Re: [obm-l] Provar que m = n
Em qui, 23 de ago de 2018 às 20:26, Pedro José escreveu:
>
> Boa noite!
>
> Eu tinha caminhado em um caminho mais longo e empacado. Mas se pensasse em
> provar por absurdo teria chegado a solução.
>
> Se o produto dos divisores de dois números são iguais, os de divisores
> positivos também o são e vale o recíproco. Portanto só serãoconsiderados os
> positivos.
> Fatorando n, n= Produtório(1,j)pi^ai
> Fatorando m, m= Produtório (1,k)p'i^bi
> Como o produto dos divisores de m é igual ao produto dos divisores de n, como
> a fatoração é única, a menos da ordenação, temos que que k=j e pi=p'i (se
> ordenarmos de mesma forma os diversos p e p'.
> Nos divisores de n, o expoente de pi, poderá ser: 0, 1, 2, 3ai, então
> para cada pi há (ai+1) opções de expoentes.
> Portanto, no produto de todos os divisores de m o expoente do primo pi será:
> (1+2+3+...ai)* Produtório (1,k), q<>i (aq+1)
> Já nos de m, será: (1+2+3+...bi)* Produtório (1,k), q<>i (bq+1), como os
> expoentes de pi deverão ser iguais, pelo princípio da fatoração única.
> a1(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b1(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
> a2(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b2(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
> a3(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b3(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
> .
> .
> .
> ak(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = bk(b1+1)(b2+2)...(bk-1+1)(bk+1)
> O que levaria a ai/bi é constante para 0 Aí é só usar o princípio do absurdo. Só que havia empacado.
> Por isso questionara se a relação entre as soma dos termos de duas sequências
> é igual a relaçãode seus produtos, garantiriam que a sequências são iguais.
> Cheguei perto e morri na praia.
> Sendo um pouco ranheta, se não há restrições, não devemos criá-las. O fato de
> m e n serem positivos, não implica que seus divisores o sejam. Embora a
> restrição não interfira em nada a solução.
Sendo eu mesmo um tanto mais ranheta:
1 - O problema não sugere em momento algum que se tenha que levar em
conta divisores negativos. É uma interpretação bastante natural lidar
somente com os positivos, mesmo porque os divisores negativos são
simplesmente os positivos vezes (-1).
2 - Se "não devemos criar restrições", o que nos impede então de
tratar essa questão nos Inteiros de Gauss? O fato de que cada termo
primo da forma 4k+1 "refatora" em um produto de caras da forma
(a+bi)(a-bi)? Ou o fato de que temos que lidar com quatro unidades?
> Bela solução.
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 15:48, Pedro José escreveu:
>>
>> Boa tarde!
>>
>> Anderson Torres,
>>
>> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>>
>> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
>> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
>> n é par.
>> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
>> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
>> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
>> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
>> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
>> ND+(m) par.
>> Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
>> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
>> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
>> m/dj, que não foi contato, absurdo,
>> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
>> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
>> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
>> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
>> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
>> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
>> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>>
>> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
>> (-m)^(ND(m)/2).
>> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres
>> escreveu:
>>>
>>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>>> escreveu:
>>> >
>>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>>> >
>>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
>>> >
>>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de n.
>>> >
>>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m e
>>> > n, são iguais.
>>> >
>>> > Artur Costa Steiner
>>>
>>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>>
>>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>>
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de
Re: [obm-l] Provar que m = n
Boa noite!
Eu tinha caminhado em um caminho mais longo e empacado. Mas se pensasse em
provar por absurdo teria chegado a solução.
Se o produto dos divisores de dois números são iguais, os de divisores
positivos também o são e vale o recíproco. Portanto só serãoconsiderados os
positivos.
Fatorando n, n= Produtório(1,j)pi^ai
Fatorando m, m= Produtório (1,k)p'i^bi
Como o produto dos divisores de m é igual ao produto dos divisores de n,
como a fatoração é única, a menos da ordenação, temos que que k=j e pi=p'i
(se ordenarmos de mesma forma os diversos p e p'.
