Re: [obm-l] ideais maximais
Faltou um detalhe trivial mas importante: provar que J eh de fato um ideal. *** A reciproca eh mais legal. Seja M um ideal maximal de C([0,1]). Se f pertence a M entao, para algum x em [0,1], devemos ter f(x) = 0. Caso contrario, 1/f pertenceria a C([0,1]) e, portanto, 1 = (1/f)*f pertenceria a M, forcando M a ser igual a C([0,1]) ==> contradicao. Agora, suponhamos que, para cada a em [0,1], existe alguma funcao f_a em M tal que f_a(a) <> 0. Seja g_a = (f_a)^2 (ou seja, g_a(x) = (f_a(x))^2 para todo x em [0,1]). Eh claro que g pertence a M e g_a(a) > 0. Como g_a eh continua, existe eps_a > 0 tal que, para todo x no intervalo aberto I_a de centro a e raio eps_a, g_a(x) > 0. Tambem eh claro que [0,1] eh coberto por Uniao(a em [0,1]) I_a. Como [0,1] eh compacto, esta cobertura aberta admite uma subcobertura finita I_a1 uniao I_a2 uniao ... uniao I_an. Sejam g_a1, g_a2, ..., g_an as funcoes g correspondentes aos I_ai. Entao h = g_a1 + g_a2 + ... + g_an pertence a M e eh tal que h(x) > 0 para todo x em [0,1] ==> contradicao. Logo, existe z em [0,1] tal que, para toda f em M, f(z) = 0. *** Se M eh um ideal maximal, entao o anel quociente C([0,1])/M eh um corpo. Que corpo eh esse? *** A demonstracao acima fura se o anel for C((0,1)), pois (0,1) nao eh compacto. Quais sao os ideais maximais de C((0,1))? []s, Claudio. on 18.03.05 19:03, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >> Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], >> com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = >> f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o >> conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que >> f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. > > Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h > (1/2) <> 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) > <> 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo > J = C([0,1]). > > Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente > se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 <= z <= 1. > > []s, > Daniel > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Jogos e matematica
Alguém sabe onde posso encontrar material sobre a matemática do "Resta um" e do "Cubo Mágico"? Se for material na internet, melhor ainda. Obrigado a todos. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Lista OBM ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], >com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = >f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o >conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que >f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. Tome um ideal I contendo J, I diferente de J, isto é, existe h em I tal que h (1/2) <> 0. Então f(x) = h(x) - h(1/2) está em I, logo f(x) - h(x) = h(1/2) <> 0 está em J. Como h(1/2) é escalar não nulo, segue que 1 está em J, logo J = C([0,1]). Vale também a recíproca: No anel C([0,1]), um ideal M é maximal se e somente se M é o conjunto das funções que se anulam num certo z, 0 <= z <= 1. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ideais maximais
Bom, você tem que provar que não existe I contido em C([0,1]) tal que
J esteja contido em I, e todas as inclusões sejam próprias (ou seja,
um conjunto estritamente maior do que aquele que ele contém).
Tome então um ideal I, estritamente maior do que J. Assim, existe um
elemento deste anel que não está em J, ou seja, uma função g: [0,1] ->
R tal que g(1/2) != 0.
Seja então g(1/2) = a; a função h(x) = g(x) - a está em J.
Para provar que J é maximal, agora basta provar que I = C([0,1]).
Ora, é claro que, como é um ideal e contém g, J, temos que I contém o
ideal gerado por (g, J) = { f = ag + bj / a, b pertencem a C([0,1]) e
j pertence a J}.
Agora vamos provar que este ideal é tudo! Seja f em C([0,1]) - J.
(Não precisamos fazer para J, já que claramente I contém J)
Queremos escrever f na forma ag + bj. Para termos alguma chance de
conseguir isso, temos que fazer com que ag(1/2) + bj(1/2) = f(1/2).
Ora, j(1/2) = 0, logo ag(1/2) = f(1/2), e portanto a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2). Bom, sejamos bastante otimistas: faça a(x) = a(1/2) = f(1/2) /
g(1/2) (função constante!!) e veja que o que sobra é (f - ag)(1/2) =
f(1/2) - a(1/2)g(1/2) = 0, logo é uma função que pertence a J. Assim,
podemos fazer b(x) = 1 para todo x e obtemos finalmente j = f - ag em
J, logo I = C([0,1]) e portanto J é maximal.
Acho que é isso.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Fri, 18 Mar 2005 17:25:18 -0300 (ART), Lista OBM
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
>
> Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1],
> com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) =
> f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o
> conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que
> f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal.
>
> grato desde já, éder.
