Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Prezado Bouskela,
Sejam:
abcd = 1000a + 100b +10c + d = n
ad = 10a + d
Queremos:
sqrt(abcd) = ad
abcd = ad^2
1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2
1000a + 100b + 10c + d = 100a^2 + 20ad + d^2
Vamos colocar as potências de 10 em evidência, para podermos tirar algumas
conclusões:
100*(10a - a^2 + b) = 10*(2ad - c) + d^2 - d (equação)
Logo d^2 - d é múltiplo de 10.
Portanto, d pertence a { 0, 1, 5, 6 }, como você já havia escrito.
Então, vamos abrir o problema em 4 casos:
d = 0
equação : 100*(10a - a^2 + b) = -10c
Logo c é múltiplo de 10 e, portanto, c = 0.
equação : 10a - a^2 + b = 0
b = a^2 - 10a = a*(a-10)
Como 1 = a = 9, b = a*(a-10) 0, o que não satisfaz.
d = 1
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(2a - c)
Logo 2a - c é múltiplo de 10.
Primeiro opção: 2a - c = 0
equação : 10a - a^2 + b = 0
E a conclusão é a mesma do caso d = 0.
Segunda opção: 2a - c = 10
equação : 10a - a^2 + b = 1
1 - b = a*(10-a)
Como 1 = a = 9, a*(10-a) 0.
Logo 1-b 0 e b = 0.
Então a*(10-a) = 1, o que é impossível, porque a e 10-a teriam que ser
iguais a 1.
d = 5
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c) + 20
100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c + 2)
Logo 10a - c + 2 é múltiplo de 10.
Então -c + 2 é múltiplo de 10 e c = 2.
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 100a
9a - a^2 + b = 0
b = a*(a-9)
Como b = 0 e a 0, então a-9 = 0 e a = 9.
Então b = 0.
Aqui encontramos uma solução, n = 9025.
d = 6
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(12a - c) + 30
100*(10a - a^2 + b) = 100a +10*(2a - c + 3)
100*(9a - a^2 + b) = 10*(2a -c + 3)
Logo, 2a - c + 3 é múltiplo de 10.
O menor valor que 2a - c + 3 pode assumir é 0 e o maior, é 20.
Assim temos três opções:
Primeira opção : 2a - c + 3 = 0
equação : a*(9-a) + b = 0
Como a*(9-a) =0, então b = 0.
Assim, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 21, que não satisfaz.
Segunda opção : 2a - c + 3 = 10
equação : a*(9-a) + b - 1 = 0
Como a*(9-a) =0, então 1 - b = 0 e b = 1.
Então b = 0 ou b = 1.
Se b = 0, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 11, que não satisfaz.
Terceira opção : 2a - c + 3 = 20
equação : a*(9-a) + b - 2 = 0
Como a*(9-a) =0, então 2 - b = 0 e b = 2.
Então b = 0 ou b = 1 ou b = 2.
Se b = 0, a*(9-a) = 2, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Finalmente, se b = 2, a*(9-a) = 0
Logo a = 9.
Como 2a - c + 3 = 20, então c = 1.
E aqui encontramos outra solução, n = 9216.
Conclusão:
n = 9025 ( sqrt(9025) = 95 ) ou
n = 9216 ( sqrt(9216) = 96 )
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Prezado Bouskela,
Sejam:
abcd = 1000a + 100b +10c + d = n
ad = 10a + d
Queremos:
sqrt(abcd) = ad
abcd = ad^2
1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2
1000a + 100b + 10c + d = 100a^2 + 20ad + d^2
Vamos colocar as potências de 10 em evidência, para podermos tirar algumas
conclusões:
100*(10a - a^2 + b) = 10*(2ad - c) + d^2 - d (equação)
Logo d^2 - d é múltiplo de 10.
Portanto, d pertence a { 0, 1, 5, 6 }, como você já havia escrito.
Então, vamos abrir o problema em 4 casos:
d = 0
equação : 100*(10a - a^2 + b) = -10c
Logo c é múltiplo de 10 e, portanto, c = 0.
equação : 10a - a^2 + b = 0
b = a^2 - 10a = a*(a-10)
Como 1 = a = 9, b = a*(a-10) 0, o que não satisfaz.
d = 1
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(2a - c)
Logo 2a - c é múltiplo de 10.
Primeiro opção: 2a - c = 0
equação : 10a - a^2 + b = 0
E a conclusão é a mesma do caso d = 0.
Segunda opção: 2a - c = 10
equação : 10a - a^2 + b = 1
1 - b = a*(10-a)
Como 1 = a = 9, a*(10-a) 0.
Logo 1-b 0 e b = 0.
