[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
Em 5 de maio de 2013 17:17, Eduardo Wilner escreveu: > Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas > incógnitas? > > Deixa eu escrever mais claramente então: x^2+3(y-z)^2=A^2, (x-y)^2+3z^2=B^2, (x+y)^2+3z^2=C^2 com A=3,B=4,C=5 E elas não são LI, LI é indefinível para equações de grau maior que 2 :P -- > *De:* terence thirteen > *Para:* obm-l > *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 > *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados > > > Resolva o sistema abaixo: > > 3(S-l)^2+D^2=3^2 > 3S^2+(l-D)^2=4^2 > 3S^2+(l+D)^2=5^2 > > (Espero que minha formulação esteja correta...) > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo escreveu: > A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, > seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 > ou mais. > Sendo assim: > Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) > Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k > Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = > k(k-1)/2 > Logo: > 4/(k(k-1)/2) < 1/9 > k^2 -k -72 > 0 > k< -8 ou k>9 (absurdo) > > E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? > Abraços > Claudio Gustavo > > Enviado via iPhone > > Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen > escreveu: > > Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? > > A soma da área coberta é no máximo 5. > Cada um tem tamanho 1 > Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. > > A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as > sobreposições. > > São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. > > Ixi! Só deu pra provar a igualdade! > > > Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < > mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: > >> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes >> cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >> >> dica: redução ao absurdo. >> >> -- >> Abraços >> >> M. >> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* >> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..* >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
Em 5 de maio de 2013 22:12, terence thirteen escreveu: > São três variáveis - S,D e l (L minúsculo). > > > > > Em 5 de maio de 2013 17:59, escreveu: > > ** >> >> A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs. >> >> olha ai >> >> >> http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+ >> > Mas cê tentou mesmo?? Me deu medo de calcular tanto quadrado sem saber se cancelava... > On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote: >> >> Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas >> incógnitas? >> -- >> *De:* terence thirteen >> *Para:* obm-l >> *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 >> *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados >> >> Resolva o sistema abaixo: >> >> 3(S-l)^2+D^2=3^2 >> 3S^2+(l-D)^2=4^2 >> 3S^2+(l+D)^2=5^2 >> (Espero que minha formulação esteja correta...) >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> >> >> >> > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
São três variáveis - S,D e l (L minúsculo). Em 5 de maio de 2013 17:59, escreveu: > ** > > A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs. > > olha ai > > > http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+ > > On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote: > > Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas > incógnitas? > -- > *De:* terence thirteen > *Para:* obm-l > *Enviadas:* Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 > *Assunto:* [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados > > Resolva o sistema abaixo: > > 3(S-l)^2+D^2=3^2 > 3S^2+(l-D)^2=4^2 > 3S^2+(l+D)^2=5^2 > (Espero que minha formulação esteja correta...) > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres > > > > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94
Em 5 de maio de 2013 21:04, Rogerio Ponce escreveu: > Oi Terence, > usando os casos 2 e 3, vemos que seria possivel haver ate' 21 avos > diferentes. > []'s > Rogerio Ponce > > > Mas isto não 'fere' a restrição de que cada pessoa tenha duas avós no máximo? Ah é: pode ser que uma avó seja neto de todos, e todos os outros tenha uma avó diferente... > 2013/5/5 terence thirteen > >> Minha ideia era algo como uma indução: provar que só existem três avós >> (ou menos). Com quatro fica fácil, e a partir daí, vemos que somos >> obrigados a repetir as avós já usadas. >> >> >> Em 28 de abril de 2013 06:07, Rogerio Ponce escreveu: >> >>> Ola' pessoal, >>> achei conveniente explicar melhor a solucao... >>> >>> Problema: >>> Existem 20 alunos em uma escola. >>> Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. >>> Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum. >>> >>> Solucao: >>> Seja Antonio um dos 20 alunos. >>> Sejam Maria e Nair suas avos. >>> Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e >>> Nair simultaneamente. >>> >>> Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos >>> da seguinte forma: >>> - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. >>> - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. >>> - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. >>> >>> Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: >>> 1) os grupos B e C sao vazios: >>> neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. >>> >>> 2) apenas o grupo C e' vazio: >>> neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. >>> >>> 3) apenas o grupo B e' vazio: >>> neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. >>> >>> 