>
> Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] ideais maximais
Gostaria de uma ajuda no problema abaixo: Seja C([0,1]) o anel da funções contínuas em [0,1], com as operações (f + g)(x) = f(x) + g(x) e [f.g](x) = f(x).g(x), para todas f,g em C([0,1]). Seja J o conjunto de todas as funções f em C([0,1]) tais que f(1/2) = 0. Prove que J é um ideal maximal. grato desde já, éder. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Elonzinho x Elonzao
Em Sex 18 Mar 2005 11:32, Claudio Buffara escreveu:
> Oi, Paulo:
>
> Nao vejo nada de errado com o uso do Elonzinho (Analise Real - vol.1) ao
> inves do Elonzao (Curso de Analise - vol.1), ateh porque este ultimo eh
> razoavelmente enciclopedico e nao se pode esperar que um aluno normal de
> graduacao o domine por completo. No mais, varios conceitos importantes
> (sequencias de Cauchy, liminf e limsup me vem a cabeca) que nao estao
> expostos no texto de livro menor constam dos exercicios propostos.
>
> Na minha opiniao, e acho que jah escrevi bastante a esse respeito aqui na
> lista, um problema muito mais grave do ensino da matematica nesse pais eh o
> salto qualitativo que existe entre a matematica do ensino medio ("calcule
> isso") e a matematica universitaria ("prove isso" e/ou "conjecture").
>
> Esse problema eh tao serio que eu acho que todos os cursos de graduacao em
> matematica deveriam oferecer uma cadeira que durasse todo o 1o. ano e que
> poderia se chamar Introducao a Matematica Universitaria - 1 e 2.
>
> O programa dessa cadeira seria equivalente, digamos, aos capitulos 1 a 5 do
> Elonzinho, mais os capitulos 1 e 2 do "Introduction to the Theory of
> Numbers" - Niven, Zuckerman e Montgomery, e as secoes 2.1 a 2.7 e 3.1 a
> 3.10 do "Topics in Algebra" - Herstein.
>
> Um tal programa permitiria que os alunos se familiarizassem com conceitos
> basicos de algebra e analise e com a arte de se fazer conjecturas e
> demonstrar teoremas. Dessa forma, ao iniciar os cursos de algebra e analise
> propriamente ditos a partir do 2o. ano, eles nao teriam o choque de se
> deparar pela primeira vez com conceitos abstratos envolvendo epsilons,
> deltas e grupos e aneis-quociente e com a necessidade de fazer
> demonstracoes usando estes conceitos. Pelo contrario, dada a base com que
> os alunos chegariam ao 2o. ano, estes cursos poderiam ir bem mais a fundo
> nos assuntos do que vao hoje em dia, inclusive, no caso de analise na reta,
> cobrindo todo o conteudo do Elonzao, como voce gostaria que fosse.
>
> Obviamente, nao sou professor nem educador e nem mesmo formado em
> matematica, de modo que minha opiniao nao deve valer quase nada. Enfim,
> aqui estah...
>
> ***
>
> Dito isso, dou todo o apoio a ideia de que comecemos a resolver aqui na
> lista os problemas propostos no Elonzao.
>
>
> []s,
> Claudio.
Ainda que o assunto "formação universitária" seja extenso e a solução dos
problemas dependa de muitas variáveis, acredito que o que existe, também, é
uma acomodação da parte da maioria (espero não estar sendo injusto) dos
professores (falo com relação ao nível básico). Acomodam-se ao nível ridículo
dos livros didáticos e se contentam em resolver, ano após ano, os mesmos
exercícios rotineiros.
Acredito que qualquer professor que se preze deve ser capaz de, pelo menos,
resolver problemas a nível de IME e ITA. Se percebem deficiência na sua
formação, penso que esta lista é uma excelente oportunidade para entrar em
contato com mentes bastante engenhosas. É para isso por exemplo, que estou
aqui, pois, se ainda não posso contribuir de maneira significativa, sei que
tenho muito a receber.
Acredito, sinceramente, que qualquer estudante de graduação ou professor já em
atividade que recorra a fontes de alto nível (como a "Coleção do Professor de
Matemática", da SBM, a Eureka e outras) e que freqüente esta lista, estará de
posse de ferramentas fundamentais para seu aperfeiçoamento.
Os médicos (só para citar um exemplo), se querem se destacar na profissão,
sabem que não poderão clinicar fiados unicamente no fato de terem seus
diplomas, mas buscam cursos, congressos, etc. No entanto, entre os
professores, há muitos que passam anos ensinando baseados apenas naquilo que
estudaram na graduação.
Penso que cabe a cada um de nós que ensina, ou que vai ensinar, buscar mudar
esse quadro.
