On Thu, Jun 21, 2007 at 02:20:54PM -0300, ralonso wrote: > > Assim a, b, c são as raÃzes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. > > Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz > > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n > > Olá Professor Nicolau. Como você consegui enxergar que > p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n ? Suponho que você está > considerando que p(n) = x^n e x^3 = x^2 + x + 1. Assim p(n+1) = > x^3 + x^2 + x. Mas ainda não consegui enxergar por que isso é válido, pois > x pode ser a, b ou c. A confusão surge porque x tem que ser o mesmo nos dois > lados da equação. Ficaria grato se o senhor pudesse explanar melhor > essa passagem.
Temos a^3 = a^2 + a + 1 donde a^(n+3) = a^(n+2) + a^(n+1) + a^n b^3 = b^2 + b + 1 donde b^(n+3) = b^(n+2) + b^(n+1) + b^n c^3 = a^2 + a + 1 donde c^(n+3) = c^(n+2) + c^(n+1) + c^n Somando, a^(n+3) + b^(n+3) + c^(n+3) = (a^(n+2) + b^(n+2) + c^(n+2)) + + (a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)) + (a^n + b^n + c^n) que é o mesmo que p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================