[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Já foi respondia de duas formas aqui.
https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg50069.html
Em sex, 13 de mar de 2020 19:36, Daniel Jelin
escreveu:
> Uma solução, braçal:
>
> 1) Começamos com 3 ingleses. Há 35 maneiras de colocar outros 6 cidadãos,
> indistintamente, de modo a garantir que 2 deles estejam separando os três
> ingleses: é uma combinação com repetição para escolher, entre 4
> possibilidades, a posição de 4 indivíduos, ou seja, CR4,4 = C7,4 = 35.
> Ilustrando os ingleses por um traço, são essas as maneiras:
>
> 0-1-1-4
> 0-1-2-3
> 0-1-3-2
> 0-1-4-1
> 0-1-5-0
> 0-2-1-3
> 0-2-2-2
> 0-2-3-1
> 0-2-4-0
> 0-3-1-2
> 0-3-2-1
> 0-3-3-0
> 0-4-1-1
> 0-4-2-0
> 0-5-1-0
> 1-1-1-3
> 1-1-2-2
> 1-1-3-1
> 1-1-4-0
> 1-2-1-1
> 1-2-2-1
> 1-2-3-0
> 1-3-1-1
> 1-3-2-0
> 1-4-1-0
> 2-1-1-2
> 2-1-2-1
> 2-1-3-0
> 2-2-1-1
> 2-2-2-0
> 2-3-1-0
> 3-1-1-1
> 3-1-2-0
> 4-1-1-0
>
> 2) Para cada uma das 35 maneiras acima, há um certo número de maneiras de
> posicionar franceses (sem fazer distinção entre os franceses) e turcos (sem
> fazer distinção entre os turcos):
>
> Para o caso '0-1-1-4', por exemplo, temos o seguinte: 2 possibilidades
> para colocar 4 cidadãos no fim da fila, de modo a manter separados
> franceses e turcos ('francês-turco-francês-turco' ou
> 'turco-francês-turco-francês'); e 2 possibilidades para escolher a posição
> do terceiro cidadão turco e do terceiro cidadão francês; ou seja, 2 x 2 = 4
> possibilidades; Evidentemente, também são 4 as possibilidades para os casos
> '1-4-1-0', '4-1-1-0', '0-1-4-1', '0-4-1-1', '1-1-4-0'. Total: 6 x 4 = 24
> possibilidades.
>
> Para '0-1-2-3', temos o seguinte: 2 possibilidades para colocar 3 cidadãos
> no fim da fila ('francês-turco-francês' ou 'turco-francês-turco'); 2
> possibilidades para colocar 2 cidadãos juntos ('francês-turco' ou
> 'turco-francês') e uma possibilidade para colocar o turco ou francês que
> sobrou. ou seja, 4 possibilidades. Como são doze os casos análogos
> ('1-3-2-0', '0-3-2-1', '2-1-3-0' etc.), temos 48 possibilidades.
>
> E assim por diante:
>
> Para '0-1-5-0', são 2 possibilidades e dois casos análogos ('0-1-5-0' e
> '0-5-1-0'), então são 4 possibilidades.
>
> Para '0-3-3-0', são 2 possibilidades - e o caso é único.
>
> Para '0-2-2-2', são 8 possibilidades; há duas variações ('0-2-2-2' e
> '2-2-2-0'), total: 16 possibilidades
>
> Para '0-4-2-0', são 4 possibilidades; há duas variações ('0-4-2-0' e
> '0-2-4-0'), total: 8 possiblidades
>
> Para '1-1-1-3', são 6 possibilidades, há quatro variações ('1-1-1-3',
> '1-1-3-1', '1-3-1-1' e '3-1-1-1'), total: 24 possibilidades
>
> Para '1-1-2-2', são 8 possibilidades, há 6 variações ('1-1-2-2',
> '1-2-2-1', '2-1-1-2', '2-2-1-1', '2-1-2-1' e '1-2-1-2'), total de 48
> possibilidades.
>
> 3) Somando todas as possibilidades, temos 24+48+4+2+16+8+24+48=174
> possibilidades.
>
> 4) Agora vamos permutar os três ingleses (6 possibilidades), os três
> turcos (6 possibilidades) e os três franceses (6 possibilidades). Total:
> 216 possibilidades
>
> 5) Então temos 174 * 216 = 37584 possibilidades
>
> On Fri, Mar 13, 2020 at 9:22 AM Vanderlei Nemitz
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> Não sei se minha mensagem chegou para vocês.
>> Por via das dúvidas, te encaminho.
