Re: [obm-l] Varredura de porta - sem sustos...
Bom, eu estava lendo a lista, e vi este belo problema. E fiquei pensando como fazer. Dando uma espiada nas soluções (principalmente, vendo como cada um pensava em resolver !), eu vi que o buraco era bem mais embaixo. Hoje de manhã, eu tentei fazer uma coisinha ou outra, e acabei de ver uma solução. Eu não vou negar que ela foi um pouco influenciada pelo Ponce (porque usa ângulos !), mas ela tem o mérito de fazer umas contas, e mostrar o poder de variáveis implícitas. Aproveitando o enunciado do Ponce : Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do tamanho da parede, ou seja, L. Portanto uma das paredes e' so' a porta. Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta, ela se abre de um jeito particular: o ponto A da mesma segue em linha reta pelo segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto, quando ela abre, ela varre certa area de dentro da sala. Qual o valor dessa area? Bom, acho que todo mundo já fez o desenho da situação... e eu fiz ao contrário (eu botei a porta pra subir no eixo x = 1, e não x = 0, como todo mundo). Isso não muda nada, mas vai mudar um pouquinho a notação. (eu desenhei AB a base, e orientei trigonometricamente os vértices, e assim o C ficou sendo o (1,1), e não o A = (0,1) e B=(0,0) e C=(0,1) como na solução do Ponce, eu acho) Vamos lá : a porta está em y = 0, e sobe pela reta x = 1. Seja t (de theta) o ângulo que a tal porta faz com a base AB num dado instante. Seja x um ponto que está pra lá do ponto de encontro, ou seja, x (1 - cos t). Como a gente tem um triângulo retângulo, de lados cos t e sin t, com ângulo em B = (1,0), o ponto de encontro com AB é ( 1 - cos t , 0). A altura acima do ponto x sobre a porta é sin t * (x - (1 - cos t)) / cos t = tg t * (x + cos t - 1) (por uma semelhança dos triângulos retângulos, o mais chatinho é ver o x - (1 - cos t), mas depois de ter achado o 1 - cos t antes, fica até natural. Muito bom, equação chatinha essa, não ? Vai ficar pior ! Vamos achar a altura máxima em x. Basta derivar em relação a t nesta equação (e é aí que fazer cos t, sin t é melhor do que usar uma coordenada linear na base, porque vai dar uns polinômios e raizes muito chatos... eu comecei assim...). Mas a equação é legal de derivar em t : sec^2 t (x + cos t - 1) + tg t (-sin t) = 0, ou seja (x + cos t - 1) = cos t * sin^2 t Pronto, a gente tem x. Pra achar a área, basta integrar a altura em x no ponto ótimo. Mas isso é muito difícil, porque implica resolver a equação em t. E é aí que entra a mágica das funções implícitas : é bem claro (mas se convençam disso por vocês mesmos) que entre 0 e pi/2 um theta corresponde a um x ótimo e inversamente, um x corresponde a um t ótimo. Pronto, em vez de calcular integral de 0 a 1 de h(x) dx, a gente escreve x como função de t, e integra (mudando o limite da integral). E vai ficar bem legal, porque tem montes de coisas que vão simplificar (pra começar, o (x + cos t - 1) que vai embora !) integral de 0 a pi/2 de h(x(t)) d (x(t)) = integral de 0 a pi/2 tg t *(cos t * sin^2 t) d (x(t)) Pausa para calcular d (x(t)) : dx - sin t dt - 0 = (-sin t)sin^2 t + cos t * 2sin t cos t = dx = sin t - sin^3 