[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Pedro Júnior]

Obrigado, não havia percebido o deslize!

Em 25 de jul de 2017 10:48 PM, "Carlos Gomes" 
escreveu:


Pelo teorema do resto,

p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0

Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim,

q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto,

p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r.

Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A

Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A

Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo
as condições requeridas.

Cgomes.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Carlos Gomes]

Pelo teorema do resto,

p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0

Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim,

q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto,

p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r.

Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A

Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A

Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo
as condições requeridas.

Cgomes.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Ralph Teixeira]

Vou ajeitar a ideia do Bruno, que eh muito boa -- vou botar um parametro
arbitrario na frente do primeiro polinomio:

Entao, crio P(x)=k(x-2)(x-3)(x-4) -> P(1)=-6k (onde k<>0)

Entao R(x)=k(x-2)(x-3)(x-4)+6k eh tal que R(1)=0; mais ainda,
R(2)=R(3)=R(4)=6k, portanto R(x) deixa o mesmo resto 6k na divisao por
(x-2), (x-3) ou (x-4).

(Ou entao, pegue o polinomio Q(x) do Bruno, e multiplique por uma constante
real arbitraria k<>0)

Abraco, Ralph.

2017-07-25 21:41 GMT-03:00 Bruno Visnadi :

> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6
>
> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1)
>
> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio no
> formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por
> (x-2), (x-3) e (x-4).
>
> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior 
> escreveu:
>
>> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais
>> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e
>> x - 4.
>>
>> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Bruno Visnadi]

Os polinômios que mencionei no formato Q(x) + nP(x) não são necessariamente
múltiplos de (x-1). Mas Q(x) é um exemplo de polinômio que estamos
procurando.

Pelo o que entendi, dois polinômios diferentes podem deixar restos
diferentes, desde que seja o mesmo resto para (x-1), (x-2) e (x-3), certo?

Neste caso, basta tormarmos Qm(x) = m*P(x) + 6m, para todo m. Cada
polinômio deixará resto 6t por (x-1), (x-2) e (x-3).

Qm(x) = mx³ - 9mx² + 26mx - 12m -> Qm(1) = 0. Então, dessa vez eles são
todos múltiplos de (x-1) :)



Em 25 de julho de 2017 22:13, Bruno Visnadi 
escreveu:

> Opa, deixei passar um erro bem básico! Estou corrigindo, um momentinho
>
> Em 25 de julho de 2017 22:04, Pedro Júnior 
> escreveu:
>
>> Obrigado, didático e criativo.
>> Valeu mesmo!
>>
>> Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" <
>> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6
>>>
>>> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1)
>>>
>>> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio
>>> no formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por
>>> (x-2), (x-3) e (x-4).
>>>
>>> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior 
>>> escreveu:
>>>
 Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais
 que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e
 x - 4.

 Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.

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>>>
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Bruno Visnadi]

Opa, deixei passar um erro bem básico! Estou corrigindo, um momentinho

Em 25 de julho de 2017 22:04, Pedro Júnior 
escreveu:

> Obrigado, didático e criativo.
> Valeu mesmo!
>
> Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" 
> escreveu:
>
>> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6
>>
>> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1)
>>
>> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio
>> no formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por
>> (x-2), (x-3) e (x-4).
>>
>> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior 
>> escreveu:
>>
>>> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais
>>> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e
>>> x - 4.
>>>
>>> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.
>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Pedro Júnior]

Obrigado, didático e criativo.
Valeu mesmo!

Em 25 de jul de 2017 9:55 PM, "Bruno Visnadi" 
escreveu:

> Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6
>
> Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1)
>
> Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio no
> formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por
> (x-2), (x-3) e (x-4).
>
> Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior 
> escreveu:
>
>> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais
>> que são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e
>> x - 4.
>>
>> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Bruno Visnadi]

Seja P(x) = (x-2)(x-3)(x-4) = x³ - 9x² + 26x - 24 -> P(1) = -6

Seja Q(x) = P(x) + 6 -> Q(1) = 0 -> Q(x) é múltiplo de (x-1)

Perceba que Q(x) deixa resto 6 por (x-2), (x-3) e (x-4). Todo polinômio no
formato Q(x) + n*P(x), para todo n, deixa resto 6 por
(x-2), (x-3) e (x-4).

Em 25 de julho de 2017 21:22, Pedro Júnior 
escreveu:

> Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais que
> são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e x -
> 4.
>
> Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Polinômios

[Pedro Júnior]

Prove que existem infinitos polinômios de grau 3 de coeficientes reais que
são divisíveis por x - 1 e que deixam o mesmo resto por x - 2, x - 3 e x -
4.

Quem tiver uma boa dica fica meus agradecimentos.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probabilidade

[Bruno Visnadi]

Concordo, Marcelo. De fato, a última metade da minha solução está
incorreta. A probabilidade de um subconjunto específico de K elementos
sobrar é de fato [(N-K)!*(N-A)!/(N!*(N-K-A)!)]^P, mas é possível que outros
números não pertencentes a este subconjunto tenham sobrado!