Márcio.
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Proposição
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso? Sim []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Nicolau C. Saldanha ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso? Sim []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Serie condicionalmente convergente
Falei besteira na minha msg anterior. As bijecoes que sao produtos de ciclos finitos mantem a serie convergente e, mais ainda, com a mesma soma, mas nao sao as unicas bijecoes que mantem a convergencia, como o seu exemplo abaixo mostra. No caso, a bijecao eh: 1 -> 1 2 -> 3 3 -> 2 4 -> 5 5 -> 7 6 -> 4 7 -> 9 8 -> 11 9 -> 6 10 -> 13 11 -> 15 12 -> 8 Ou seja, para cada n em N teremos: f(3n-2) = 4n-3 f(3n-1) = 4n-1 f(3n) = 2n *** Se S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n for a n-esima reduzida de uma serie condicionalmente convergente, a reordenacao a ser buscada eh tal que a nova reduzida passa ser: R_n = S_n + T_n, onde T_n eh uma sequencia convergente No seu exemplo: R_2 = S_2 + (1/3) R_4 = S_4 + (1/5 + 1/7) R_6 = S_6 + (1/7 + 1/9 + 1/11) R_8 = S_8 + (1/9 + 1/11 + 1/13 + 1/15) ... Ou seja, T_n = 1/(n+1) + 1/(n+3) + ... + 1/(2n-1) < log(2), de modo que T_n converge. *** Vou ter que pensar mais um pouco no caso geral. []s, Claudio. on 18.03.05 09:21, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola Claudio e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Voce ja o resolveu, apenas ainda nao percebeu isso ... quando ha pouco voce > exibiu A FUNCAO que so admite como conjuntos estaveis o VAZIO e o proprio X > : basta generalizar esta funcao e aplica-la ao caso infinito, vale dizer, as > re-ordenacoes dos indices da serie. > > A titulo de exemplificacao, considere o caso particular da serie > condicionalmente convergente 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... e a FUNCAO ( que voce > ja percebeu ) que a reordena com o seguinte aspecto 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + > 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... . Claramente que as somas parciais podem > ser colocadas assim : > > 1 - 1/2 + (1/3) > 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + (1/5 + 1/7) > > A parte fora do parenteses e a soma antiga e a que esta dentro do parenteses > e claramente convergente. Eu afirmo ( e neste caso particular e facil ver > isso ) que em toda generalizacao da funcao a reordenacao resultante sera > convergente. No caso geral, toma este caso particular como um limitante. > > Se nao me falha a memoria, eu dei uma sugestao que explica o restante. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Serie condicionalmente convergente
on 18.03.05 09:21, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Ola Claudio e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Voce ja o resolveu, apenas ainda nao percebeu isso ... quando ha pouco voce > exibiu A FUNCAO que so admite como conjuntos estaveis o VAZIO e o proprio X > : basta generalizar esta funcao e aplica-la ao caso infinito, vale dizer, as > re-ordenacoes dos indices da serie. > Ou seja, as bijecoes que servem sao justamente aquelas que podem ser expressas como produtos de ciclos finitos (usando a linguagem de permutacoes). Vou tentar formalizar a prova. Obrigado. []s, Claudio. > A titulo de exemplificacao, considere o caso particular da serie > condicionalmente convergente 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... e a FUNCAO ( que voce > ja percebeu ) que a reordena com o seguinte aspecto 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + > 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... . Claramente que as somas parciais podem > ser colocadas assim : > > 1 - 1/2 + (1/3) > 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + (1/5 + 1/7) > > A parte fora do parenteses e a soma antiga e a que esta dentro do parenteses > e claramente convergente. Eu afirmo ( e neste caso particular e facil ver > isso ) que em toda generalizacao da funcao a reordenacao resultante sera > convergente. No caso geral, toma este caso particular como um limitante. > > Se nao me falha a memoria, eu dei uma sugestao que explica o restante. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Elonzinho x Elonzao
Oi, Paulo:
Nao vejo nada de errado com o uso do Elonzinho (Analise Real - vol.1) ao
inves do Elonzao (Curso de Analise - vol.1), ateh porque este ultimo eh
razoavelmente enciclopedico e nao se pode esperar que um aluno normal de
graduacao o domine por completo. No mais, varios conceitos importantes
(sequencias de Cauchy, liminf e limsup me vem a cabeca) que nao estao
expostos no texto de livro menor constam dos exercicios propostos.
Na minha opiniao, e acho que jah escrevi bastante a esse respeito aqui na
lista, um problema muito mais grave do ensino da matematica nesse pais eh o
salto qualitativo que existe entre a matematica do ensino medio ("calcule
isso") e a matematica universitaria ("prove isso" e/ou "conjecture").
