[obm-l] Re: Combinatória
Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par então tem que ter dígitos impares numa quatidade par 1. Sendo dois ímpares e sete pares 5^2*5^7 2. Sendo quatro ímpares e cinco pares 5^4*5^5 3. Sendo seis ímpares e três pares 5^6*5^3 4. Sendo oito ímpares e um par 5^8*5^1 Todos dão 5^9. Por quatro vezes. 4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500 É isso? Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 + marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par? Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse número é a metade do total de números de 9 algarismosSeria metade dos números com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos algarismos ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria como justificar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [Bulk] [obm-l] Re: Combinatória
Faltou o caso todos pares! Outro 5^9. 5 * 5^9 = 5^10 = 1953125 * 5 = 9765625 Em Mon, 25 May 2015 04:58:09 -0300 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu: Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par então tem que ter dígitos impares numa quatidade par 1. Sendo dois ímpares e sete pares 5^2*5^7 2. Sendo quatro ímpares e cinco pares 5^4*5^5 3. Sendo seis ímpares e três pares 5^6*5^3 4. Sendo oito ímpares e um par 5^8*5^1 Todos dão 5^9. Por quatro vezes. 4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500 É isso? Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 + marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par? Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse número é a metade do total de números de 9 algarismosSeria metade dos números com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos algarismos ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria como justificar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [Bulk] Re: [Bulk] [obm-l] Re: Combinatória
São 9 dígitos sem o primeiro ser zero, não é? 1. Primeiro dígito par * oito dígitos pares 5^8 * seis dígitos pares e dois ímpares 5^6*5^2 * quatro dígitos pares e quatro ímpares 5^4*5^4 * dois dígitos pares e seis ímpares 5^2*5^6 * oito dígitos ímpares 5^8 2. Primeiro dígito ímpar * sete dígitos pares e um ímpar 5^7*5^1 * cinco dígitos pares e três ímpares 5^5*5^3 * três dígitos pares e cinco ímpares 5^7*5^1 * um dígito par e sete ímpares 5^7*5^1 No final das contas, isso dá 9 * 5^8 9 * 5^8 = 9 * 390625 = 1953125 Fora isso não tentei ver outra falha. Em Mon, 25 May 2015 05:26:29 -0300 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu: Faltou o caso todos pares! Outro 5^9. 5 * 5^9 = 5^10 = 1953125 * 5 = 9765625 Em Mon, 25 May 2015 04:58:09 -0300 Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br escreveu: Deixa eu ver... 9 dígitos de soma par então tem que ter dígitos impares numa quatidade par 1. Sendo dois ímpares e sete pares 5^2*5^7 2. Sendo quatro ímpares e cinco pares 5^4*5^5 3. Sendo seis ímpares e três pares 5^6*5^3 4. Sendo oito ímpares e um par 5^8*5^1 Todos dão 5^9. Por quatro vezes. 4 * 5^9 = 1953125 * 4 = 7812500 É isso? Em Sun, 24 May 2015 00:31:08 + marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par? Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.Notei que esse número é a metade do total de números de 9 algarismosSeria metade dos números com soma dos seus algarismos par e metadecom soma dos algarismos ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidênciaou teria como justificar? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resposta a Gabriel(combinatória)
A sua solução é interessante.Do jeito que fiz ficou bem mais trabalhoso.Eu usei a mesma ideia do ´´listeiro´´, mas acho que ele se enganou em algumaspassagens. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios
2015-05-24 21:51 GMT-03:00 Gabriel Tostes gtos...@icloud.com: Esta certo eu provar isso dizendo que, pelo teorema da raiz racional, as unicas solucoes inteiras podem ser -1, 1, 3 e -3 mas que, com essa opcoes, tal polinomio nunca sera igual a 0? Não. Pegue dois polinômios irredutíveis em Z[x] sem raízes racionais. Tipo P = x^2 + 1 e Q = x^2 + 2. O produto deles também não tem raízes racionais, mas é redutível. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios
2015-05-25 15:30 GMT-03:00 Leonardo Borges Avelino lbor...@gmail.com: Daria pra aplicar o critério de Eisenstein diretamente? Não. Dado um polinômio P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 com a_k inteiros, suponha que exista um primo p t.q: 1) p não divide a_n 2) p divide a_k para k=0, 1, ..., n-1 3) a_0 não é divisível por p^2 Então P é irredutível em Q Neste problema a_n = 1, a_(n-1)=5, a_(n-2), ..., a_1 =0 e a_0=3 Para um primo p=5, vemos que o o teorema é válido, p não divide a_0. portanto P é irredutível em Q. Como mdc dos coeficientes é 1, P também será irredutível em Z Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios
Daria pra aplicar o critério de Eisenstein diretamente? Dado um polinômio P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 com a_k inteiros, suponha que exista um primo p t.q: 1) p não divide a_n 2) p divide a_k para k=0, 1, ..., n-1 3) a_0 não é divisível por p^2 Então P é irredutível em Q Neste problema a_n = 1, a_(n-1)=5, a_(n-2), ..., a_1 =0 e a_0=3 Para um primo p=5, vemos que o o teorema é válido, portanto P é irredutível em Q. Como mdc dos coeficientes é 1, P também será irredutível em Z -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios
Vlw! Realmente nao tinha nada a ver pensar desse jeito... Resolvi de outro jeito aqui... Quando x for 0 esse polinomio tem que ser múltiplo de 9, mas ele e igual a 3. Enviada do meu iPad Em 25/05/2015, às 09:30, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2015-05-24 21:51 GMT-03:00 Gabriel Tostes gtos...@icloud.com: Esta certo eu provar isso dizendo que, pelo teorema da raiz racional, as unicas solucoes inteiras podem ser -1, 1, 3 e -3 mas que, com essa opcoes, tal polinomio nunca sera igual a 0? Não. Pegue dois polinômios irredutÃveis em Z[x] sem raÃzes racionais. Tipo P = x^2 + 1 e Q = x^2 + 2. O produto deles também não tem raÃzes racionais, mas é redutÃvel. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade
Caros colegas, Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros positivos e a^2 + b^2 = c^2. Como provar que a ou b é múltiplo de 4? Abraços! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [Bulk] [obm-l] Resposta a Gabriel(combinatória)
Eu notei um último engano no primeiro dígito ser / não ser zero, mas já havia enviado mensagens demais ... Em Mon, 25 May 2015 11:32:47 + marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: A sua solução é interessante.Do jeito que fiz ficou bem mais trabalhoso.Eu usei a mesma ideia do ´´listeiro´´, mas acho que ele se enganou em algumaspassagens. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ternos pitagóricos - uma propriedade
Olá, Pedro, Quando elevamos um número ao quadrado, temos a seguinte tabela mod4: (x, x^2) (0, 0) (1, 1) (2, 0) (3, 1) Vamos analisar a expressão módulo 4. Assim: a^2 + b^2 == c^2 (mod 4) Temos apenas 3 possibilidades para (a^2, b^2): 1. (0, 0) = c^2 = 0 2. (0, 1) = c^2 = 1 3. (1, 0) = c^2 = 1 4. (1, 1) = c^2 = 2 (impossível) Logo, a^2 ou b^2 sempre são côngruos a 0 (mod4). Isso implica que a ou b são sempre côngruos a 0 ou 2 (mod 4). *Caso 1:* Suponha que nem a nem b são múltiplos de 4. Assim, a == b == 2 (mod 4). Assim, a^2 + b^2 = c^2 == 0 (mod4). Assim, c == 0 ou c == 2 (mod4). Se c == 0(mod4), então c^2 == 0(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Se c == 2(mod4), então c^2 == 4(mod16). Mas, a^2 + b^2 == 8(mod16). Absurdo. Logo, ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. *Caso 2:* Suponha que a==2(mod4). Temos que b = 2k+1. Assim: a^2 + b^2 = c^2 == 1(mod4) (4u+2)^2 + (2k+1)^2 = (4v+1)^2 16u^2 + 16u + 4 + 4k^2 + 4k + 1 = 16v^2 + 8v + 1 Analisando mod8, temos: 4 + 4k^2 + 4k + 1 == 1 (mod 8) 4 + 4k^2 + 4k == 0 (mod 8) Dividindo por 4, temos: 1 + k^2 + k == 0 (mod2) 1 + 2k == 0(mod2) 1 == 0(mod2). Absurdo. Logo, a tem que ser múltiplo de 4. *Caso 3:* Análogo ao caso 2, apenas trocando o a com o b. Assim, concluímos que ou a ou b tem que ser múltiplo de 4. Abraços, Salhab 2015-05-25 19:04 GMT-03:00 Pedro Chaves brped...@hotmail.com: Caros colegas, Seja (a, b, c)um terno pitagórico, quer dizer: a, b e c são inteiros positivos e a^2 + b^2 = c^2. Como provar que a ou b é múltiplo de 4? Abraços! Pedro Chaves _ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] ternos pitagóricos
a,b,c sao inteiros positivos tais que a^2 + b^2 = c^2.Como provar que a ou b émultiplo de 4? Pedro, vou tentar:Seja d = mdc(a,b,c)Dividindo os 3 termos da equação por d^2 obtemosp^2 + q^2 = r^2, com p,q e r primos entre siP e q não são ambos paresp e q não são ambos ímpares,vejamos porque:Os quadrados de ímpares são da forma 4k+1 nesse caso, por exemplo, se p = 2m+1, temos p^2 = 4m(m+1) +1 = 4k+1Então se p e q forem ímpares teremos r^2 = p^2 + q^2 = 4k+1 + 4n+ 1 = 4k´+ 2 e um quadradonão pode ser desta forma, pois r^2 = 4k´+ 2 é par,então r é par,então r = 2t e r^2 = 4t^2 = 4k´+ 2, absurdo.Logo p e q nao sao ambos imparesComo p e q tem paridades distintas temos que r^2 é impar.Logo r é imparQuadrados impares sao da forma 8k+1,veja:Considerando p ímpar temos p^2 = 4m(m+1) + 1. Como m(m+1) é par(produto de doisinteiros consecutivos) podemos escrever m(m+1) = 2k. Entao p^2 = 4.2k + 1 = 8k+1Como r^2 e p^2 sao quadrados impares entao r^2 = 8u +1 e p^2 = 8k+1Logo q^2 = r^2 - p^2 = (8u+1) - (8k+1) = 8(u-k) = 8vobserve q^2 = 8v.Note que no primeiro membro o fator 2 tem expoente par e osdemais fatores primos tambem. Logo v = 2s^2. Entao q^2 =16s^2.Dai q = 4sAbs,Marcone. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