>>
>> Alguém tem uma ideia para esse problema?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3
>> turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
>>
>>
>> A resposta é 37584.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria dos números
Dado n natural verifique se a expressão (n − 2)² (n − 1)²n² (n + 1)² (4n²− 4n − 9)/8140 é um número inteiro -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz
O método de encontrar o determinante de uma matriz (1x1) 2x2 e 3x3 são bem semelhantes, posso adotar o mesmo método, somar os produtos das diagonais principais e subtrair dos produtos das diagonais secundárias, para raízes com ordem acima de 4, mesmo que seja muito trabalhoso? Atenciosamente, Maikel Andril Marcelino Assistente de Aluno Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus São Paulo do Potengi (84) 9-9149-8991 (Contato) (84) 8851-3451 (WhatsApp) De: Maikel Andril Marcelino Enviado: sexta-feira, 13 de março de 2020 19:25 Para: OBM-L Assunto: Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz Na universidade é que eu vim aprender de verdade. Ralph, perdão, mas não li seu e-mail. Há muito tempo não estudo Álgebra Linear. * O determinante é um número que representa cada matriz. * O determinante da matriz identidade é 1. * Caso a matriz seja diferente da identidade, "adote" o determinante dela como 1. * Escalone a matriz, de forma completa, que deseja descobrir o determinante, nada acontecerá quando forem somadas as (linhas e colunas). * Se, durante o escalonamento, você multiplicar por qualquer (linha\coluna) por um número real, o determinante será multiplicado pelo inverso desse número. Só salientando, para não haver confusão, caso você divida uma linha/coluna por algum número real (e diferente de 0), você deve multiplicar o determinante pelo mesmo número. Obs.: Estudei AL em 2009, se alguém lembrar de algum ponto que eu não abordei, favor responder esse e-mail, ao grupo todo. Atenciosamente, Maikel Andril Marcelino Assistente de Aluno Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus São Paulo do Potengi (84) 9-9149-8991 (Contato) (84) 8851-3451 (WhatsApp) De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de Luiz Antonio Rodrigues Enviado: sexta-feira, 13 de março de 2020 18:15 Para: OBM-L Assunto: Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz Olá, Ralph! Tudo bem? Eu achei fantástica esta abordagem! Sim, ficou mais natural assim! E tudo ficou muito claro. Nunca havia pensado desta forma. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira mailto:ralp...@gmail.com>> escreveu: Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA 1a. Caso 2x2. Ao resolver o sistema linear: ax+by=A cx+dy=B voce obtem **tentativamente** x=(Ad-Bb)/(ad-bc) y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu devia ter dito o seguinte: i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em cima; ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ [a,b;c,d]. 1b. Caso nxn. Ao resolver o sistema linear Mx=b onde M eh uma matriz nxn, x eh um vetor (incognita) nx1 e b eh um vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem uma expressao feiosa quando n eh grande... Em suma: o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem solucao unica ou nao (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao relevantes Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) ---///--- Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais geometrico! 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA 2a. Caso 2x2. Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). Qual a area deste paralelogramo? Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir uma especie de "area com sinal" dada por: AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? Ok, feito! (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita Mas deixa eu ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. 2b. Caso 3x3. Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o
Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz
Na universidade é que eu vim aprender de verdade. Ralph, perdão, mas não li seu e-mail. Há muito tempo não estudo Álgebra Linear. * O determinante é um número que representa cada matriz. * O determinante da matriz identidade é 1. * Caso a matriz seja diferente da identidade, "adote" o determinante dela como 1. * Escalone a matriz, de forma completa, que deseja descobrir o determinante, nada acontecerá quando forem somadas as (linhas e colunas). * Se, durante o escalonamento, você multiplicar por qualquer (linha\coluna) por um número real, o determinante será multiplicado pelo inverso desse número. Só salientando, para não haver confusão, caso você divida uma linha/coluna por algum número real (e diferente de 0), você deve multiplicar o determinante pelo mesmo número. Obs.: Estudei AL em 2009, se alguém lembrar de algum ponto que eu não abordei, favor responder esse e-mail, ao grupo todo. Atenciosamente, Maikel Andril Marcelino Assistente de Aluno Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP Instituto Federal do Rio Grande do Norte Campus São Paulo do Potengi (84) 9-9149-8991 (Contato) (84) 8851-3451 (WhatsApp) De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de Luiz Antonio Rodrigues Enviado: sexta-feira, 13 de março de 2020 18:15 Para: OBM-L Assunto: Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz Olá, Ralph! Tudo bem? Eu achei fantástica esta abordagem! Sim, ficou mais natural assim! E tudo ficou muito claro. Nunca havia pensado desta forma. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira mailto:ralp...@gmail.com>> escreveu: Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA 1a. Caso 2x2. Ao resolver o sistema linear: ax+by=A cx+dy=B voce obtem **tentativamente** x=(Ad-Bb)/(ad-bc) y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu devia ter dito o seguinte: i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em cima; ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ [a,b;c,d]. 1b. Caso nxn. Ao resolver o sistema linear Mx=b onde M eh uma matriz nxn, x eh um vetor (incognita) nx1 e b eh um vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem uma expressao feiosa quando n eh grande... Em suma: o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem solucao unica ou nao (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao relevantes Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) ---///--- Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais geometrico! 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA 2a. Caso 2x2. Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). Qual a area deste paralelogramo? Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir uma especie de "area com sinal" dada por: AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? Ok, feito! (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita Mas deixa eu ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. 2b. Caso 3x3. Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim: det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 vetores = volume (P) (com sinal) como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de uma matriz... 2n. Caso nxn Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa "orientacao"
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Uma solução, braçal:
1) Começamos com 3 ingleses. Há 35 maneiras de colocar outros 6 cidadãos,
indistintamente, de modo a garantir que 2 deles estejam separando os três
ingleses: é uma combinação com repetição para escolher, entre 4
possibilidades, a posição de 4 indivíduos, ou seja, CR4,4 = C7,4 = 35.