Esse problema eh tao serio que eu acho que todos os cursos de graduacao em
matematica deveriam oferecer uma cadeira que durasse todo o 1o. ano e que
poderia se chamar Introducao a Matematica Universitaria - 1 e 2.
O programa dessa cadeira seria equivalente, digamos, aos capitulos 1 a 5 do
Elonzinho, mais os capitulos 1 e 2 do "Introduction to the Theory of
Numbers" - Niven, Zuckerman e Montgomery, e as secoes 2.1 a 2.7 e 3.1 a 3.10
do "Topics in Algebra" - Herstein.
Um tal programa permitiria que os alunos se familiarizassem com conceitos
basicos de algebra e analise e com a arte de se fazer conjecturas e
demonstrar teoremas. Dessa forma, ao iniciar os cursos de algebra e analise
propriamente ditos a partir do 2o. ano, eles nao teriam o choque de se
deparar pela primeira vez com conceitos abstratos envolvendo epsilons,
deltas e grupos e aneis-quociente e com a necessidade de fazer demonstracoes
usando estes conceitos. Pelo contrario, dada a base com que os alunos
chegariam ao 2o. ano, estes cursos poderiam ir bem mais a fundo nos assuntos
do que vao hoje em dia, inclusive, no caso de analise na reta, cobrindo todo
o conteudo do Elonzao, como voce gostaria que fosse.
Obviamente, nao sou professor nem educador e nem mesmo formado em
matematica, de modo que minha opiniao nao deve valer quase nada. Enfim, aqui
estah...
***
Dito isso, dou todo o apoio a ideia de que comecemos a resolver aqui na
lista os problemas propostos no Elonzao.
[]s,
Claudio.
on 18.03.05 09:21, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Agora, mudando de assunto, eu confesso que estou preocupado com um movimento
> que identifiquei e que se relaciona com o excelente livro do Prof Elon L
> Lima, Curso de Analise, Vol 1, Projeto Euclides.
>
> Este livro indubitavelmente e uma bandeira contra a Mediocridade na
> Matematica, diferenciando-se para melhor em relacao a mesmice de uma imensa
> maioria de outros e, inexplicavelmente, vem sofrendo como que um boicote,
> nao sendo adotado como padrao e sendo substituido por um outro, do mesmo
> autor, que nao se diferencia em nada da maioria.
>
> Isso implica que se o estudante, por conta propria, nao se dedicar a estudar
> por ele, dificilmente tera oportunidade de em outros cursos ver analise na
> reta, carregando consigo portanto uma formacao mal feita com danosas
> consequencias na sua formacao e na formacao de Matematicos Brasileiros.
>
> Assim, salvo melhor juizo, para o bem da Matematica Brasileira, penso que
> todos os Institutos de Matematica Serios deveriam adota-lo como padrao,
> mesmo que fosse necessario dar 2 semestres para exaurir o seu conteudo num
> curso de graduacao.
>
> Aqui nesta lista nos podemos iniciar um movimento de reacao a esta tendencia
> mediocratizante, seja re-demonstrando os teoremas de forma mais clara, seja
> resolvendo os problemas mais dificeis. Assim, retirariamos um eventual
> receio que porventura seja provocado por isso. Em minha opiniao, este e um
> "livro de formacao", nao e um livro de problema olimpicos. Quero dizer que (
> os exercicios ) eles nao sao sem graca como os triviais, mas nao chegam a
> ser desafiadores como os Olimpicos.
>
> Nos nao podemos permitir que este tesouro seja enterrado e esquecido.
>
> E com os melhores votos
> de paz profunda, sou
>
> Paulo Santa Rita
> 6,0921,180305
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] R^N ~ R
Lembrei da demonstracao de que R^N tem a mesma cardinalidade de R.
Sabemos que:
R ~ 2^N (conjunto das funcoes de N em {0,1})
e
N ~ NxN (conjunto dos pares ordenados de numeros naturais).
Logo, R^N ~ (2^N)^N ~ 2^(NxN) ~ 2^N ~ R.
Explicitamente, as bijecoes f: R -> 2^N e g: N -> NxN
induzem as bijecoes:
F: R^N -> (2^N)^N e G: 2^N -> 2^(NxN),
dadas por:
F(a_1, a_2, a_3, ...) = (f(a_1), f(a_2), f(a_3), ...)
e
G(n_1, n_2, n_3, ...) = (g(n_1), g(n_2), g(n_3), ...)
