> Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n
Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor essa passagem. > > [35890 66012 121415] > N^21 = [55403 101902 187427] > [66012 121415 223317] > > Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das > matrizes anteriores. > > Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 > (e chegamos na mesma resposta). > Suponho que teorema da álgebra linear foi usado na passagem acima foi aquele que diz que se o polinômio caracterÃstico para matrix X satisfaz p(X) = 0. Então X^3 = X^2 + X + I. O fato do polinômio poder ser obtido da multiplicação dos anteriores tem a ver com o fato de podermos multiplicar os dois lados da equação matricial acima por X ou uma potência de X: X^3 X = X^2 X + XX + X X^4 = X^3 +X^2 + X Pensei certo? Também não entendi por que a soma a^n + b^n + c^n é o traço da matrix X^n. Deve ter algo a ver com o fato da matriz poder ser escrita como X = A^1 L A^(-1) onde L é a matriz de autovalores, uma fórmula do tipo X^n = A^n L ^n A^(-n) deve valer e os termos devem ser cancelados em uma multiplicação ... bom... preciso de uma explicação melhor aqui também, pois "viajei" :) Gostaria de ter a sua velocidade de raciocÃnio mas não consigo :) Humildemente. Ronaldo. []s a todos. > > []s, N. > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================