Re: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral!
Olá Camilo, um breve comentario: urgente? calma, somos todos voluntarios aqui..! use integracao por partes.. vc vai obter int (x^2 lnx) dos 2 lados... e vai sobrar uma integral polinomial.. dai eh soh resolver.. abraços, Salhab On 6/22/07, Camilo Damiao <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Por favor... gostaria q alguem conseguisse me ajudar o mais rapido possivel na resoluçaum dessa integral... eh ateh um tanto simples... mas estou tendo problemas com ela... integral (x^2)* ln x dx ... Grato pela atenção! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral!
Eh isso mesmo! Eu tinha errado contas da primeira vez... mt obrigado pela ajuda! Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral!
Oi. Acho que integrando por partes da certo. Seja u=ln x, dv=x^2 dx. Então du=dx/x e v=(x^3)/3. Assim fica: ((x^3)*ln x)/3 - integral (x^3)dx/3x Mas integral (x^3)dx/3x = integral (x^2)dx/3 = (x^3)/9 Logo: integral (x^2)* ln x dx = ((x^3)*ln x)/3 - (x^3)/9 Espero não ter errado as contas. - Original Message - From: "Camilo Damiao" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista da obm" Sent: Friday, June 22, 2007 12:09 AM Subject: [obm-l] Urgente... como resolvo essa integral! Por favor... gostaria q alguem conseguisse me ajudar o mais rapido possivel na resoluçaum dessa integral... eh ateh um tanto simples... mas estou tendo problemas com ela... integral (x^2)* ln x dx ... Grato pela atenção! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Urgente... como resolvo essa integral!
Por favor... gostaria q alguem conseguisse me ajudar o mais rapido possivel na resoluçaum dessa integral... eh ateh um tanto simples... mas estou tendo problemas com ela... integral (x^2)* ln x dx ... Grato pela atenção! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Nicolau, lindas solucoes! gostei de ambas.. abraços, Salhab On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: > > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] D�vida
Oi, Nicolau (e demais colegas envolvidos com este problema)... Ah se eu tivesse como qualidade uma pequena dose que fosse do seu pragmatismo...!!! Sua primeira solução (que eu havia conseguido fazer) e me lembra um exercÃcio de 2005 do IME (que segue a mesma idéia da recorrência): IME 2005: Sejam a, b e c as raÃzes do polinômio p(x) = x^3 + r x - t onde r e s são números reais não nulos. a) Determine a^3 + b^3 + c^3 em função de r e s; b) Demostre que S^(n+1) + rS^(n-1) -t S(n-2) = 0 para todo número natural n>=2, onde S(k) = a^k + b^k +c^k para qualquer número natural k. Mas quando eu percebi que tinha que fazer "aquelas contas" desisti deste caminho, pois fui menos pragmático (um dos grandes defeitos que tenho) e pensei: e se o enunciado pedisse a^2001+b^2001+c^2001? O que eu faria? Certamente não seriam contas como aquelas. Pensamento talvez "romântico", mas ai fiquei tentando chegar no 21 sem passar pelas contas e confesso que não consegui... Até usei o fato que p_(n+4) - p_(n+3) = p_(n+3) - p_(n) para as contas ficarem mais rápidas (pelas diferenças), mas não me satisfiz... Ah perfeccionismo... Vivendo e aprendendo Um grande abraço, Nehab At 11:15 21/6/2007, you wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: > > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raÃzes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] limite
Calcule o limite: lim(x->inf) exp(x)*[ e- (1+1/x)^x ]
Re: [obm-l] ajuda (Série)
Pois é Marcelo, pelo gabarito a resposta é letra C, agora, o que deveríamos ter nesse enunciado a fim de obtermos a letra C como resposta, sinceramente não sei. Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá, se for assim, entao ficamos com: Somatório (k=1 ... n) 1/(1+k)^k .. é isso? se for, para k=1, temos: 1/(1+1)^2 = 1/2 para k=2, temos: 1/(1+2)^3 = 1/9 e nenhuma das alternativas bate com esses casos.. da uma olhada se nao seria: Somatório (k=1 ...n) 1/(1+k)^n, ou entao 1/(1+n)^k... abracos, Salhab On 6/21/07, cleber vieira wrote: > Desculpe por ter mandado mais de uma vez. Com relação ao enunciado é esse > mesmo, mas acho que devemos considerar que a soma é de 1 até n. > abraços > Cleber > > Marcelo Salhab Brogliato escreveu: > Olá Cleber, > > sem querer ser chato, mas mande só uma vez a questão! :) > eu tava tentando fazer hoje, mas achei uma coisa estranha.. vc esta > somando de 1 até infinito.. entao nao pode ter n na resposta.. da uma > conferida no enunciado!! > > abraços, > Salhab > > On 6/20/07, cleber vieira wrote: > > > > > > Amigos gostaria da ajuda de vocês nesta série: > > > > O valor da série 1/(n+1)^n , n = 1 até n = 00, é: > > > > a) 1/n! > > b) 1/ (n+1)! > > c) 1/ n > > d) n! + (n - 1)! > > > > Obrigado > > Cleber > > > > > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] ajuda (Série)