F eh injetiva, pois:
F(a_1, a_2, ...) = F(b_1, b_2, ...) ==>
f(a_i) = f(b_i) para i = 1, 2, ... ==>
a_i = b_i para i = 1, 2, ... (jah que f eh injetiva) ==>
(a_1, a_2, ...) = (b_1, b_2, ...)
F eh sobrejetiva, pois:
dado (b_1, b_2, ...) em (2^N)^N, existem a_1, a_2, ... em R tais que b_1 =
f(a_1), b_2 = f(a_2), ... pois f eh sobrejetiva.
Logo, (b_1, b_2, ... ) = (f(a_1), f(a_2), ...) = F(a_1, a_2, ...).
Analogamente para G.
Agora definimos uma bijecao H: 2^(NxN) -> (2^N)^N da seguinte forma:
Seja s: NxN -> {0,1} uma funcao.
Seja (s_1, s_2, s_3, ...) uma sequencia cujos termos sao funcoes de N em
{0,1} definidas por s_i(j) = s(i,j)
Fazemos H(s) = (s_1, s_2, s_3, ...)
H eh injetiva pois:
H(s) = H(t) ==>
(s_1, s_2, ...) = (t_1, t_2, ...) ==>
s_i = t_i para i = 1, 2, ... ==>
s_i(j) = t_i(j) para i = 1, 2, ... e j = 1, 2, ... ==>
s(i,j) = t(i,j) para i = 1, 2, ... e j = 1, 2, ... ==>
s = t
H eh sobrejetiva pois:
Dada (s_1, s_2, ...) em (2^N)^N, tomamos s em 2^(NxN) tal que:
s(i,j) = s_i(j) e, neste caso eh claro que H(s) = (s_1, s_2, ...).
Pra terminar eh soh reparar que a composta:
F^(-1) o H o G o f: R -> R^N eh uma bijecao.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Proposição
On Fri, 18 Mar 2005 00:25:06 +, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial > das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço > das seqüências formadas por 0 e 1? Se "exibir" deve ser entendido como "descrever explicitamente", eu apostaria que isto é impossível. Você precisa do axioma da escolha para provar que qq espaço vetorial tem base e eu apostaria (mas não garanto) que você já precisa do axioma para provar que estes espaços vetoriais ai tem base. Aliás, o seu segundo exemplo eu interpreto como (Z/(2))^(infinito); é isso? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Proposição
On Thu, Mar 17, 2005 at 01:21:57PM +, Paulo Santa Rita wrote: > Ola carissimo Prof Nicolau e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema > abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que > os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos > matematicos de entao. > > Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a > uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que > esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes > topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel. Eu já ouvi várias vezes afirmações como esta e eu não sei exatamente como interpretar. Há pelo menos três interpretações: de acordo com a primeira, é trivialmente verdadeira; de acordo com a segunda, é falsa; de acordo com a terceira, esta é uma opinião defensável. Se listarmos os axiomas para os números reais, sempre existe um axioma de natureza não algébrica, geralmente chamado o axioma do supremo. A primeira interpretação diz que este axioma é necessário para demonstrar o TFA. É verdade e é trivial: o conjunto Q dos racionais satisfaz os outros axiomas usuais dos reais mas Q[i] não é algebricamente fechado. A segunda interpretação aceita o que dissemos acima, mas diz que a prova é *inevitavelmente* de caráter muito mais topológico ou analítico do que algebrico, ou que a prova usa *inevitavelmente* topologia ou análise muito mais avançadas do que o axioma do supremo. Isto é falso: Gauss mesmo deu uma prova do TFA que pode ser traduzida em linguagem moderna como abaixo. Seja K um corpo ordenado com as seguintes propriedades: (a) Todo elemento positivo de K tem raiz quadrada em K; (b) Todo polinômio de grau ímpar com coeficientes em K tem raiz em K. Então K[i] é algebricamente fechado. Este é um teorema puramente algébrico, tanto no enunciado quanto na demonstração. As propriedades (a) e (b) para K = R podem ser consideradas axiomas (não tão usuais) de caráter algébrico. Sob outro ponto de vista, podemos demonstrar (a) e (b) a partir dos axiomas usuais, e a coisa mais sofisticada que aparece é o Teorema do Valor Intermediário. A terceira interpretação diz que as provas mais interessantes do TFA são de natureza topológica ou analítica. Ou seja, quem diz isso não gosta particularmente da trilha proposta acima. Esta é uma opinião defensável: as provas topológicas ou analíticas são, de acordo com a opinião da maioria dos matemáticos, bastante interessantes. Elas são também mais conhecidas do que a prova "algébrica". Claro que podem existir ainda outras interpretações, mas eu não sei quais seriam. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Eu tenho uma duvida: Tenho quase certeza de que R^N tem a mesma cardinalidade de R. Serah que, nesse caso, a base precisa mesmo ser nao-enumeravel? []s, Claudio. on 18.03.05 07:26, Bernardo Freitas Paulo da Costa at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Depende do que você está pensando. Se for apenas uma base no sentido > de Hamel, ou seja, todo elemento é escrito como uma ÚNICA combinação > linear FINITA dos elementos da base, dá para provar que estas bases > são não-enumeráveis. Assim, pode ser difícil exibir uma base. Por > exemplo, no segundo, você pode pensar que uma seqüência é a > representação binária de um número em [0, 1], mas ainda não sei se é > "bonitinho"... > > Abraços, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