Nos divisores de n, o expoente de pi, poderá ser: 0, 1, 2, 3ai, então
para cada pi há (ai+1) opções de expoentes.
Portanto, no produto de todos os divisores de m o expoente do primo pi
será: (1+2+3+...ai)* Produtório (1,k), q<>i (aq+1)
Já nos de m, será: (1+2+3+...bi)* Produtório (1,k), q<>i (bq+1), como os
expoentes de pi deverão ser iguais, pelo princípio da fatoração única.
a1(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b1(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
a2(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b2(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
a3(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = b3(b1+1)(b2+1)...(bk-1+1)(bk+1)
.
.
.
ak(a1+1)(a2+1)...(ak-1+1)(ak+1) = bk(b1+1)(b2+2)...(bk-1+1)(bk+1)
O que levaria a ai/bi é constante para 0
escreveu:
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
> n é par.
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
>> n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m
>> e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Boa noite! É fato. Grato, PJMS. Em Qua, 22 de ago de 2018 23:00, Ralph Teixeira escreveu: > Acho que nao... Ah, se eu entendi corretamente, (3,6,9) e (3,5,12) seria > um contra-exemplo. > > Abraco, Ralph. > > > On Wed, Aug 22, 2018 at 8:06 PM Pedro José wrote: > >> Boa noite. >> >> Sejam duas sequências em ordem crescente com ai,bi >0 e k elementos ambas. >> se: >> (a1+a2+a3+...+ak)/(b1+b2+b3+...+bk)=a1a2a3a3...ak/(b1b2b3...bk) podemos >> dizer que >> ai=bi para 0> >> Grato, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Assista a esse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Cy3Vyl-jxpk Em qui, 23 de ago de 2018 às 14:09, Daniel Quevedo escreveu: > Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado! > > Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente >> considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até >> aquela data. >> >> Um bom ponto de partida pode ser este: >> https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping >> Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> 2018-08-23 9:57 GMT-03:00 Daniel Quevedo : >> >>> Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um >>> divisor de (a^2 + b^2). Sobre o número (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar >>> que é um quadrado perfeito: >>> A) se, e só se, a e b também o forem. >>> B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade >>> C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas >>> D) somente para um número finito de valores de a e b >>> E) sempre >>> >>> R: e >>> >> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações do 2 grau
Mas se a função auxiliar for g(x) = bx^2 + cx + a, também teremos f(0)*f(1) = a*(a+b+c) < 0 e, a partir daí, aplica-se o raciocínio do Matheus. Só que o discriminante de g é c^2 - 4ab > 0 ==> c^2 > 4ab ==> a alternativa C também está correta. Aliás, dava pra ver isso com base no papel simétrico desempenhado por b e c na expressão do enunciado. Ou seja, a questão deveria ter sido anulada. On Mon, Aug 20, 2018 at 10:09 AM Matheus Secco wrote: > Para a primeira, supondo a, b, c reais, considere a função quadrática f(x) > = cx² + bx + a e veja que a^2+ab+ac = a(a+b+c) = f(0) * f(1). > Do enunciado, tem-se f(0) * f(1) < 0 e isso significa que a função possui > exatamente 1 raiz entre 0 e 1. Por se tratar de uma função quadrática, deve > ter outra raiz real, que está fora do intervalo (0,1). Com isso, possui > duas raízes reais distintas e então o discriminante b² - 4ac é positivo: > b²> 4ac. > > On Sun, Aug 19, 2018 at 6:21 PM Daniel Quevedo > wrote: > >> 1) Se a^2 +ab + ac < 0, então: >> A) a^2 > 4ab >> B) b^2 > 4ac >> C) c^2 > 4ab >> D) a^2 = 4b >> E) b^2 = 4ac >> >> R: B >> >> 2) sendo a, b e c inteiros ímpares, sobre as raizes da equação ax^2 + bx >> + c = 0 podemos afirmar que: >> A) são inteiros ímpares >> B) são inteiros pares >> C) não são racionais >> D) são racionais não inteiras >> E) não são reais >> >> R: C >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado! Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente > considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até > aquela data. > > Um bom ponto de partida pode ser este: > https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping > Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html > > []s, > Claudio. > > > > 2018-08-23 9:57 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > >> Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um >> divisor de (a^2 + b^2). Sobre o número (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar >> que é um quadrado perfeito: >> A) se, e só se, a e b também o forem. >> B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade >> C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas >> D) somente para um número finito de valores de a e b >> E) sempre >> >> R: e >> > -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> > >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações do 2 grau