Olá, se for assim, entao ficamos com: Somatório (k=1 ... n) 1/(1+k)^k .. é isso? se for, para k=1, temos: 1/(1+1)^2 = 1/2 para k=2, temos: 1/(1+2)^3 = 1/9 e nenhuma das alternativas bate com esses casos.. da uma olhada se nao seria: Somatório (k=1 ...n) 1/(1+k)^n, ou entao 1/(1+n)^k... abracos, Salhab On 6/21/07, cleber vieira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Desculpe por ter mandado mais de uma vez. Com relação ao enunciado é esse mesmo, mas acho que devemos considerar que a soma é de 1 até n. abraços Cleber Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Cleber, sem querer ser chato, mas mande só uma vez a questão! :) eu tava tentando fazer hoje, mas achei uma coisa estranha.. vc esta somando de 1 até infinito.. entao nao pode ter n na resposta.. da uma conferida no enunciado!! abraços, Salhab On 6/20/07, cleber vieira wrote: > > > Amigos gostaria da ajuda de vocês nesta série: > > O valor da série 1/(n+1)^n , n = 1 até n = 00, é: > > a) 1/n! > b) 1/ (n+1)! > c) 1/ n > d) n! + (n - 1)! > > Obrigado > Cleber > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
On Thu, Jun 21, 2007 at 02:20:54PM -0300, ralonso wrote: > > Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n > > Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está > considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = > x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois > x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois > lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor > essa passagem. Temos a^3 = a^2 + a + 1 donde a^(n+3) = a^(n+2) + a^(n+1) + a^n b^3 = b^2 + b + 1 donde b^(n+3) = b^(n+2) + b^(n+1) + b^n c^3 = a^2 + a + 1 donde c^(n+3) = c^(n+2) + c^(n+1) + c^n Somando, a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) = (a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)) + + (a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)) + (a^n + b^n + c^n) que é o mesmo que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda (Série)
Desculpe por ter mandado mais de uma vez. Com relação ao enunciado é esse mesmo, mas acho que devemos considerar que a soma é de 1 até n. abraços Cleber Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Cleber, sem querer ser chato, mas mande só uma vez a questão! :) eu tava tentando fazer hoje, mas achei uma coisa estranha.. vc esta somando de 1 até infinito.. entao nao pode ter n na resposta.. da uma conferida no enunciado!! abraços, Salhab On 6/20/07, cleber vieira wrote: > > > Amigos gostaria da ajuda de vocês nesta série: > > O valor da série 1/(n+1)^n , n = 1 até n = 00, é: > > a) 1/n! > b) 1/ (n+1)! > c) 1/ n > d) n! + (n - 1)! > > Obrigado > Cleber > > > > Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Dúvida
ralonso wrote: > > Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n > > Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está > considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = > x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois > x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois > lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor > essa passagem. > Ah... tah... agora percebi: troque x^n por a^n (já que a é raiz): a^(n+3) = a^(n+2) +a^(n+1) + a^n ou por b_n: b^(n+3) = b^(n+2) +b^(n+1) + b^n ou por c_n c^(n+3) = c^(n+2) +c^(n+1) + c^n e some os três: p_(n+3) = a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) p_(n+2) = a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2) p_(n+1) = a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) p_(n) = a^(n) + b^(n) + c^(n) ==> p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n logo chegamos a conclusão do professor Nicolau. A questão das matrizes ainda não enxerguei... []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