t + 2 cos^2 t sin t = (sin t)(1 - sin^2 t + 2 cos^2 t) = sin t * 3 cos^2 t. E agora, é só juntar tudo, e correr pro abraço : integral de 0 a pi/2 sin t / cos t * cos t * sin^2 t * sin t * 3 cos^2 t dt = integral de 0 a pi/2 3 cos^2 t sin^4 t dt Bom, pra integrar isso, é só usar fórmulas de arco - duplo, cos^2 t = (1 + cos 2t)/2. Como a integral é de 0 a pi/2, qualquer integral de cos 2t vai integrar de 1 a -1, e vai dar zero. Portanto, basta calcular o termo sem cos 2t ! 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 * (1 - cos^2 t)^2 dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 * (1 - 2cos^2 t + cos^4 t) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (1 - 2(1 + cos 2t)/2 + (1 + cos 2t)^2/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (1 - (1 + cos 2t) + (1 + 2cos 2t + cos^2 2t)/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 (1 + cos 2t)/2 (-cos 2t + (1 + 2cos 2t + cos^2 2t)/4) dt = lembrando de desprezar os termos em cos 2t puros, e cos^3 2t que somam zero de 0 a pi/2 (depois de fazer a distributiva !): 3 integral de 0 a pi/2 1/2 ((1 + cos^2 2t)/4) + (cos 2t)/2 (-cos 2t + (2cos 2t)/4) dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 + (cos^2 2t)/8 + (cos 2t)/2 (-cos 2t)/2 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 + (cos^2 2t)/8 - (cos^2 2t)/4 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - (cos^2 2t)/8 dt = 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - (1 + cos 4t)/2/8 dt = E como pro 4t vai ser a mesma coisa do 2t (dessa vez, dá a volta inteira no círculo) 3 integral de 0 a pi/2 1/8 - 1/16 dt = 3 * pi/2 * 1/16 = 3pi/32 (Ufffaaa, deu certo !) A solução parece grande (mas uma vez que se chega na integral, é bem fácil, é só longo de escrever), mas achei ela bonitinha pela mudança de variáveis que inverte a função altura(x, theta), usando o x(theta) em vez de theta(x) (que é o que a gente poderia querer calcular) e
[obm-l] Três problemas legais
Aqui vão três problemas bem legais enviados pelo professor Bloh ( antigo professor do curso Anglo em São Paulo ), que vive em Israel. O professor Bloh gostaria de receber comentários sobre os problemas. Todos os problemas se dão em uma balança de braços iguais. Primeiro - Num dos pratos da balança foi colocado um objeto cuja massa m é um número interiro de gramas, com m entre 1 e 21, inclusive. Existem três massas aferidas de x, y e z gramas com as quais ( e com a balança ) consegue-se determinar a massa m. Encontre x, y e z. Segundo: Considere, novamente, o objeto de massa m, agora m é um dos seguintes números inteiros: 1,2,3,...,M - 1, M.. Qual o valor máximo de M para que ainda seja possível determinar o valor de m usando três massas aferidas de x, y e z gramas ? Determine também x,y e z e exiba um procedimento para obter o valor máximo M. Terceiro - É dado que m é um dos números inteiros 1,2,3,,M - 1, M. Qual o valor máximo de M para que seja possível calcular m usando n massas aferidas ? Nos itens anteriores tínhamos apenas três massas aferidas. ( Nos enunciado recebido do professor Bloh não há condições impostas sobre o número n, parece razoável buscar o menor n.) Grato. Tarso Moura Leitão
[obm-l] CUSTO-BENEFÍCIO!