Ilustrando os ingleses por um traço, são essas as maneiras:
0-1-1-4
0-1-2-3
0-1-3-2
0-1-4-1
0-1-5-0
0-2-1-3
0-2-2-2
0-2-3-1
0-2-4-0
0-3-1-2
0-3-2-1
0-3-3-0
0-4-1-1
0-4-2-0
0-5-1-0
1-1-1-3
1-1-2-2
1-1-3-1
1-1-4-0
1-2-1-1
1-2-2-1
1-2-3-0
1-3-1-1
1-3-2-0
1-4-1-0
2-1-1-2
2-1-2-1
2-1-3-0
2-2-1-1
2-2-2-0
2-3-1-0
3-1-1-1
3-1-2-0
4-1-1-0
2) Para cada uma das 35 maneiras acima, há um certo número de maneiras de
posicionar franceses (sem fazer distinção entre os franceses) e turcos (sem
fazer distinção entre os turcos):
Para o caso '0-1-1-4', por exemplo, temos o seguinte: 2 possibilidades para
colocar 4 cidadãos no fim da fila, de modo a manter separados franceses e
turcos ('francês-turco-francês-turco' ou 'turco-francês-turco-francês'); e
2 possibilidades para escolher a posição do terceiro cidadão turco e do
terceiro cidadão francês; ou seja, 2 x 2 = 4 possibilidades; Evidentemente,
também são 4 as possibilidades para os casos '1-4-1-0', '4-1-1-0',
'0-1-4-1', '0-4-1-1', '1-1-4-0'. Total: 6 x 4 = 24 possibilidades.
Para '0-1-2-3', temos o seguinte: 2 possibilidades para colocar 3 cidadãos
no fim da fila ('francês-turco-francês' ou 'turco-francês-turco'); 2
possibilidades para colocar 2 cidadãos juntos ('francês-turco' ou
'turco-francês') e uma possibilidade para colocar o turco ou francês que
sobrou. ou seja, 4 possibilidades. Como são doze os casos análogos
('1-3-2-0', '0-3-2-1', '2-1-3-0' etc.), temos 48 possibilidades.
E assim por diante:
Para '0-1-5-0', são 2 possibilidades e dois casos análogos ('0-1-5-0' e
'0-5-1-0'), então são 4 possibilidades.
Para '0-3-3-0', são 2 possibilidades - e o caso é único.
Para '0-2-2-2', são 8 possibilidades; há duas variações ('0-2-2-2' e
'2-2-2-0'), total: 16 possibilidades
Para '0-4-2-0', são 4 possibilidades; há duas variações ('0-4-2-0' e
'0-2-4-0'), total: 8 possiblidades
Para '1-1-1-3', são 6 possibilidades, há quatro variações ('1-1-1-3',
'1-1-3-1', '1-3-1-1' e '3-1-1-1'), total: 24 possibilidades
Para '1-1-2-2', são 8 possibilidades, há 6 variações ('1-1-2-2', '1-2-2-1',
'2-1-1-2', '2-2-1-1', '2-1-2-1' e '1-2-1-2'), total de 48 possibilidades.
3) Somando todas as possibilidades, temos 24+48+4+2+16+8+24+48=174
possibilidades.
4) Agora vamos permutar os três ingleses (6 possibilidades), os três turcos
(6 possibilidades) e os três franceses (6 possibilidades). Total: 216
possibilidades
5) Então temos 174 * 216 = 37584 possibilidades
On Fri, Mar 13, 2020 at 9:22 AM Vanderlei Nemitz
wrote:
> Bom dia!
