pode me ajudar neste tambm Os nmeros a, b e c determinam, nessa ordem, uma progresso aritmtica (PA) de razo r (r 0). Na ordem b, a, c determinam uma progresso geomtrica (PG). Ento a razo da PG Obrigado = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1 Em uma mensagem de 17/10/2004 00:37:28 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Title: Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998 Oi, Fael: Nos arquivos da lista voce vai achar a demonstracao de que, dada uma sequencia qualquer de digitos, existe uma potencia de 2 que comeca com aquela sequencia. Esta foi uma das aplicacoes do principio das casas de pombos mencionadas na enquete da beleza matematica. Se voce analisar esta demonstracao, voce vai ver perceber que, ao inves de 2, poderiamos ter usado qualquer inteiro que nao seja potencia de 10. Assim, ao inves de 2, use 2^1998 e prove que existe um inteiro positivo m tal que os 1000 primeiros digitos de (2^1998)^m sao iguais a 1. Faca n = 2^m e acabou. []s, Claudio. on 17.10.04 00:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Valeu Fael Mas o gabarito consta 7/5 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 00:46 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1 Em uma mensagem de 17/10/2004 00:37:28 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Title: Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998 Uma curiosidade: como estamos interessados nos 1000 primeiros digitos, este eh um problema de combinatoria (principio das casas de pombos, pra ser mais exato). Se estivessemos interessados nos 1000 ultimos digitos, seria um problema de teoria dos numeros. Se estivessemos interessados em 1000 digitos no meio, de que area da matematica estariamos falando? []s, Claudio. on 17.10.04 00:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
o primeiro digito é o das unidades ou o de maior valor? On Sat, Oct 16, 2004 at 10:45:59PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Repito aqui o meu pedido para que os titulos das mensagens sejam mais informativos. 3*senx + 4*cosx = 5 == sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 == x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro == x = Pi/2 - t + 2*k*Pi cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5. []s, Claudio. on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Idem sobre o titulo da mensagem. PA: b-r, b, b+r PG: b, b-r, b+r == (b-r)^2 = b(b+r) == r^2 - 3br = 0 == r = 0 ou r = 3b r = 0 == nao serve, pois contraria o enunciado. r = 3b == PG: b, -2b, 4b == razao da PG = -2 []s, Claudio. on 17.10.04 01:41, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal Alguém pode me ajudar neste também Os números a, b e c determinam, nessa ordem, uma progressão aritmética (PA) de razão r (r 0). Na ordem b, a, c determinam uma progressão geométrica (PG). Então a razão da PG é Obrigado = Instru?s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Entendi meu erro ... 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 Em vez de: 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mesmo assim não daria certo, pois para que esta equação estivesse correta deveríamos ter cos(x) = 2 (absurdo) ! Em uma mensagem de 17/10/2004 00:47:11 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1
RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Cláudio como vc pode comprovar que sex(x+t)=1 Como cost=3/5 ??? Obrigado 3*senx + 4*cosx = 5 == sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 == x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro == x = Pi/2 - t + 2*k*Pi cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5. []s, Claudio. on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Fael não entendi No 1 caso não ira resultar em 3senx+3cosx+2cosx em 3senx+5cosx Obrigado De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 01:34 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL Entendi meu erro ... 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 Em vez de: 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mesmo assim não daria certo, pois para que esta equação estivesse correta deveríamos ter cos(x) = 2 (absurdo) ! Em uma mensagem de 17/10/2004 00:47:11 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ! 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 cos(x) = 1 e sen(x) + cos(x) = 1
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Aquele de maior valor. Em uma mensagem de 17/10/2004 01:07:45 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: o primeiro digito é o das unidades ou o de maior valor? On Sat, Oct 16, 2004 at 10:45:59PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: [obm-l] 1000 primeiros dígitos de n^1998
Qual ramo ? Em uma mensagem de 17/10/2004 01:01:52 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma curiosidade: como estamos interessados nos 1000 primeiros digitos, este eh um problema de combinatoria (principio das casas de pombos, pra ser mais exato). Se estivessemos interessados nos 1000 ultimos digitos, seria um problema de teoria dos numeros. Se estivessemos interessados em 1000 digitos no meio, de que area da matematica estariamos falando? []s, Claudio. on 17.10.04 00:45, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal ! Prove que existe n pertencente a N tal que os 1000 primeiros dígitos de n^1998 são iguais a 1.
Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Exatamente ! Esse foi o erro inicial que cometi. Veja que a idéia era fazer: 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mas mesmo assim não daria certo, pois cos(x) teria de ser igual a 2 (impossível). Em uma mensagem de 17/10/2004 03:03:41 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Fael não entendi No 1 caso não ira resultar em 3senx+3cosx+2cosx em 3senx+5cosx Obrigado De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: domingo, 17 de outubro de 2004 01:34 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL Entendi meu erro ... 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + 2cos(x) = 5 Em vez de: 3sen(x) + 4cos(x) = 5 3((sen(x) + cos(x)) + cos(x) = 5 Mesmo assim não daria certo, pois para que esta equação estivesse correta deveríamos ter cos(x) = 2 (absurdo) !
Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
on 17.10.04 02:59, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio como vc pode comprovar que sex(x+t)=1 Como cost=3/5 ??? Com detalhes: 3*senx + 4*cosx = 5 == (3/5)*senx + (4/5)*cosx = 1 Mas (3/5)^2 + (4/5)^2 = 1. Logo, deve existir um angulo t tal que: cost = 3/5 e sent = 4/5. Substituindo acima, obtemos: cost*senx + sent*cosx = 1. Mas o lado esquerdo eh justamente sen(x + t). Obrigado 3*senx + 4*cosx = 5 == sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 == x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro == x = Pi/2 - t + 2*k*Pi cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5. []s, Claudio. on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] QUESTCO_MUITO_DIFICIL
Veja: sex(x+t) = sen(x)*cos(t) + sen(t)*cos(x) = 1 (I) Divida a equação original por 5: 3*senx + 4*cosx = 5 sen(x)*3/5+ 4/5*cos(x) = 1 (II) Comparando (I) e (II) temos que: cost = 3/5 e sent = 4/5 Eu também não entendi uma passagem na solução do Claúdio: cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = Eu resolvi por outra forma a partir de cosx + senx: cosx + senx = cos(pi/2 - t) + sen(pi/2 - t) = sen(t) + cos(t) = 3/5 + 4/5 = 7/5 Em uma mensagem de 17/10/2004 03:01:14 Hor. de verão leste da Am. Su, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Cláudio como vc pode comprovar que sex(x+t)=1 Como cost=3/5 ??? Obrigado 3*senx + 4*cosx = 5 == sen(x + t) = 1, onde cost = 3/5 e sent = 4/5 == x + t = Pi/2 + 2*k*Pi, onde k eh inteiro == x = Pi/2 - t + 2*k*Pi cosx + senx = raiz(2)*sen(x + Pi/4) = raiz(2)*sen(Pi/2 - t + 2*k*Pi + Pi/4) = raiz(2)*sen(3*Pi/4 - t) = raiz(2)*(sen(3*Pi/4)*cost - cos(3Pi/4)*sent) = raiz(2)*((1/raiz(2))*3/5 - (-1/raiz(2))*4/5) = 3/5 + 4/5 = 7/5. []s, Claudio. on 17.10.04 01:36, Brunno at [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal alguém pode me ajudar neste também O valor de cos x + sen x, sabendo que 3.sen x + 4.cos x = 5, Obrigado
[obm-l] Problemas com números complexos
Oi pessoal, parece q to precisando de um reforço em números complexos.. se alguém souber como se resolve estes problemas a seguir, ou souber indicar uma bibliografia online, agradeço desde já. 1)Mostre q todas as raízes da equação (z+1)^5 + z^5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginário. [nesse aqui eu cheguei a fazer z= -1/2 +bi. depois eu fiz (1/2 + bi)^5 = (1/2 - bi)^5 com isso eu já poderia dizer q obrigatoriamente todas as soluções estarão na abcissa -1/2?] 2)Dado z= 1/ sqrt( -7 + 24i), calcule as partes real e imaginária de z. ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] postos de gasolina
Contextualizar e sempre um problema. Embora o resultado seja matematicamente correto, para contextualizar e preciso supor que: 1)O consumo dependa so da distasncia percorrida (e nao da vecidade ou do peso ou ...). 2)O tanque seja suficientemente grande para, chegando a um posto, abastecer com todo o combustivel ai existente (por exemplo supor que com o tanque cheio o veiculo possa dar toda a volta sem abastecer). 3) etc. etc. etc. ... E muito mais interessante, pelo menos para mim, pensar em problemas de matematica. Citando [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal ! Em uma pista circular há postos de gasolina, e o total de gasolinaquehá nos postos é exatamente o suficiente para um carro dar uma volta.Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na pista (parando para reabastecer nos postos). Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre operações com complexos
--- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] como você chegou a equivalência |1-z|^2 + |1+z|^2= (1 - z)(1 - z') + (1 + z)(1 + z') ? Obrigado pela resolução. Ajudou mesmo. Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria!
oi Eu n sei se já foi respondido, pq já faz um mês quase que a msg foi enviada.. mas tente botá-los numa mesma linha ou coluna... os cavalos não atacam em linha reta. Felipe --- Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Eis o problema que eu nao to conseguindo fazer: De quandos modos podemos colocar 8 cavalos em um tabuleiro de xadrez (8x8) sem que um cavalo capturei outro. Ja passei para todo mundo que eu conheço e ninguem conseguiu, so falta essa lista mesmo. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