On Thu, Aug 23, 2018 at 10:29 AM Artur Steiner wrote: > É, inverter a ordem dos coeficientes foi genial. E dá para fazer ao contrário também: a^2 + ab + ac < 0 quer dizer que f(a) < 0, com f(x) = x^2 + bx + ac. Isso novamente implica que a equação f(x) = 0 tem duas soluções, logo o discriminante é < 0, o que dá b^2 > 4ac. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Provar que m = n
> O problema se refere a divisores positivos. Mas se provarmos para este
> caso, fica também provado se incluirmos os negativos.
>
> No caso 1 do problema original, vemos que a igualdade do produto dos
> divisores implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os
> mesmos primos p1, pk. Estes primos são também os que aparecem nas
> fatorações dos produtos dos divisores de m e de n. Sendo ai e bi, i = 1 ...
> k os expoentes das fatorações de m e de n, temos que
>
> m = pi^a1 ... pk^a^k
> n = p1^b1 pk^bk
>
> Sendo Dm o número de divisores de m e Dn o de n, temos que
>
> m^{Dm/2) = n^(Dn/2) ===> m^Dm = n^Dn
>
> Assim, basta mostrar que Dm = Dn.
>
> A igualdade dos produtos dos divisores leva, pela equação acima e pelo
> teorema fundamental da aritmética, a que,
>
> ai/bi = Dn/Dm i = 1, ...k. (1)
>
> Temos ainda que
>
> Dm = (1 + a1) . (1 + ak) (2)
> Dn= (1 + b1) . (1 + bk) (3)
>
> Se Dm <> Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn.
> Logo, Dn/Dm < 1, o que, em virtude de (1), leva a que ai < bi, i = 1, ...
> k.Mas em virtude de (2) e de (3), isto implica que Dm < Dn, contradição.
> Assim, Dm = Dn e, portanto, m = n.
>
> No caso 2 do problema, vemos que o produto dos duvisores positivos de m,
> excluindo o próprio m, é (m^Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade
> citada no enunciado leva a que
>
> m^(Dm - 2) = m^(Dn - 2). Novamente, basta provar que Dm = Dn. Prosseguindo
> como no caso anterior com Dm - 2 no lugar de Dm e Dn - 2 no lugar de Dn,
> concluimos que m = n.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 22 de ago de 2018 21:59, "Anderson Torres" <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José
> escreveu:
> >
> > Boa tarde!
> >
> > Anderson Torres,
> >
> > Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
> >
> > Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto
> de divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos
> que n é par.
>
> Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor
> que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos.
> Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação".
>
>
> > Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número
> de divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> > Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1)
> é ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> > Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
> > Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> > Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> > Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> > Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e
> negativos, pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então
> ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2),
> como proposto por você.
> > Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
> >
> > Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> > Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
> >
> > Saudações,
> > PJMS.
> >
> > Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
> >> escreveu:
> >> >
> >> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
> >> >
> >> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m =
> n.
> >> >
> >> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores
> de n.
> >> >
> >> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se
> m e n, são iguais.