Turma! Beleza de varredura e suas magníficas discussões...A dificuldade da escolha pública pela regra da maioria não está apenas no fato de dar, por vezes, origem a intransitividades. Um problema ainda mais sério reside no fato de quase completamente obscurecer todas as diferenças importantes relativas à intensidade com que os diferentes votantes mantém as suas preferências. A análise de custo-benefício é uma alternativa à regra da maioria que tenta levar em conta de forma explícita a determinação das pessoas na defesa das suas opiniões relativamente a cada uma das alternativas em questão. Suponha que existem apenas duas pessoas, R (que é rico) e P (que é pobre). E suponha que R apoia um projeto público, ao qual P se opõe. Em termos puramente psicológicos, as intensidades de sentimentos são iguais. No entanto, pelo fato de R possuir bastante mais dinheiro, ele estaria disposto a pagar 100 para conseguir o projeto, enquanto P estaria disposto a pagar apenas 10 para o evitar. Se cada um deles pudesse escolher o método a utilizar para decidir sobre projetos públicos, qual dos dois é que cada um escolheria, a análise de custo-benefício ou a regra da maioria? Resolução: Numa primeira abordagem, a regra da maioria parece atrativa para P, pois confere-lhe o poder de veto sobre qualquer projeto que ele não aprove. No entanto, o primeiro passo que P daria se lhe fosse atribuido esse poder de veto seria o da abdicação em troca de um pagamento compensatório. O fato de a análise de custo-benefício dar sempre origem ao maior excedente econômico significa que será sempre do interesse tanto de R como de P utilizarem-no. Seja 20 o valor marginal da produção de um indivíduo que vive numa fazenda e que consome 60. Surge uma oportunidade de trabalho e passa a receber um salário de 90 consumindo-o inteiramente. Qual o custo para empregá-lo? Abraços! _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: [obm-l] Probabilidade
Bem, creio que este exercício pode ser resolvido pelo primeiro Lema de Kaplansky, dado 60 números temos C(60,6) jeito de escolher os números. Vamos tentar calcular o número de combinações tais que não haja dois elementos consecutivos colocando sinal de + e - nos números, + quando for escolhido, - caso contrário, teremos a seguitne configuração ++--+-+-..- (Há 60 sinais 6 deles são + e 54 são -) Nenhum um mais pode ficar junto, portanto um jeito de contar é ficando os - deixando espaço entre eles: _-_-_-_-_-_-_-_-_ bem agora temos que escolher 6 dentre os 55 _ que é calculado como C(55,6) Logo a probabilidade é 1- C(55,6)/C(60,6)=1-(55!.54!)/(49!.60!) Alternativa e. Creio que seja isso.
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Humpodemos dividir em casos: I-) Tres números diferentes de 0 e os outros 2 também 2-)Tres números diferentes de 0 e um igual a 0 e outro diferente 3-)Tres números iguais a 0. Caso 1-) Temos C(9,1) jeitos de escolher 3 números iguais dentre 9,obviamente xD e C(8,2) jeitos de escolher os outros dois números. Escolhido esses números devemos calcular a permutação com repetição: #possibildades1=C(9,1)*C(8,2)*(5!/(3!))=5040 Caso 2-) Temos C(9,1) jeitos de escolher 3 números iguais dentre 9 e C(8,1) jeito de escolher o outro número. O número de permutações possiveis são todas - as que começam com zero #possibilidade2=C(9,1)*C(8,1)*[(5!/(3!)) -(4!/3!)]=1152 Caso 3-)Nesse temos C(9,2) jeitos de escolher os dois números distintos. Para o primeiro algarismo do número formado temos duas possibilidade, ou seja, as 5 menos os 3 zeros. Novamente temos que calcular as permutações. Logo temos: #possibilidade3=C(9,2)*( 2*(4!/3!))=288 #total=#possibildades1+#possibildades2+#possibildades3 #total=6480 números Hum..acho que é isso