Então a*(10-a) = 1, o que é impossível, porque a e 10-a teriam que ser
iguais a 1.
d = 5
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c) + 20
100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c + 2)
Logo 10a - c + 2 é múltiplo de 10.
Então -c + 2 é múltiplo de 10 e c = 2.
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 100a
9a - a^2 + b = 0
b = a*(a-9)
Como b = 0 e a 0, então a-9 = 0 e a = 9.
Então b = 0.
Aqui encontramos uma solução, n = 9025.
d = 6
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(12a - c) + 30
100*(10a - a^2 + b) = 100a +10*(2a - c + 3)
100*(9a - a^2 + b) = 10*(2a -c + 3)
Logo, 2a - c + 3 é múltiplo de 10.
O menor valor que 2a - c + 3 pode assumir é 0 e o maior, é 20.
Assim temos três opções:
Primeira opção : 2a - c + 3 = 0
equação : a*(9-a) + b = 0
Como a*(9-a) =0, então b = 0.
Assim, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 21, que não satisfaz.
Segunda opção : 2a - c + 3 = 10
equação : a*(9-a) + b - 1 = 0
Como a*(9-a) =0, então 1 - b = 0 e b = 1.
Então b = 0 ou b = 1.
Se b = 0, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 11, que não satisfaz.
Terceira opção : 2a - c + 3 = 20
equação : a*(9-a) + b - 2 = 0
Como a*(9-a) =0, então 2 - b = 0 e b = 2.
Então b = 0 ou b = 1 ou b = 2.
Se b = 0, a*(9-a) = 2, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Finalmente, se b = 2, a*(9-a) = 0
Logo a = 9.
Como 2a - c + 3 = 20, então c = 1.
E aqui encontramos outra solução, n = 9216.
Conclusão:
n = 9025 ( sqrt(9025) = 95 ) ou
n = 9216 ( sqrt(9216) = 96 )
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Caro Bouskela,
No intuito de aproveitar a sua conclusão inicial (correta) de que d pertence
a { 0, 1, 5, 6 } para desenvolver uma solução, não comecei a mesma por um
fato ainda mais óbvio, que somente depois me ocorreu, o qual simplifica
sobremaneira a solução.
É evidente que a tem que ser igual a 9.
Basta imaginar um a menor que 9 para perceber que ad^2 jamais começará
por a.
Por exemplo, se a = 8, 8d^2 = 89^2 = 7921, que começa por 7.
Assim, queremos ter 9d^2 = 9bcd.
O único trabalho a fazer é testar os 4 valores possíveis para d:
d = 0 ; 90^2 = 8100 ; não satisfaz
d = 1 ; 91^2 = 8281 ; não satisfaz
d = 5 ; 95^2 = 9025 ; primeira solução
d = 6 ; 96^2 = 9216 ; segunda solução
Bem mais simples, não?
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
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Re: [obm-l] FUVEST
Apótema Apótema (ou o apotegma) de um polígono regular é a designação dada à linha que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados. Dado que a distância mínima do centro a um dos lados é medida ao longo da apótema, esta designação é por vezes usada, embora incorretamente, para designar essa distância. Informação retirada do wikipédia http://pt.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%B3tema Atenciosamente, Venildo Junio do Amaral [EMAIL PROTECTED] http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual Home Work (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450 - Original Message - From: Hugo Canalli To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, October 23, 2008 1:26 PM Subject: Re: [obm-l] FUVEST apótema? Nem sei mais o que é isso :) On Wed, Oct 22, 2008 at 8:56 PM, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém pode resolver, por favor: Um aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo uma distância r, está situado no alto de uma torre vertical de altura h. As ondas do transmissor atingem uma estrada retilínea e horizontal que está a uma distância d do pé da torre. Determine o comprimento do trecho da estrada no qual se pode captar a transmissão. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Is we on the tape!
Re: [obm-l] TEORIA DOS JOGOS!
Como todos sao racionais eles sabem que eles sao competidores entre si e devem tentar fechar a melhor proposta o mais rapido possivel e logo percebem que B deve conversar com C primeiro. Se B nao conseguir negociar com C ai B vai ter problemas porque A poderá negociar com C, entao B ficar a ver navios. Tanto B quanto C sabem disso por isso B nao deve propor metade do valor a C. C fica esperando B fazer uma boa proposta, tal que C não precise mais negociar. B então oferece a C a possibilidade dele ficar com 8000 e B ficar apenas com 2000. Ambos aceitam e sai satisfeitos já que é impossivel C conseguir isso com A só se A abrisse mão do seu ganho. Além disso B adota a politica do é melhor um passaro na mao que dois voando só deus sabe quando pois é melhor ficar com 2000 do que ficar com nada. --- Em seg, 20/10/08, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um agente de teatro escreve a três artistas, informando-os de que tem trabalho para dois deles, para quaisquer dois. Os três artistas são de forma desigual e, assim, o empregador se dispõe a pagar mais por algumas combinações do que por outras. Especificamente, A e B podem conseguir $6000; A e C podem conseguir $8000 e B e C podem conseguir $1. Os dois que obtiverem o trabalho poderão dividir a soma recebida da maneira que mais lhe agradem, mas devem decidir como dividi-la antes de aceitar o trabalho. Os dois que primeiro chegam a um acordo conseguirão o emprego. É possível prever que par conseguirá o emprego? Como dividirão os lucros? Nota: Nesse jogo, a primeira reação é a de presumir que B e C se associarão. Como dividirão o que ganhem é outra questão... Abraços! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] TEORIA DOS JOGOS!
