Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico Marcos Martinelli 
Bernardo,

olhei para a função ln(t) (1 <= t <= n) e, tentei uma aproximação
retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)]
para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona.

Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e
(t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
(t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)).

Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente.

Abs.

Em 23 de março de 2012 17:53, Arlane Manoel S Silva  escreveu:

>   Basta provar que (1+1/n)^n<=3 para todo n (e não será necessário falar
> em limites). De fato, isto é equivalente a
>  3n^n>=(n+1)^n, que é equivalente a
>  (n+1).(n/3)^n>=((n+1)/3)^(n+1)**, e agora é usar o PIF.
>   A.
>
> Citando Marcos Martinelli :
>
>
> Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
>> seguinte:
>>
>> (n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))**)
>>
>> Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>> 2012/3/23 terence thirteen :
>>> > Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>>> >  escreveu:
>>> >> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>> >>
>>> >> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
>>> tende ao
>>> >> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>>> >> ,alguem pode me ajudar?
>>> >
>>> > Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
>>> > n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>>> >
>>> > Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
>>> A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
>>> que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
>>> certo.
>>>
>>> (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
>>> então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
>>> grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
>>> ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
>>> conheço...)
>>>
>>> Abraços
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> ==**==**
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html
>>> ==**==**
>>> =
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>>
>
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> --
>Arlane Manoel S Silva
>  Departamento de Matemática Aplicada
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
>
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> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html
> ==**==**
> =
>

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico Arlane Manoel S Silva 
   Basta provar que (1+1/n)^n<=3 para todo n (e não será necessário  
falar em limites). De fato, isto é equivalente a

  3n^n>=(n+1)^n, que é equivalente a
  (n+1).(n/3)^n>=((n+1)/3)^(n+1), e agora é usar o PIF.
   A.

Citando Marcos Martinelli :


Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:


2012/3/23 terence thirteen :
> Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>  escreveu:
>> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>
>> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
tende ao
>> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>> ,alguem pode me ajudar?
>
> Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>
> Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2012/3/23 Marcos Martinelli :
> Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
> seguinte:
>
> (n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Bom, eu não vou dizer que é fácil, mas tem uma solução "no braço" que
leva uns 15 minutos pra escrever tudo, sem parar pra pensar. Minto,
tem que "acertar" a mão na hora de calcular log(1 + 1/n) = 1/n -
1/2n^2 + 1/3n^3 - resto, e ter coragem de dizer que o resto é mesmo
negativo (porque a série é alternada e decrescente para n >= 2). E
depois, indução na veia.

Acho que o que vale a pena perguntar é: como alguém poderia achar uma
desigualdade dessa? Vale qualquer argumento, mas digamos assim:

Eu sei (enfim, o Stirling sabia) que n! ~ n^n / e^n * raiz(2 pi n). A
sua desigualdade não tem o termo raiz(n), logo com certeza ela é
verdadeira assintoticamente. Assim, se eu quisesse ter uma
desigualdade com e^(P(n)/Q(n)), eu sei que P(n)/Q(n) ~ (-n) é o único
candidato razoável. Como fazer para achar os outros termos do
polinômio?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico Marcos Martinelli 
Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2012/3/23 terence thirteen :
> > Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
> >  escreveu:
> >> Como posso provar que n!>(n/3)^n
> >>
> >> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
> tende ao
> >> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
> >> ,alguem pode me ajudar?
> >
> > Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> > n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
> >
> > Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
> A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
> que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
> certo.
>
> (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
> então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
> grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
> ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
> conheço...)
>
> Abraços
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> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
2012/3/23 terence thirteen :
> Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
>  escreveu:
>> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>
>> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
>> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
>> ,alguem pode me ajudar?
>
> Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>
> Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] geometria

2012-03-23 Por tôpico Carlos Nehab 

Oi, Felipe,

Bonito problema e confesso que não o conhecia e não saquei solução.
Mas descobri vários artigos sobre o tema (o que por si só denota que não 
deve se tratar de problema banal).


Veja em http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1501726

"A polygon is said to be /simple/ if the only points of the plane 
belonging to two of its edges are its vertices.
We answer the question of finding, for a given integer /n/, a simple 
/n/-sided polygon contained in a disk of radius 1 that has the longest 
perimeter.
When /n/ is even, the optimal solution is arbitrarily close to a line 
segment of length 2/n/. When /n/ is odd, the optimal solution is 
arbitrarily close to an isosceles triangle."

Ou em
https://springerlink3.metapress.com/content/271w6pw85j59x451/resource-secured/?target=fulltext.pdf&sid=aoia4fxk1sfpnwuahjnrq21x&sh=www.springerlink.com

Mas você gostará de ler o artigo em
http://www.gerad.ca/Charles.Audet/PUB/extremal.pdf

Adoraria que alguém mais esperto do que eu oferecesse uma solução 
simples para seu problema.


Abraços
Nehab


Em 22/03/2012 00:45, felipe araujo costa escreveu:

Preciso de um ajuda.

Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando 
inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm?


Desde já agradeço.

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

2012-03-23 Por tôpico terence thirteen 
Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
 escreveu:
> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>
> Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
> infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
> ,alguem pode me ajudar?

Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)

Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
>
> []s
> Jooao



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