Olá Nicolau! Eu estava para postar a solução que havia encontrado e vi que a sua é praticamente a mesma coisa. O que fiz segue abaixo: Multiplicando (a+b+c) por (a^20+b^20+c^20) temos: (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) = a^21+b^21+c^21 + a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) Assim a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) Nos termos a^20(b+c)+b^20(a+c)+c^20(a+b) se passarmos cada a,b,c para dentro dos parênteses teremos a^19(ab+ac)+b^19(ab+bc)+c^19(ac+bc) Se tentarmos gerar ab+ac+bc, que pode depois ser encontrada na relação (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc, temos a^19(ab+ac)+b^19(ab+bc)+c^19(ac+bc) = a^19(ab+ac+bc)+b^19(ab+ac+bc)+c^19(ab+ac+bc) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab) = (ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab) Assim a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - [(ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) - (a^19bc + b^19ac + c^19ab)] O último termo pode ser representado como a equação seguinte que incorpora na igualdade o termo abc a^19bc + b^19ac + c^19ab = a^18abc + b^18abc + c^18abc = abc(a^18+b^18+c^18) Portanto a^21+b^21+c^21 = (a+b+c)(a^20+b^20+c^20) - (ab+ac+bc)(a^19+b^19+c^19) + abc(a^18+b^18+c^18) Dessa forma, podemos representar a seqüência S de forma recursiva Sn = (a+b+c)Sn-1 - (ab+ac+bc)Sn-2 + abcSn-3 Calculando ab+ac+bc (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1^2 = 3 + 2(ab+ac+bc) (ab+ac+bc) = -1 Calculando abc (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) - 3abc 1^3 = 7 + 3.1.(-1) - 3abc abc = 1 A relação recursiva fica Sn = Sn-1 + Sn-2 + Sn-3 que é o que foi encontrado na sua solução. Assim S1 = 1 S2 = 3 S3 = 7 S4 = 11 S5 = 21 S6 = 39 S7 = 71 S8 = 131 S9 = 241 S10 = 443 S11 = 815 S12 = 1499 S13 = 2757 S14 = 5071 S15 = 9327 S16 = 17155 S17 = 31553 S18 = 58035 S19 = 106743 S20 = 196331 S21 = 361109 Então a^21 + b^21 + c^21 = 361109 On 6/21/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: > > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raÃzes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: [obm-l] Dúvida
> Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor essa passagem. > >[35890 66012121415] > N^21 = [55403101902187427] >[66012121415223317] > > Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das > matrizes anteriores. > > Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 > (e chegamos na mesma resposta). > Suponho que teorema da álgebra linear foi usado na passagem acima foi aquele que diz que se o polinômio caracterÃstico para matrix X satisfaz p(X) = 0. Então X^3 = X^2 + X + I. O fato do polinômio poder ser obtido da multiplicação dos anteriores tem a ver com o fato de podermos multiplicar os dois lados da equação matricial acima por X ou uma potência de X: X^3 X = X^2 X + XX + X X^4 = X^3 +X^2 + X Pensei certo? Também não entendi por que a soma a^n + b^n + c^n é o traço da matrix X^n. Deve ter algo a ver com o fato da matriz poder ser escrita como X = A^1 L A^(-1) onde L é a matriz de autovalores, uma fórmula do tipo X^n = A^n L ^n A^(-n) deve valer e os termos devem ser cancelados em uma multiplicação ... bom... preciso de uma explicação melhor aqui também, pois "viajei" :) Gostaria de ter a sua velocidade de raciocÃnio mas não consigo :) Humildemente. Ronaldo. []s a todos. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Questao de Logica
Gostei de seus argumentos. Tentando enteder melhor sua posição, consideremos um
dragão (efetivamente, aqueles dragões que tem asas e poe fogo pelas narinas).
Este tipo de dração não existe. Então, as seguintes afirmações são verdadeiras:
Todo dragão é profundo conhecedor de teoria de medidas
Todo dragão adora sorvete de chocolate.
Todo dragão é presidente dos Estados Unidos (?) (Como o presidente dos Estados
Unidos é o Bush, que existe, esta afirmação e logicamente correta?)
Mas não é correto dizer que:
Todo dragão é igual a raiz(5)
Todo dragão é um passarinho.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 18 de junho de 2007 23:27
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Questao de Logica
-Original Message-
From: Ralph Teixeira
Sent: Tue 6/12/2007 11:36 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Subject: RE: [obm-l] Questao de Logica
Discordo do argumento da "vacuidade"; entre outras coisas, acho que seu
aluno confundiu "implicacao" com a "tese" (isto eh, conclusao).