4) nenhum grupo e' vazio: >>> neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra >>> avo' ( aquela que nao e' Nair). >>> Acontece que qualquer que seja o aluno "c" do grupo C, "c" e Bernardo >>> possuem uma avo' em comum. >>> Como uma avo' de "c" e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, >>> tem que ser Odete. >>> Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. >>> >>> Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. >>> Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. >>> Acontece que qualquer que seja o aluno "b" do grupo B, "b" e Camilo >>> possuem uma avo' em comum. >>> Como uma avo' de "b" e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, >>> tem que ser Odete. >>> Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. >>> >>> Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos >>> de todos os alunos. >>> Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que >>> ser avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 >>> alunos (principio das casas de pombos). >>> >>> Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo >>> menos 14 alunos possuem uma avo' em comum. >>> >>> []'s >>> Rogerio Ponce >>> >>> >> >> >> -- >> /**/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94
Oi Terence, usando os casos 2 e 3, vemos que seria possivel haver ate' 21 avos diferentes. []'s Rogerio Ponce 2013/5/5 terence thirteen > Minha ideia era algo como uma indução: provar que só existem três avós (ou > menos). Com quatro fica fácil, e a partir daí, vemos que somos obrigados a > repetir as avós já usadas. > > > Em 28 de abril de 2013 06:07, Rogerio Ponce escreveu: > >> Ola' pessoal, >> achei conveniente explicar melhor a solucao... >> >> Problema: >> Existem 20 alunos em uma escola. >> Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. >> Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum. >> >> Solucao: >> Seja Antonio um dos 20 alunos. >> Sejam Maria e Nair suas avos. >> Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e >> Nair simultaneamente. >> >> Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos >> da seguinte forma: >> - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. >> - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. >> - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. >> >> Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: >> 1) os grupos B e C sao vazios: >> neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. >> >> 2) apenas o grupo C e' vazio: >> neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. >> >> 3) apenas o grupo B e' vazio: >> neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. >> >> 4) nenhum grupo e' vazio: >> neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra >> avo' ( aquela que nao e' Nair). >> Acontece que qualquer que seja o aluno "c" do grupo C, "c" e Bernardo >> possuem uma avo' em comum. >> Como uma avo' de "c" e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, tem >> que ser Odete. >> Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. >> >> Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. >> Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. >> Acontece que qualquer que seja o aluno "b" do grupo B, "b" e Camilo >> possuem uma avo' em comum. >> Como uma avo' de "b" e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, tem >> que ser Odete. >> Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. >> >> Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos >> de todos os alunos. >> Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que ser >> avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 alunos >> (principio das casas de pombos). >> >> Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo >> menos 14 alunos possuem uma avo' em comum. >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres >
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
A solução ficou muito feia deu preguiça de tentar fazer rs. olha ai http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+3%28S-l%29%5E2%2BD%5E2%3D3%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l-D%29%5E2%3D4%5E2%2C+3S%5E2%2B%28l%2BD%29%5E2%3D5%5E2+ On Sun, 5 May 2013 13:17:47 -0700 (PDT), Eduardo Wilner wrote: > Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas incógnitas? > > - > DE: terence thirteen > PARA: obm-l > ENVIADAS: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 > ASSUNTO: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados > > Resolva o sistema abaixo: > > 3(S-l)^2+D^2=3^2 3S^2+(l-D)^2=4^2 > 3S^2+(l+D)^2=5^2 > > (Espero que minha formulação esteja correta...) > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou mais. Sendo assim: Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2 Logo: 4/(k(k-1)/2) < 1/9 k^2 -k -72 > 0 k< -8 ou k>9 (absurdo) Abraços Claudio Gustavo Enviado via iPhone Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen escreveu: > Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? > > A soma da área coberta é no máximo 5. > Cada um tem tamanho 1 > Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. > > A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições. > > São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. > > Ixi! Só deu pra provar a igualdade! > > > Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo > escreveu: >> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de >> área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes >> cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >> >> dica: redução ao absurdo. >> >> -- >> Abraços >> >> M. >> momentos excepcionais pedem ações excepcionais. >> Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.. > > > > -- > /**/ > 神が祝福 > > Torres