> >> >
> >> > Artur Costa Steiner
> >>
> >> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
> >> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
> >>
> >> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
> >>
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de an
[obm-l] Fwd: Exercício: a^b racional com a,b irracionais (terceira solução)
Bem, vou então postar uma solução motivada: Queremos q=a^b racional com a,b irracionais. Podemos começar com um número conhecido, a=3^(1/3), a raiz cúbica de 3. (Não, nenhuma razão especial para esse, só para mostrar alguma generalidade; isso também vai funcionar com a raiz quadrada de dois...) Assim, q=a^b=(3^(1/3))^b = (3^b)^(1/3). Ou equivalentemente q^3=3^b. Aplica log dos dois lados: 3 log q = b log 3 b = 3 * (log q)/(log 3) Basta escolher um q tal que esse b seja irracional. Por exemplo, q=10. Não é muito difícil mostrar que o b resultante disso é irracional, certo? Com isso, a=3^(1/3), b=3 * (log 10)/(log 3) e a^b=10. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Equação diferencial ordinária
Eu tenho uma prova matemática, um tanto complicada. Se y se anular um número finito de vezes, existe então a tal que y não se anula em [a, oo). Como y é contínua, y é, neste intervalo, positiva ou negativa. Para facilitar a leitura, deste ponto em diante os termos postivo e negativo sempre se referirão a [a, oo), Suponhamos y seja negativa. Como g é positiva, a EDO implica que y'' seja positiva, o que, a seu turno, implica que y' seja estritamente crescente. Se y' assumir algum valor não negativo, então lim x --> oo y'(x) > 0, disto decorrendo que y(x) vá para oo com x, contrariamente à hipótese de que y é negativa. Assim, y' é negativa e y é estritamente decrescente. e negativa. Sendo w > 0 o ínfimo de g em R, para x em [a, oo) temos g(x) y(x) < d y(a) < 0. Pela EDO, segue-se que y''(x) > - d y(a) > 0 em [a, oo), logo o ínfimo de y'' neste intervalo é postivo. Como consequência, y' vai para oo com x, novamente uma contradição. Concluimos assim que a hipótese de que y seja negativa em [a, oo) é insustentável. Mas se y for positiva, então -y é uma solução da EDO negativa em [a, oo), o que vimos ser impossível. Vemos assim que a hipótese de que y se anule em R um número finito de vezes leva a contradição, sendo portanto falsa. Se y for o deslocamento da massa presa a uma mola com k variável e x for o tempo, então fica matematicamente provado que a massa vai passar pela origem infinitas vezes (desprezando atrito com o solo e resistência do ar) Artur Costa Steiner Em 19 de ago de 2018 14:21, "Artur Steiner" escreveu: Seja g de R em R contínua e com ínfimo em R positivo. Mostre que toda solução da EDO y'' + gy = 0 tem uma infinidade de zeros em R. Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até aquela data. Um bom ponto de partida pode ser este: https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html []s, Claudio. 2018-08-23 9:57 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um divisor > de (a^2 + b^2). Sobre o número (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar que é um > quadrado perfeito: > A) se, e só se, a e b também o forem. > B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade > C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas > D) somente para um número finito de valores de a e b > E) sempre > > R: e > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equações do 2 grau