>> como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a
qualquer coisa.
Eu discordo desta afirmacao. Algo que nao existe NAO eh igual a
qualquer coisa. O que se pode dizer eh, "se algo que nao existe existisse,
seria qualquer coisa".
Argh, a frase acima ficou pessima. Vejamos: "para todo A real, se
A^2=-67, entao A=1" eh uma sentenca verdadeira. Note que eu nao disse que A=1,
eu soh disse que *se* algum numero real *satisfizesse* a hipotese, ele seria 1
(assim como 2, 3 ou 4). A *implicacao* (a frase toda, do "para" ao "1" final)
estah correta; mas ambas a hipotese e tese sao falsas! NAO CONCLUI-SE QUE A=1.
No seu caso:
>>Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato
verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x nao eh
limite de x_n" eh verdadeira).
Eh verdade, esta **implicacao** estah correta (por vacuidade, pois o
tal limite nao existe, pela contrapositiva, tudo ok). Agora, daqui voce nao
tira a tese "x=1", pois a hipotese (limxn=x) simplesmente eh falsa (para
qualquer x que voce botar ali). Voce tem uma implicacao verdadeira, mas nao
tira conclusao alguma pois nao tem a veracidade da hipotese, entao nao conclui
a veracidade da tese. Nao vale que x=1.
Em suma: eh comum encontrar IMPLICACOES que sejam verdadeiras "por
vacuidade" (qualquer uma da forma "Se x pertence ao conjunto vazio, entao BLAH
BLAH"), mas nem toda SENTENCA eh verdadeira por vacuidade ("x pertence ao
conjunto vazio" eh falsa).
Eu sei que fui meio repetitivo, mas este tipo de argumento pode
rapidamente degenerar numa discussao filosofica que eu tentei evitar... Espero
ter conseguido ficar na logica (por enquanto).
Abraco,
Ralph
Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of Artur Costa Steiner
Sent: Tue 6/12/2007 2:55 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Subject: [obm-l] Questao de Logica
Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei
ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e
pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e
concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente.
Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o
enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente
porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o
outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte
argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a
qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente
(por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a
seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de
fato verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x
nao eh limite de x_n" eh verdadeira).
Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar,
mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra
duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural,
diria " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas
e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh
difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a
concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido.
Qual a opiniao de voces aqui na lista?
Abarcos
Artur
[obm-l] Selecionados na XIII Olimpíada de Maio
Caros(as) amigos(as) da OBM, Estou enviando a relação de alunos selecionados na XIII Olimpíada de Maio. As provas dos alunos foram enviadas para a FICOM na Argentina para a classificação final e distribuição de premiações. Abraços, Nelly *** BRASIL (Nivel I) 1- Otávio Augusto de Oliveira Mendes (Pilar do Sul - SP) 2- Rafael Alves Pinheiro (Parnamirim - RN) 3- Gabriel Militão (Fortaleza - CE) 4- João Lucas Camelo Sá (Fortaleza - CE) 5- Matheus Filipe Oliveira Azevedo (Teresina - PI) 6- Rafael Ferreira Antonioli (São Bernardo do Campo - SP) 7- Rubens Cainan Sabóia Monteiro (Fortaleza - CE) 8- Julia Landgraf Scatolin (Pirassununga - SP) 9- Cesar Ilharco Magalhães (Juiz de Fora - SP) 10- Bruno Silva Mucciaccia (Vitória - ES) BRASIL (Nivel II) 1- Marcelo Tadeu de Sá Oliveira Sales (Salvador - BA) 2- Rafael Farias Cação (Campo Grande - MS) 3- Leonardo Stedile (São Paulo - SP) 4- Rafael Horimoto de Freitas (São Paulo - SP) 5- Rodrigo Nagamine (Santo André - SP) 6- Thiago Saksanian Hallak (São Paulo - SP) 7- Guilherme da Rocha Dahrug (Santo André - SP) 8- Matheus Barros de Paula (Taubaté - SP) 9- Gustavo Lisbôa Empinotti (Florianópolis - SC) 10- Alessandro Macêdo de Araújo (Fortaleza - CE) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida
On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: > Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: > > Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e > a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raÃzes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