on 17.03.05 21:25, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu: > "A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto > final atado a uma estrutura lógica." > Esta deve ser uma das razoes pelas quais dizem que o principio da inducao matematica nao serve para descobrir teoremas, mas apenas para prova-los. Isso talvez ocorra justaente porque ele eh um axioma atado a estrutura logica que define e descreve os numeros naturais (e, por conseguinte, todos os outros numeros). Apesar disso, em alguns casos, a passagem de n para n+1 requer bastante criatividade, ou seja, alguma inovacao que nao estah contida (pelo menos nao explicitamente) no encadeamento logico da teoria dos numeros naturais. > E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do > Rudin "Principles of mathematical analysis" tem uma prova curtinha e não > muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do > livro. > Eu continuo achando que pelo menos tao importante quanto conhecer a demonstracao rigorosa de algum teorema, eh conhecer a intuicao por tras dela. No caso desse ai, eu acho muito instrutivo ver o que acontece com a imagem da circunferencia |z| = R por um dado polinomio em C[z] quando R varia de 0 a um valor muito grande, de modo que a imagem varia de um ponto no plano complexo a algo muito proximo da circunferencia |z| = R^n, onde n eh o grau do polinomio. Em algum instante, esta imagem vai passar pela origem e isso significa que o polinomio tem alguma raiz. > Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial > das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço > das seqüências formadas por 0 e 1? > Imagino que este ultimo possa ser visto como um espaco vetorial sobre Z_2. Como o conjunto destas sequencias eh nao enumeravel, uma base desse espaco tem que ser nao-enumeravel. O primeiro espaco eh isomorfo ao espaco vetorial real das funcoes de N em R. Se nao me engano, o conjunto de tais funcoes tem a mesma cardinalidade de R. Assim, serah que ele nao possui base enumeravel? Eu nao tenho certeza. Um outro exemplo de espaco com base nao enumeravel eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais. Dah pra provar que embora ele proprio nao seja uma base, o conjunto de Cantor contem uma tal base. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Serie condicionalmente convergente
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce ja o resolveu, apenas ainda nao percebeu isso ... quando ha pouco voce exibiu A FUNCAO que so admite como conjuntos estaveis o VAZIO e o proprio X : basta generalizar esta funcao e aplica-la ao caso infinito, vale dizer, as re-ordenacoes dos indices da serie. A titulo de exemplificacao, considere o caso particular da serie condicionalmente convergente 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... e a FUNCAO ( que voce ja percebeu ) que a reordena com o seguinte aspecto 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... . Claramente que as somas parciais podem ser colocadas assim : 1 - 1/2 + (1/3) 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + (1/5 + 1/7) A parte fora do parenteses e a soma antiga e a que esta dentro do parenteses e claramente convergente. Eu afirmo ( e neste caso particular e facil ver isso ) que em toda generalizacao da funcao a reordenacao resultante sera convergente. No caso geral, toma este caso particular como um limitante. Se nao me falha a memoria, eu dei uma sugestao que explica o restante. Agora, mudando de assunto, eu confesso que estou preocupado com um movimento que identifiquei e que se relaciona com o excelente livro do Prof Elon L Lima, Curso de Analise, Vol 1, Projeto Euclides. Este livro indubitavelmente e uma bandeira contra a Mediocridade na Matematica, diferenciando-se para melhor em relacao a mesmice de uma imensa maioria de outros e, inexplicavelmente, vem sofrendo como que um boicote, nao sendo adotado como padrao e sendo substituido por um outro, do mesmo autor, que nao se diferencia em nada da maioria. Isso implica que se o estudante, por conta propria, nao se dedicar a estudar por ele, dificilmente tera oportunidade de em outros cursos ver