É, inverter a ordem dos coeficientes foi genial. Artur Costa Steiner Em seg, 20 de ago de 2018 13:58, Daniel Quevedo escreveu: > D fato o enunciado é só isso, o q tbm achei incompleto... mas a solução do > Matheus foi fantástica, parabéns!!! > > Em seg, 20 de ago de 2018 às 11:25, Matheus Secco > escreveu: > >> Na verdade, foi construída essa função auxiliar para reinterpretar os >> dados do problema de outra maneira que fosse útil. >> >> Em seg, 20 de ago de 2018 11:01, Alexandre Antunes < >> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu: >> >>> Bom dia, >>> >>> Mas o enunciado de 1a não estaria incompleto? >>> - o que diz que a expressão é relativa a uma equação (ou função) do 2° >>> grau? >>> - E se a função suposta for outra? >>> >>> Em Seg, 20 de ago de 2018 10:09, Matheus Secco >>> escreveu: >>> Para a primeira, supondo a, b, c reais, considere a função quadrática f(x) = cx² + bx + a e veja que a^2+ab+ac = a(a+b+c) = f(0) * f(1). Do enunciado, tem-se f(0) * f(1) < 0 e isso significa que a função possui exatamente 1 raiz entre 0 e 1. Por se tratar de uma função quadrática, deve ter outra raiz real, que está fora do intervalo (0,1). Com isso, possui duas raízes reais distintas e então o discriminante b² - 4ac é positivo: b²> 4ac. On Sun, Aug 19, 2018 at 6:21 PM Daniel Quevedo wrote: > 1) Se a^2 +ab + ac < 0, então: > A) a^2 > 4ab > B) b^2 > 4ac > C) c^2 > 4ab > D) a^2 = 4b > E) b^2 = 4ac > > R: B > > 2) sendo a, b e c inteiros ímpares, sobre as raizes da equação ax^2 + > bx + c = 0 podemos afirmar que: > A) são inteiros ímpares > B) são inteiros pares > C) não são racionais > D) são racionais não inteiras > E) não são reais > > R: C > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar que m = n
Usualmente (por exemplo, em todos os livros de teoria dos números que eu
conheço), quando falamos em número de divisores de um número, estamos
falando apenas dos divisores positivos.
Se 1 = d_1 < ... < d_r = n (r = ND(m)) são os divisores (positivos) de m,
então:
d_1 * ... * d_r = (m/d_1)*...*(m/d_r) ==> (d_1 * ... * d_r)^2 = m^r ==> d_1
* ... * d_r = m^(r/2) = m^(N(D(m)/2).
***
Agora, sejam m e n inteiros positivos tais que m^ND(m) = n^ND(n).
Então m e n têm os mesmos fatores primos (pelo TFA) e podemos escrever:
m = p_1^x_1 * ... * p_k^x_k
e
n = p_1^y_1 * ... * p_k^y_k.
m^ND(m) = n^ND(n) ==>
para cada j (1<=j<=k), x_j*ND(m) = y_j*ND(n) ==>
x_j/y_j = ND(n)/ND(m) = constante (para m e n dados)
Se, para algum i (1<=i<=k), x_i < y_i (digamos), então para todo j
(1<=j<=k), valerá x_j < y_j, já que x_j/y_j é constante, independentemente
de j.
Logo,
m = p_1^x_1*...*p_k^x^k < p_1^y_1*...*p_k^y_k = n
e
ND(m) =(1+x_1)*...*(1+x_k) < (1+y_1)*...(1+y_k) = ND(n),
e, portanto,
m^ND(m) < n^ND(n) ==> contradição.
Da mesma forma, eliminamos a hipótese de que x_i > y_i para algum i
(1<=i<=k).
Logo, só pode ser x_j = y_j para 1<=j<=k e, portanto, m = n.
Não tentei, mas imagino que o item (2) possa ser demonstrado de forma
análoga.
[]s,
Claudio.
On Wed, Aug 22, 2018 at 4:02 PM Pedro José wrote:
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
> divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
> n é par.
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número de
> divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
> ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
> pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m = n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
>> n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se m
>> e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria dos números
Sejam a e b inteiros estritamente positivos tais que (ab + 1) é um divisor de (a^2 + b^2). Sobre o número (a^2 +b^2)/(ab +1) podemos afirmar que é um quadrado perfeito: A) se, e só se, a e b também o forem. B) se, e só se, a e b tiverem acreana paridade C) se, e só se, a e b tiverem paridades distintas D) somente para um número finito de valores de a e b E) sempre R: e -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Provar que m = n
Uma correçâo: Dm e Dn são o número de divisores de m e de n, não o produto;
claro.