mas entao B pensa que, se negociar com A aquele contrato de 6000, talvez consiga mais de 2000. :) Nao sei qual eh a resposta, se eh que ha uma. Vou chutar que **um** equilibrio eh (estamos supondo que A, B e C ou fazem isso ou nada, e o trabalho nao lhes custa nada): Contrato 1: A:2 B:4 Contrato 2: A:2 C:6 Contrato 3: B:6 C:4 Se as propostas estiverem assim, ninguem tem incentivo para tentar mudar. Afinal: A nao vai conseguir mais de 2 -- se ele tentar, em qualquer contrato, B e C fecham o contrato 3 com a divisao 6:4, e eh melhor para AMBOS. B nao vai conseguir mais de 4 -- se ele tentar, em qualquer contrato, A e C fecham o contrato 2 com a divisao 2:6, e eh melhor para AMBOS. C nao vai conseguir mais de 6 -- se ele tentar, em qualquer contrato, A e B fecham o contrato 1 com a divisao 2:4, e eh melhor para AMBOS. Neste equilibrio, nao vejo como decidir qual dos contratos vencerah, jah que eles sao equivalentes para A, B, C e tambem para o comprador (afinal, acho que os valores que ele se dispoe a pagar jah refletem suas preferencias). Abraco, Ralph 2008/10/27 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] Como todos sao racionais eles sabem que eles sao competidores entre si e devem tentar fechar a melhor proposta o mais rapido possivel e logo percebem que B deve conversar com C primeiro. Se B nao conseguir negociar com C ai B vai ter problemas porque A poderá negociar com C, entao B ficar a ver navios. Tanto B quanto C sabem disso por isso B nao deve propor metade do valor a C. C fica esperando B fazer uma boa proposta, tal que C não precise mais negociar. B então oferece a C a possibilidade dele ficar com 8000 e B ficar apenas com 2000. Ambos aceitam e sai satisfeitos já que é impossivel C conseguir isso com A só se A abrisse mão do seu ganho. Além disso B adota a politica do é melhor um passaro na mao que dois voando só deus sabe quando pois é melhor ficar com 2000 do que ficar com nada. --- Em seg, 20/10/08, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um agente de teatro escreve a três artistas, informando-os de que tem trabalho para dois deles, para quaisquer dois. Os três artistas são de forma desigual e, assim, o empregador se dispõe a pagar mais por algumas combinações do que por outras. Especificamente, A e B podem conseguir $6000; A e C podem conseguir $8000 e B e C podem conseguir $1. Os dois que obtiverem o trabalho poderão dividir a soma recebida da maneira que mais lhe agradem, mas devem decidir como dividi-la antes de aceitar o trabalho. Os dois que primeiro chegam a um acordo conseguirão o emprego. É possível prever que par conseguirá o emprego? Como dividirão os lucros? Nota: Nesse jogo, a primeira reação é a de presumir que B e C se associarão. Como dividirão o que ganhem é outra questão... Abraços! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida
Amigos, uma ajuda na solução desse problema. ( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é: A resposta oficial é 144 que encontrei com meus alunos da seguinte forma: 1) Desnecessário o conjunto apresentar o 7 se não faria parte. 2) Dividimos as situações em: só com o 1; só com o 2; com 1 e 2 aparecendo. Com a situação 2, temos: 60 + 60 + 24 = 144. Bom...qual a dúvida? O danado do e. Deveria ser ou? Colegas de trabalho disseram que com o e poderia ser feito sem partir nos casos expostos. Por favor, se puderem nos ajudar, agradeço. Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
Re: [obm-l] Dúvida