analise na reta, carregando consigo portanto uma formacao mal feita com danosas consequencias na sua formacao e na formacao de Matematicos Brasileiros. Assim, salvo melhor juizo, para o bem da Matematica Brasileira, penso que todos os Institutos de Matematica Serios deveriam adota-lo como padrao, mesmo que fosse necessario dar 2 semestres para exaurir o seu conteudo num curso de graduacao. Aqui nesta lista nos podemos iniciar um movimento de reacao a esta tendencia mediocratizante, seja re-demonstrando os teoremas de forma mais clara, seja resolvendo os problemas mais dificeis. Assim, retirariamos um eventual receio que porventura seja provocado por isso. Em minha opiniao, este e um "livro de formacao", nao e um livro de problema olimpicos. Quero dizer que ( os exercicios ) eles nao sao sem graca como os triviais, mas nao chegam a ser desafiadores como os Olimpicos. Nos nao podemos permitir que este tesouro seja enterrado e esquecido. E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,0921,180305 From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Subject: [obm-l] Serie condicionalmente convergente Date: Thu, 17 Mar 2005 22:29:41 -0300 Oi, Paulo: Voce poderia dar a solucao deste problema? []s, Claudio. on 01.03.05 13:48, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Seja A1 + A2 + ... + An + ... uma serie condicionalmente convergente. > Caracterize as bijecoes > f:N->N tais que > Af(1) + Af(2) + ... + Af(n) converge. > > Nota : Af(n) = Termo da serie A1 + A2 + ... + An + ... cujo indice e f(n) > > SUGESTAO : note que facilmente voce pode criar uma sequencia semelhante a do > exercicio que voce acabou de resolver ( inversos dos termos de uma PA ) e > que converge para log(N)/N, qualquer que seja N. Ora, a expressao log(N)/N e > bem conhecida e esta relacionada com um famoso teorema da teoria dos numeros > ... > > Um Abraco > Paulo Santa Rita > 3,1343,010305 > _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM Universitária
Alguem ae sabe a nota de corte pra segunda fase da OBM Universitária do ano passado ?? []` Daniel Regufe _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Indução
Oi, Marcio: Da pra provar ainda mais: que (1 + 1/n)^n < 3 para todo n. Uma ideia legal eh expandir (1 + 1/n)^n usando o binomio de Newton, dar uma arrumada na expressao resultante e deduzir que ela eh limitada superiormente por: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n!, a qual por sua vez eh limitada superiormente por: 1 + 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 + (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/(n-1) - 1/n) = 1 + 1 + (1 - 1/n) < 3. Dai usando a desigualdade MG < MA com os n+1 numeros: 1 + 1/n, 1 + 1/n, ..., 1 + 1/n, 1 (ou seja n numeros iguais a 1 + 1/n e 1 numero igual a 1) voce obtem: (1 + 1/n)^(n/(n+1)) < 1 + 1/(n+1) ==> (1 + 1/n)^n < (1 + 1/(n+1))^(n+1) ==> ((1 + 1/n)^n) eh crescente. Logo, ((1 + 1/n)^n) eh monotona crescente e limitada superiormente por 3. Assim, existe lim(n -> infinito) (1 + 1/n)^n. []s, Claudio. on 17.03.05 22:22, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Boa noite, pessoal. > A questão abaixo também consta do Vol. 1 de "A Matemática do Ensino Médio". > Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém > verificasse se está tudo OK. > > Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n <=n para todo n>=3. > > Para n = 3 temos (4/3)³ <=3 > > Solução > Supondo verdadeira para algum k>3: > > ((k + 1)/k) elevado a k <=k > > Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho > > ((k + 1)/k)elevado a (k + 1) <= k + 1 > > Só que quando k > 3, (k + 2)/(k + 1) <= (k + 1)/k, e daí: > > ((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1) < = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1) > > Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) <= k + 1 > > Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência > > 1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ... > > é decrescente a partir do 3o termo. > > Esta parte ainda está saindo. > > Desculpem se são questões triviais para vocês. > > Abraços. > > Márcio. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Proposição