Artur Costa Steiner
Em qui, 23 de ago de 2018 06:12, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
> O problema se refere a divisores positivos. Mas se provarmos para este
> caso, fica também provado se incluirmos os negativos.
>
> No caso 1 do problema original, vemos que a igualdade do produto dos
> divisores implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os
> mesmos primos p1, pk. Estes primos são também os que aparecem nas
> fatorações dos produtos dos divisores de m e de n. Sendo ai e bi, i = 1 ...
> k os expoentes das fatorações de m e de n, temos que
>
> m = pi^a1 ... pk^a^k
> n = p1^b1 pk^bk
>
> Sendo Dm o produto dos divisores de m e Dn os de n, temos que
>
> m^{Dm/2) = n^(Dn/2) ===> m^Dm = n^Dn
>
> Assim, basta mostrar que Dm = Dn.
>
> A igualdade dos produtos dos divisores leva, pela equação acima e pelo
> teorema fundamental da aritmética, a que,
>
> ai/bi = Dn/Dm i = 1, ...k. (1)
>
> Temos ainda que
>
> Dm = (1 + a1) . (1 + ak) (2)
> Dn= (1 + b1) . (1 + bk) (3)
>
> Se Dm <> Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn.
> Logo, Dn/Dm < 1, o que, em virtude de (1), leva a que ai < bi, i = 1, ...
> k.Mas em virtude de (2) e de (3), isto implica que Dm < Dn, contradição.
> Assim, Dm = Dn e, portanto, m = n.
>
> No caso 2 do problema, vemos que o produto dos duvisores positivos de m,
> excluindo o próprio m, é (m^Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade
> citada no enunciado leva a que
>
> m^(Dm - 2) = m^(Dn - 2). Novamente, basta provar que Dm = Dn. Prosseguindo
> como no caso anterior com Dm - 2 no lugar de Dm e Dn - 2 no lugar de Dn,
> concluimos que m = n.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 22 de ago de 2018 21:59, "Anderson Torres" <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José
> escreveu:
> >
> > Boa tarde!
> >
> > Anderson Torres,
> >
> > Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
> >
> > Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto
> de divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos
> que n é par.
>
> Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor
> que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos.
> Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação".
>
>
> > Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número
> de divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> > Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1)
> é ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
> pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
> ND+(m) par.
> > Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
> > Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
> todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
> m/dj, que não foi contato, absurdo,
> > Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> > Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
> divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> > Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e
> negativos, pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então
> ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==> O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2),
> como proposto por você.
> > Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
> >
> > Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
> (-m)^(ND(m)/2).
> > Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
> >
> > Saudações,
> > PJMS.
> >
> > Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
> >> escreveu:
> >> >
> >> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
> >> >
> >> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m =
> n.
> >> >
> >> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores
> de n.
> >> >
> >> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se
> m e n, são iguais.
> >> >
> >> > Artur Costa Steiner
> >>
> >> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
> >> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
> >>
> >> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
> >>
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> ==
Re: [obm-l] Provar que m = n
O problema se refere a divisores positivos. Mas se provarmos para este
caso, fica também provado se incluirmos os negativos.
No caso 1 do problema original, vemos que a igualdade do produto dos
divisores implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os
mesmos primos p1, pk. Estes primos são também os que aparecem nas
fatorações dos produtos dos divisores de m e de n. Sendo ai e bi, i = 1 ...
k os expoentes das fatorações de m e de n, temos que
m = pi^a1 ... pk^a^k
n = p1^b1 pk^bk
Sendo Dm o produto dos divisores de m e Dn os de n, temos que
m^{Dm/2) = n^(Dn/2) ===> m^Dm = n^Dn
Assim, basta mostrar que Dm = Dn.