Caro Walter, em um possível caminho, o raciocínio é decomposto em duas etapas. Na primeira, atribuem-se posições no número aos algarismos que devem estar presentes; posteriormente, atribuem-se os algarismos ainda livres às posições restantes no número. O resultado é o produto dos resultados dessas duas etapas (que também têm subetapas, veja). etapa1 Quantas posições são possíveis para o algarismo 1? R: 4 Dado que o 1 já foi alocado, quantas posições são possíveis para o algarismo 2? R: 3 etapa 2 Dado que 1 e 2 já foram alocados, quantos algarismos podem ocupar a terceira casa do número, qualquer que ela seja? R: 4 (são 3,4,5 e 6) Quantos algarismos podem ocupar a casa final do número, dadas as ocupações já realizadas? R: 3 (qualquer trinca formada a partir de 3,4,5,6 dependendo da última escolha acima) 4.3.4.3=144 Atenciosamente, Leo. 2008/10/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED] Amigos, uma ajuda na solução desse problema. ( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é: A resposta oficial é 144 que encontrei com meus alunos da seguinte forma: 1) Desnecessário o conjunto apresentar o 7 se não faria parte. 2) Dividimos as situações em: só com o 1; só com o 2; com 1 e 2 aparecendo. Com a situação 2, temos: 60 + 60 + 24 = 144. Bom...qual a dúvida? O danado do e. Deveria ser ou? Colegas de trabalho disseram que com o e poderia ser feito sem partir nos casos expostos. Por favor, se puderem nos ajudar, agradeço. Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[obm-l] polinomio de taylor
Boa noite, outro dia vi um recurso que faz analogia entre o binomio (a+b)^2 com o polinomio de taylor de segunda ordem com duas variáveis. Pergunto: para três variáveis também de segunda ordem faço a analogia com (a+b+c)^2 ? Alguém sabe um texto ou livro que ensine Polinomio de Taylor assim? Obrigado Herman Cabri
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
O problema pede que o número contenha o algarismo 1 E o algarismo 2. Então não
tem essa história de só com o 1, nem só com o 2.
Sendo assim, temos:
Os números formados deverão ter os algarismos 1 e 2, e mais dois algarismos que
pertençam ao conjunto {3,4,5,6}. O número de maneiras de escolher esses dois
outros algarismos é então C(4,2) = 6.
Em cada uma dessas 6 escolhas devermos permutar os quatro algarismos formadores
do número, de modo que, para cada uma das 6 escolhas, teremos 4! = 24 números
distintos.
6 * 24 = 144 números no total.
Um abraço a todos,
João Luís.
- Original Message -
From: Walter Tadeu Nogueira da Silveira
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, October 27, 2008 3:40 PM
Subject: [obm-l] Dúvida
Amigos, uma ajuda na solução desse problema.
( CEFET - PR ) A quantidade de números formados por 4 algarismos distintos,
escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que contem 1 e 2 e não contem o 7, é:
A resposta oficial é 144 que encontrei com meus alunos da seguinte forma:
1) Desnecessário o conjunto apresentar o 7 se não faria parte.
2) Dividimos as situações em: só com o 1; só com o 2; com 1 e 2 aparecendo.
Com a situação 2, temos: 60 + 60 + 24 = 144.
Bom...qual a dúvida? O danado do e. Deveria ser ou? Colegas de trabalho
disseram que com o e poderia ser feito sem partir nos casos expostos.
Por favor, se puderem nos ajudar, agradeço.
Abraços
--
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[obm-l] OBM 3ª fase
Olá pessoal, já viram as questões da prova de 3ª fase? Como sempre trazem um excelente desafio para nós, simples operários da Matemática. O Problema 2 do primeiro dia foi fácil para quem conhecia a versão mais simples com 4N pontos, 2N brancos e 2N negros, é só manejar um pouco a mesma idéia que sai. O Problema 5 do segundo dia parece bem difícil. Seria legal apresentar soluções e idéias que podem levar a soluções aqui na lista . Um abraço Tarso de Moura Leitão
[obm-l] Somatório
Tenho uma dúvida : O somatório de N, em que i varia de 1 até N é igual a ?? N ou N^N ou N^2, desde já agradeço qualquer ajuda.
[obm-l] PA com Função do 1 º grau.
O número em trilhões de cigarros vendiddos, anualmente, é dado pela função C(t) = 0,1t + 4,4 , com t=0 correspondendo a 1980 ( contado a partir do início de 1980). Qual o número em trilhões de cigarros vendidos desde o início de 1980 até o final de 1999 ? a) 109 b) 108 c) 107 d) 106 e) 105 O Gabarito dado é B) 108, fiz e cheguei ao resultado assim , soma de PA, [ ( 4,4 + 6,4)20 ] / 2 = 108, porém depois fazendo uma segunda análise discordei , pois essa PA não tem 20 termos e sim 21, porém o período dado é de 20 anos, e aí ... alguém pode me ajudar na interpretação dessa questão ??? desde já agradeço.