Depende do que você está pensando. Se for apenas uma base no sentido de Hamel, ou seja, todo elemento é escrito como uma ÚNICA combinação linear FINITA dos elementos da base, dá para provar que estas bases são não-enumeráveis. Assim, pode ser difícil exibir uma base. Por exemplo, no segundo, você pode pensar que uma seqüência é a representação binária de um número em [0, 1], mas ainda não sei se é "bonitinho"... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Fri, 18 Mar 2005 00:25:06 +, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Einstein falou uma frase que toca no que você escreveu: > "A inovação não é o produto de um pensamento lógico, mesmo estando o produto > final atado a uma estrutura lógica." > > E sobre o teorema do fechamento algébrico dos complexos, o livro do > Rudin "Principles of mathematical analysis" tem uma prova curtinha e não > muito difícil, e os pré-requisitos para compreendê-la estão todos dentro do > livro. > > Para aproveitar o espaço: Alguém sabe exibir uma base para o espaço vetorial > das seqüências reais (R^oo)? Ou ainda, alguém conhece uma base para o espaço > das seqüências formadas por 0 e 1? > > []s, > Daniel > > Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > > > >Ola carissimo Prof Nicolau e demais > >colegas desta lista ... OBM-L, > > > >Complementando a mensagem, talvez nem todos saibam que a prova do Teorema > >abaixo foi a tese de doutorado do Gauss e contribui poderosamente para que > >os numeros complexos fossem aceitos com maior tranquilidade pelos > >matematicos de entao. > > > >Gauss apresentou outras provas deste teorema, sempre pretendendo chegar a > >uma prova puramente algebrica mas nao teve sucesso. Hoje muitos supoe que > >esta notavel propriedade depende fundamentalmente de consideracoes > >topologicas e portanto a pretensao de Gauss era realmente inatingivel. > > > >Sobre a introducao das variaveis complexas em sua tese, veja o sabor > >altamente filosofico com que Gauss conduzia suas investigacoes : > > > >"Durante este outono ocupei-me largamente com as consideracoes gerais sobre > >as superficies curvas, o que conduz a um campo ilimitado ... Estas pesquisas > >ligam-se, como sou tentado a dizer, com a metafisica da geometria e nao e > >sem ingentes esforcos que consigo me arrancar das consequencias que dai > >advem ... Qual seria a verdadeira natureza das grandezas negativas e > >imaginarias ? Nestas ocasioes, sinto vibrar dentro de mim com grande > >vivacidade o verdadeiro sentido da raiz quadrada de -1, mas creio que sera > >extraordinariamente dificil expressa-lo com palavras" ( Gauss ) > > > >Falar hoje - e, em particular para um formalista - em VERDADEIRA NATUREZA e > >em SENTIDO de um objeto matematico talvez soe como uma heresia ... Pois, um > >dos pressuposto basicos do formalismo e justamente o de que para > >raciocinarmos com rigor autentico devemos abdicar dos eventuais sentidos que > >a intuicao porventura atribua aos objetos : eles obedecem "aquele" conjunto > >de axiomas e ponto final. > > > >Mas, salvo melhor juizo, se eu interpreto bem a historia o que sempre > >caracterizou e havera de caracterizar um Verdadeiro Grande Matematico e > >justamente esta dimensao subjetiva, propria, na qual ele reinterpreta a > >historia que lhe antecede e descobre de forma exclusivamente intuitiva o > >sentido e significado que alguns objetos e ocorrencias matematicas tem, > >dando assim um novo direcionamente a historia e a pesquisa matematica que o > >seguira. > > > >Esta mensagem, eu sei, tem cores eminentemente epistemologicas, mas > >parece-me que esta dimensao historica e filosofica, e altamente saudavel e > >nao pode faltar na formacao de nenhum estudante. > > > >Um Abraco a Todos ! > >Paulo Santa Rita > >5,1021,170305 > > > > > >>From: "Nicolau C. Saldanha" > >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > >>To: obm-l@mat.puc-rio.br > >>Subject: Re: [obm-l] Proposição > >>Date: Thu, 17 Mar 2005 09:32:04 -0300 > >> > >>Uma afirmação relacionada muito interessante é o teorema fundamental > >>da álgebra: toda equação polinomial não trivial tem raiz complexa. > >>Mais precisamente, > >> > >> x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 > >> > >>pode não ter raiz real, mas sempre tem raízes complexas > >>se os coeficientes a_j forem reais ou complexos. > >> > >>Aliás, "campo" provavelmente é uma tradução não usual de "field". > >>O termo usual e correto no nosso idioma é *corpo*. > >> > >>[]s, N. > > > >_ > >MSN Messenger: converse online com seus amigos . > >http://messenger.msn.com.br > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >= > > > > = > Instruções para entrar na lis
[obm-l] Inducao(Parte 2)
Penso que resolvi a segunda parte da questão: Sabe-se que ((n + 1)/n) <= n, logo: a) Se n = 3 (4/3)³ < 3 (a igualdade obviamente não vale) 4³ < 3 elevado a 4 Elevando a 1/12 ... 4¹/4 < 3¹/3 b) Se n = 4 (5/4) elevado a 4 < 4 5 elevado a 4 < 4 elevado a 5 Elevando a 1/20 ... 5 elevado a 1/5 < 4 elevado a 1/4 Procedendo de modo análogo para n=5,6,..., constrói-se a cadeia abaixo: 3¹/3 > 4¹/4 > 5¹/5 > 6¹/6 > ... Tudo confere? Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