A igualdade dos produtos dos divisores leva, pela equação acima e pelo
teorema fundamental da aritmética, a que,
ai/bi = Dn/Dm i = 1, ...k. (1)
Temos ainda que
Dm = (1 + a1) . (1 + ak) (2)
Dn= (1 + b1) . (1 + bk) (3)
Se Dm <> Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm > Dn. Logo,
Dn/Dm < 1, o que, em virtude de (1), leva a que ai < bi, i = 1, ... k.Mas
em virtude de (2) e de (3), isto implica que Dm < Dn, contradição. Assim,
Dm = Dn e, portanto, m = n.
No caso 2 do problema, vemos que o produto dos duvisores positivos de m,
excluindo o próprio m, é (m^Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade
citada no enunciado leva a que
m^(Dm - 2) = m^(Dn - 2). Novamente, basta provar que Dm = Dn. Prosseguindo
como no caso anterior com Dm - 2 no lugar de Dm e Dn - 2 no lugar de Dn,
concluimos que m = n.
Artur Costa Steiner
Em 22 de ago de 2018 21:59, "Anderson Torres"
escreveu:
Em qua, 22 de ago de 2018 às 16:02, Pedro José
escreveu:
>
> Boa tarde!
>
> Anderson Torres,
>
> Sua conjectura só vale se o número não é quadrado perfeito.
>
> Seja D= {-d1, -d2,-d3...,-dn-1, -dn, d1,d2, d3,...,dn-1,dn} o conjunto de
divisores de um número m, que não seja quadrado perfeito. Então teremos que
n é par.
Mas o problema fala de inteiros positivos. Não tenho razões para supor
que se tratam de todos os divisores inteiros, incluindo os negativos.
Mesmo porque multiplicação por unidade "não acrescenta informação".
> Se m= Produtório(i,k) pi^ai, com pi primo, ou seja, fatoração. O número
de divisores positivos será ND+(m)=Produtório(i,k) (ai+1).
> Portanto, se for um quadrado perfeito todos ai são pares e então (ai+1) é
ímpar sempre e ND+(m) será ímpar. Caso não seja quadrado perfeito, haverá
pelo menos um ai ímpar e portanto, pelo menos um (ai+1) par, que garantirá
ND+(m) par.
> Se diraiz(m) de modo que di.dj=m.
> Então quando você percorrer todos os di < raiz(m) você também percorrerá
todos os dj> raiz(m). Pois, se sobrar um dj> raiz(m) teríamos ainda um di=
m/dj, que não foi contato, absurdo,
> Portanto o produto de todos os divisores positivos dá m^(ND+(m)/2)
> Usando o mesmo conceito para os negativos teremos o produto de todos
divisores negativos = m^(ND-(m)/2)
> Existe uma bijeção entre os conjuntos de divisores positivos e negativos,
pois se d é divisor de m -d é divisor de m, então ND-(m)=ND+(m)=ND(m)/2 ==>
O produto de todos os divisores dará m^(ND(m)/2), como proposto por você.
> Não obstante se m for um quadrado perfeito, dará -m^(ND(m)/2),
>
> Então o resultado coreto para o produto de todos os divisores de m é
(-m)^(ND(m)/2).
> Mas acho pouco ainda para provar o proposto no problema original.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em qua, 22 de ago de 2018 às 00:41, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>> Em dom, 19 de ago de 2018 às 19:17, Artur Steiner
>> escreveu:
>> >
>> > Acho este interessante. Gostaria de ver a solução dos colegas.
>> >
>> > Sendo m e n inteiros positivos, tanto (1) quanto (2) implicam que m =
n.
>> >
>> > (1) O produto dos divisores de m iguala-se ao produto dos divisores de
n.
>> >
>> > (2) m e n são compostos e os produtos de seus divisores, excluindo-se
m e n, são iguais.
>> >
>> > Artur Costa Steiner
>>
>> Fato de alguma importância: se ND(n) é o número de divisores de n,
>> então o produto dos divisores é n^(ND(n)/2).
>>
>> Agora, como provar que isso aí é bijetivo, tá difisso.
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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