Basta provar que (1+1/n)^n<=3 para todo n (e não será necessário
falar em limites). De fato, isto é equivalente a
3n^n>=(n+1)^n, que é equivalente a
(n+1).(n/3)^n>=((n+1)/3)^(n+1), e agora é usar o PIF.
A.
Citando Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>:
Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:
(n!) >= (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))
Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:
2012/3/23 terence thirteen <peterdirich...@gmail.com>:
> Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
> <joao_maldona...@hotmail.com> escreveu:
>> Como posso provar que n!>(n/3)^n
>>
>> Consegui uma prova pelo limite fundamental (1+ 1/n)^n=e quando n
tende ao
>> infinito mas queria algo mais simples (um pif sem limite por exemplo)
>> ,alguem pode me ajudar?
>
> Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
> n+1 > ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
>
> Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.
(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n "logo antes de
ser grande". Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)
Abraços
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP
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