[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas incógnitas? De: terence thirteen Para: obm-l Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 Assunto: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados Resolva o sistema abaixo: 3(S-l)^2+D^2=3^2 3S^2+(l-D)^2=4^2 3S^2+(l+D)^2=5^2 (Espero que minha formulação esteja correta...) -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94
Minha ideia era algo como uma indução: provar que só existem três avós (ou menos). Com quatro fica fácil, e a partir daí, vemos que somos obrigados a repetir as avós já usadas. Em 28 de abril de 2013 06:07, Rogerio Ponce escreveu: > Ola' pessoal, > achei conveniente explicar melhor a solucao... > > Problema: > Existem 20 alunos em uma escola. > Quaisquer dois deles possui uma avo' em comum. > Prove que pelo menos 14 deles possui uma avo' em comum. > > Solucao: > Seja Antonio um dos 20 alunos. > Sejam Maria e Nair suas avos. > Portanto, qualquer outro aluno tem uma avo' Maria, ou Nair, ou Maria e > Nair simultaneamente. > > Assim, podemos encaixar cada aluno em um dos grupos A, B e C, definidos > da seguinte forma: > - grupo A: o aluno tem uma avo' Maria, e uma avo' Nair. > - grupo B: o aluno tem uma avo' Maria, e uma outra avo' que nao e' Nair. > - grupo C: o aluno tem uma avo' Nair, e uma outra avo' que nao e' Maria. > > Dessa forma, Antonio pertence ao grupo A, e existem 4 possibilidades: > 1) os grupos B e C sao vazios: > neste caso, tanto Maria quanto Nair sao avos dos 20 alunos. > > 2) apenas o grupo C e' vazio: > neste caso, Maria e' avo' dos 20 alunos. > > 3) apenas o grupo B e' vazio: > neste caso, Nair e' avo' dos 20 alunos. > > 4) nenhum grupo e' vazio: > neste caso, seja Bernardo um aluno do grupo B, e seja Odete a sua outra > avo' ( aquela que nao e' Nair). > Acontece que qualquer que seja o aluno "c" do grupo C, "c" e Bernardo > possuem uma avo' em comum. > Como uma avo' de "c" e' Nair, a outra, aquela que nao pode ser Maria, tem > que ser Odete. > Portanto, todos os alunos do grupo C sao netos de Odete. > > Agora, seja Camilo um aluno do grupo C. > Entao, conforme acabamos de provar, Camilo tem as avos Nair e Odete. > Acontece que qualquer que seja o aluno "b" do grupo B, "b" e Camilo > possuem uma avo' em comum. > Como uma avo' de "b" e' Maria, a outra, aquela que nao pode ser Nair, tem > que ser Odete. > Portanto todos os alunos do grupo B sao netos de Odete. > > Desse modo, apenas 3 mulheres - Maria, Nair e Odete - sao as unicas avos > de todos os alunos. > Como os 20 alunos possuem ao todo 40 avos, uma das 3 mulheres tem que ser > avo' pelo menos 14 vezes, ou seja, tem que ser avo' de pelo menos 14 alunos > (principio das casas de pombos). > > Assim, examinadas as possibilidades, sempre podemos afirmar que pelo menos > 14 alunos possuem uma avo' em comum. > > []'s > Rogerio Ponce > > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Probleminha interessante.
Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? A soma da área coberta é no máximo 5. Cada um tem tamanho 1 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as sobreposições. São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. Ixi! Só deu pra provar a igualdade! Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo escreveu: > Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de > área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes > cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. > > dica: redução ao absurdo. > > -- > Abraços > > M. > *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* > *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..* > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Ajuda
No texto inicial, a "gritante" interrogação, se refere ao que? Ao lado? [ ] s De: Marcelo de Moura Costa Para: Enviadas: Domingo, 5 de Maio de 2013 5:42 Assunto: [obm-l] Ajuda Tenho certeza de que alguém da lista já se deparou com esse problema e sua solução: Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo.? Solução: 3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p^2 + q^2 + t^2 + a^2)^2. p = 5 q = 7 t = 8 a=lado do triângulo equilátero. Alguém já viu a demonstração ou conhece? Agradeceria a informação. Abraços e boa semana. Marcelo
Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Marcelo. Esse caiu na Primeira Olimpiada Iberoamericana. De uma olhada em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg48192.html Achando a area, eh facil achar o lado. Abraco, Ralph 2013/5/5 Marcelo de Moura Costa > *Tenho certeza de que alguém da lista já se deparou com esse problema e > sua solução:* > > Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos > vértices do triângulo.? > > *Solução:* > > *3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p^2 + q^2 + t^2 + a^2)^2. > > p = 5 > q = 7 > t = 8 > * > *a=lado do triângulo equilátero. * > * > * > *Alguém já viu a demonstração ou conhece?* > *Agradeceria a informação.* > * > * > *Abraços e boa semana.* > * > * > *Marcelo* >
[obm-l] Ajuda
*Tenho certeza de que alguém da lista já se deparou com esse problema e sua solução:* Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo.? *Solução:* *3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p^2 + q^2 + t^2 + a^2)^2. p = 5 q = 7 t = 8 * *a=lado do triângulo equilátero. * * * *Alguém já viu a demonstração ou conhece?* *Agradeceria a informação.* * * *Abraços e boa semana.* * * *Marcelo*
