Re: [obm-l] problema estranho
2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u, Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí. O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] problema estranho
Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 Subject: Re: [obm-l] problema estranho From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u, Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí. O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema estranho
Vamos continuar o seu raciocínio. Seja b(z) o conjugado do número complexo z. Sabemos que vale Tu,v=u,T*v para u,v em V. Se fizermos u=v temos Tv,v=v,T*v=b(T*v,v)=T*v,v e obtemos que Tv-T*v,v=0 para todo v em V, esta é a parte do seu raciocínio. Faça B=T-T*, e queremos verificar que B=0 observe primeiro que B*=(T-T*)*=-B. E sabemos que Bv,v=0 para todo v em V. Suponha que v=u+w então 0=Bv,v=B(u+w),u+w=Bu,w+Bw,u e daí Bu,w=-Bw,u=-Bw,u=B*w,u, para todo u,w em V. Por outro lado como Bu,w=u,B*w para todo u, w em V. Comparando as duas igualdades temos que Bu,w é real para todo u e w em V. E daí Bu,w=w,Bu para todo u,w em V e faça w=iBu, i é o número complexo. e temos -||Bu||^2=||Bu||^2, logo Bu=0 para todo u em V. E portanto B=0=T-T* e temos T=T*. [] Jones 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 Subject: Re: [obm-l] problema estranho From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u, Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí. O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] problema estranho
O que vc tem que mostrar é que x,Ty = 0 para todo x E para todo y. Uma maneira de fazer isso é trocar v por x+y, depois por x+iy e ver o que aparece :) From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] problema estranho Date: Sat, 7 May 2011 20:08:20 + Olá, Obrigado pelo esclarecimento, mas eu ainda fiquei com uma pulga atrás da orelha. O que acontece se meu operador não tem vetor próprio diferente de zero? Por que eu quero mostrar que T - T* = 0, portanto (T-T*)(v) = 0 para todo v em V. Mas se eu tenho um vetor prórpio (T-T*)(vp),vp = 0 =( T - T*)(vp) = 0. Estou um pouco perdido. Obrigado Date: Sat, 7 May 2011 08:05:03 +0200 Subject: Re: [obm-l] problema estranho From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2011/5/7 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Se V é um C espaço vetorial, com produto interno e T:V - V Mostrar que se T(v),v pertencce aos reais para todo v em V, então T = T* (adjunto) Se T(v),v = v,T*(v) para todo v em V portanto v,T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V agora vem minha dúvida, isso implica que T(v) - T*(v) = 0 para todo v em V Veja que, a princípio, você apenas pode concluir que T(v) - T*(v) é ortogonal (enfim, no sentido do produto hermitiano, mas é quase a mesma coisa) a v. O que quer dizer que sobra muito espaço para o T(v) passear. Acontece que v,A(v) tem mais informação do que só isso, justamente por ligar v e a sua imagem. Vamos pensar num caso bem conhecido (e real) para ter uma idéia do que está acontecendo. Seja A um operador linear simétrico. Assim, você pode diagonalizar, e, o que é mais importante, você têm vetores próprios. Seja u um vetor próprio de A, lambda o valor próprio associado, ou seja, Au = lambda * u (lembre-se, lambda é real). Assim, u, Au = u, lambda*u = lambda*u,u = lambda *||u||^2. Se v, Av = 0 para todo v, em particular para os vetores próprios, você conclui que todos os valores próprios são 0. Como a matriz é simétrica, ela é nula. (Se não fosse simétrica, você podia ter uma parte nilpotente; se você nunca ouviu falar nisso, não se preocupe) Observação: a minha idéia pra resolver esse problema vem do fato que v, Av mede o quanto A dilata os vetores. Sendo mais claro, se ||v|| = 1, você tem que v, Av pertence ao intervalo delimitado pelos menor e maior valores próprios de A. Isso é basicamente o fato que u, Au = lambda_u se u é um vetor próprio, e umas desigualdades. Assim, quando eu me lembrei disso, eu pensei Puxa, na verdade T - T* dilata sempre 0. Estranho, deve dar pra concluir daí. O caso complexo é exatamente igual, trocando simétrico por auto-adjunto, produtos internos por produtos hermitianos. E, o que é importante, é que A = T - T*, mesmo sem ser auto-adjunta (ela é anti-auto-adjunta, A* = -A), ela é normal (AA* = A*A) e você ainda consegue diagonalizar sobre C. Pois daí T = T* Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