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Hermann, você pode escolher os três algarismos diferentes de C10,3 = 120, onde Cn,p é o número de combinações de n elementos, tomados p a p. Depois, basta escolher qual deles aparecerá três vezes e permutar, ou seja, teremos 120 . 3 . P5, 3 = 360 . 10 = 3600 números, onde P5,3 é o número de permutações de 5 elementos com 3 repetições. Mas nestes estão incluídos aqueles que iniciam por zero e portanto, devemos descontá-los. Se o número inicia por zero, temos que escolher outros dois números de C9,2 = 36 maneiras diferentes. Se o zero for único, teremos 2 . P4,3 = 8 possibilidades e se o zero aparecer três vezes, teremos P4, 2 = 12 possibilidades. Assim, devemos desconsiderar 36 . (8 + 12) = 720 números de 3600, ou seja, restaram finalmente 3600 - 720 = 2880. Acho que é isso. Se não for, poste outra mensagem que pensamos melhor na solução. Vanderlei Em 19/09/08, Hermann [EMAIL PROTECTED] escreveu: Senhores estou apanhando, combinatória realmente..., gostaria de outro auxílio. Obrigado Quantos são os números de 5 algarismos que têm três de seus algarismos iguais e os outros algarismos diferentes entre si e diferente dos três algarismos iguais? Abraços Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] A Lei de Benford e as Loterias
Saudações a todos! Olhando a enxurrada desses problemas chatinhos (perdoem-me a franqueza) sobre Análise Combinatória e Probabilidades que está afogando esta Lista, ocorreu-me a seguinte questão: Algum maluco já estudou a influência (ou a validade) da Lei de Benford (a lei da primazia do 1º dígito) em loterias numéricas? Eu, particularmente, não sei de nada a respeito... Sds., AB
Re: [obm-l] combinatoria chico nery 69
Bom, os números com 3 algarismos zero repetidos terão essa disposição: ---9-- ---8--- --0-- --0-- --0-- = 72 números com os 3 zeros nessa posição. --9-- --0-- --0-- --0-- --8-- = 72 nessa posição. --9-- --0-- --0-- --8-- --0-- = 72 nesta outra. --9-- --0-- --8-- --0-- --0-- = 72 nesta última Logo teremos 288 números de 5 algarismos com 3 zeros repetidos. Com 3 algarismos 1 repetidos temos a seguinte disposição: --8-- --8-- --1-- --1-- --1-- = 64 números nessa disposição, pois não podemos iniciar o número com zero. --8-- --1-- --1-- --1-- --8-- = 64 --1-- --1-- --1-- --9-- --8-- = 72 pois o zero faz parte do número, nessa disposição. --1-- --1-- --9-- --1-- --8-- = 72 --1-- --1-- --9-- --8-- --1-- = 72 --8-- --1-- --1-- --8-- --1-- = 64 --1-- --9-- --1-- --1-- --8-- = 72 --1-- --9-- --8-- --1-- --1-- = 72 --8-- --1-- --8-- --1-- --1-- = 64 --1-- --9-- --1-- --8-- --1-- = 72 Então temos 688 números de 5 algarismos com 3 uns repetidos. Como temos 9 algarismos significativos então 9.688 = 6192. Logo o total de números será: 6192 + 288 = 6480. Em 20/09/08, Lucas Tiago Castro Jesus [EMAIL PROTECTED] escreveu: Humpodemos dividir em casos: I-) Tres números diferentes de 0 e os outros 2 também 2-)Tres números diferentes de 0 e um igual a 0 e outro diferente 3-)Tres números iguais a 0. Caso 1-) Temos C(9,1) jeitos de escolher 3 números iguais dentre 9,obviamente xD e C(8,2) jeitos de escolher os outros dois números. Escolhido esses números devemos calcular a permutação com repetição: #possibildades1=C(9,1)*C(8,2)*(5!/(3!))=5040 Caso 2-) Temos C(9,1) jeitos de escolher 3 números iguais dentre 9 e C(8,1) jeito de escolher o outro número. O número de permutações possiveis são todas - as que começam com zero #possibilidade2=C(9,1)*C(8,1)*[(5!/(3!)) -(4!/3!)]=1152 Caso 3-)Nesse temos C(9,2) jeitos de escolher os dois números distintos. Para o primeiro algarismo do número formado temos duas possibilidade, ou seja, as 5 menos os 3 zeros. Novamente temos que calcular as permutações. Logo temos: #possibilidade3=C(9,2)*( 2*(4!/3!))=288 #total=#possibildades1+#possibildades2+#possibildades3 #total=6480 números Hum..acho que é isso