Então, a probabilidade de somente estes K números sobrarem é
[(N-K)!*(N-A)!/(N!*(N-K-A)!)]^P
- soma de X = K+1 até N-A:
{(N-K)!*[(N-X)!*(N-A)!/(N!*(N-X-A)!)]^P}/((X-K)!*(N-X-K)!).
Isto é, descontei todos os casos em que sobram mais números. Bom, vamos
chamar isto tudo de B.

Então, enfim, as chances de quaisquer K números sobrarem é B*N!/(K!*(N-K)!)

Outra condição que esqueci de mencionar, e que é necessária para que a
fórmula funcione, é K ≥ N - P*A, caso contrário provavelmente o resultado
sairá negativo (enquanto deveria ser 0).


Em 25 de julho de 2017 03:20, Marcelo Salhab Brogliato 
escreveu:

> Oi Pedro e Bruno,
>
> K é só a quantidade de números que sobram (podendo ser quaisquer números
> do intervalo).
>
> Vejam o seguinte caso particular: N=10, A=2, P=4, K=3.
> Nesse caso, serão escolhidos 4 pares (a, b), a != b, ou seja, um total de
> 8 números no intervalo [1, 10].
>
> Pela equação de vocês:
> [1] comb(N-K, A) = comb(7, 2) = 21
> [2] comb(N, A) = comb(10, 2) = 45
> [3] comb(N, K) = comb(10, 3) = 120
>
> Assim, a probabilidade de pelo menos K=3 números não serem escolhidos
> seria: 120 * (21/45)^P = 120 * (21/45)^4 = 120 * 0.04742 = 5.6912 = 569.12%.
>
> O que eu acho que está errado na solução de vocês é que não podemos
> multiplicar por comb(N, K), pois ele irá "contar várias vezes o mesmo
> caso". Por exemplo: Quando os números 1, 2 e 3 foram retirados da seleção,
> a probabilidade parece ser (21/45)^4. Mas, nessas combinações, aconteceu o
> caso em que o número 4 não foi escolhido também. Esse caso em que não
> aparecem os números 1, 2, 3 e 4, também se repete quando os números
> retirados são 1, 2 e 4, pois, em algum momento, o 3 não será escolhido.
> Esse é só um caso de repetição dentre muitos. Concordam?
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2017-07-25 1:03 GMT-03:00 Bruno Visnadi :
>
>> Bom, se tirar a parte que eu multiplico por N!/(K!*(N-K)!), acho que
>> fica igual ao seu :)
>>
>> Realmente pelo enunciado não dá para saber se K é só a quantidade de
>> números que sobram, ou se são K números específicos.
>>
>> Em 24 de julho de 2017 23:37, Pedro Angelo 
>> escreveu:
>>
>>> Eu e o Bruno claramente entendemos o problema de forma diferente hehehe.
>>> Eu tava achando que os K números não deviam ser escolhidos eram K números
>>> pré-determinados (fixos). Eu entendi que "esses K números aqui não devem
>>> ser escolhidos", enquanto o Bruno entendeu que "Retirando dos N números os
>>> números que foram escolhidos, devem sobrar K números."
>>> ​
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
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>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Probabilidade

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi Pedro e Bruno,

K é só a quantidade de números que sobram (podendo ser quaisquer números do
intervalo).

Vejam o seguinte caso particular: N=10, A=2, P=4, K=3.
Nesse caso, serão escolhidos 4 pares (a, b), a != b, ou seja, um total de 8
números no intervalo [1, 10].

Pela equação de vocês:
[1] comb(N-K, A) = comb(7, 2) = 21
[2] comb(N, A) = comb(10, 2) = 45
[3] comb(N, K) = comb(10, 3) = 120

Assim, a probabilidade de pelo menos K=3 números não serem escolhidos
seria: 120 * (21/45)^P = 120 * (21/45)^4 = 120 * 0.04742 = 5.6912 = 569.12%.

O que eu acho que está errado na solução de vocês é que não podemos
multiplicar por comb(N, K), pois ele irá "contar várias vezes o mesmo
caso". Por exemplo: Quando os números 1, 2 e 3 foram retirados da seleção,
a probabilidade parece ser (21/45)^4. Mas, nessas combinações, aconteceu o
caso em que o número 4 não foi escolhido também. Esse caso em que não
aparecem os números 1, 2, 3 e 4, também se repete quando os números
retirados são 1, 2 e 4, pois, em algum momento, o 3 não será escolhido.
Esse é só um caso de repetição dentre muitos. Concordam?

Abraços,
Salhab

2017-07-25 1:03 GMT-03:00 Bruno Visnadi :

> Bom, se tirar a parte que eu multiplico por N!/(K!*(N-K)!), acho que fica
> igual ao seu :)
>
> Realmente pelo enunciado não dá para saber se K é só a quantidade de
> números que sobram, ou se são K números específicos.
>
> Em 24 de julho de 2017 23:37, Pedro Angelo 
> escreveu:
>
>> Eu e o Bruno claramente entendemos o problema de forma diferente hehehe.
>> Eu tava achando que os K números não deviam ser escolhidos eram K números
>> pré-determinados (fixos). Eu entendi que "esses K números aqui não devem
>> ser escolhidos", enquanto o Bruno entendeu que "Retirando dos N números os
>> números que foram escolhidos, devem sobrar K números."
>> ​
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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