> Não sei se minha mensagem chegou para vocês.
> Por via das dúvidas, te encaminho.
>
> Alguém tem uma ideia para esse problema?
>
> Muito obrigado!
>
> De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3
> turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
>
>
> A resposta é 37584.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz
Olá, Ralph! Tudo bem? Eu achei fantástica esta abordagem! Sim, ficou mais natural assim! E tudo ficou muito claro. Nunca havia pensado desta forma. Muito obrigado! Abraços! Luiz Em sex, 13 de mar de 2020 5:53 PM, Ralph Teixeira escreveu: > Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um > conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. > > Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: > > 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA > 1a. Caso 2x2. > Ao resolver o sistema linear: > ax+by=A > cx+dy=B > voce obtem **tentativamente** > x=(Ad-Bb)/(ad-bc) > y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) > > Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu > devia ter dito o seguinte: > > i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em > cima; > ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai > ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. > > Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma > unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz > sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos > DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, > vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do > sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ > [a,b;c,d]. > > 1b. Caso nxn. > Ao resolver o sistema linear > Mx=b > onde M eh uma matriz nxn, x eh um vetor (incognita) nx1 e b eh um > vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa > quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO > vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem > uma expressao feiosa quando n eh grande... > > Em suma: o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem > solucao unica ou nao > > (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao > relevantes Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) > > ---///--- > Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais > geometrico! > > 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA > 2a. Caso 2x2. > Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). > Qual a area deste paralelogramo? > > Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo > disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir > uma especie de "area com sinal" dada por: > > AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc > > Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? > Ok, feito! > > (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita Mas deixa eu > ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) > > Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do > paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. > > 2b. Caso 3x3. > Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores > v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, > v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde > da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim: > > det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 > vetores = volume (P) (com sinal) > > como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de > uma matriz... > > 2n. Caso nxn > Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da > matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do > paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal > que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa > "orientacao" deixo para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse > determinante). > > Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das > propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem > paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 -- > ou seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante > eh 0. > > Abraco, Ralph. > > On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues < > rodrigue...@gmail.com> wrote: > >> Olá, pessoal! >> Tudo bem? >> Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do >> determinante de uma matriz. >> Livros, professores, internet... >> Não adianta... >> Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... >> E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... >> Parece maluquice. >> Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? >> Muito obrigado! >> Abraços! >> Luiz >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Determinante de uma Matriz
Sim, determinante eh algo um pouco "estranho" sim inicialmente, nao eh um conceito tao natural quanto outros que se apresentam no ensino medio. Mas dou aqui algumas dicas de como pensar nele inicialmente: 1. UMA ABORDAGEM ALGEBRICA 1a. Caso 2x2. Ao resolver o sistema linear: ax+by=A cx+dy=B voce obtem **tentativamente** x=(Ad-Bb)/(ad-bc) y=(-Ac+Ba)/(ad-bc) Digo "tentativamente" pois, se ad-bc=0, o que eu escrevi estah errado. Eu devia ter dito o seguinte: i) Se ad-bc<>0, entao a unica solucao do sistema eh aquele x e y ali em cima; ii) Se ad-bc=0... bom, depende dos outros caras, mas em suma o sistema vai ser IMPOSSIVEL ou INDETERMINADO. Em suma, o valor (0 ou nao 0) de ad-bc diz sozinho se o sistema tem uma unica solucao ou nao. Compare isso com o b^2-4ac da quadratica, que diz sozinho quantas raizes a quadratica tem! Da mesma forma que chamamos DELTA=b^2-4ac e analisamos esse cara para entender melhor a quadratica, vamos chamar det([a,b;c,d])=ad-bc, uma especie de "discriminante" do sistema linear... Ok, mas o nome oficial eh DETERMINANTE da MATRIZ [a,b;c,d]. 1b. Caso nxn. Ao resolver o sistema linear Mx=b onde M eh uma matriz nxn, x eh um vetor (incognita) nx1 e b eh um vetor (dado) nx1, nota-se que este sistema tem raiz unica quando uma certa quantidade (que depende apenas de M, nao de b -- surpreendente, nao?) NAO vale 0. Esta quantidade eh o DETERMINANTE da matriz M, e infelizmente tem uma expressao feiosa quando n eh grande... Em suma: o determinante de uma matriz M diz se o sistema Mx=b tem solucao unica ou nao (Agora eu teria que convencer voce que sistemas lineares sao relevantes Bom, deixa eu dizer que SAO. :D) ---///--- Mas tem gente que acha isso algebrico demais. Vamos tentar algo mais geometrico! 2. UMA ABORDAGEM GEOMETRICA 2a. Caso 2x2. Considere um paralelogramos cujos lados sao os vetores v=(a,b) e w=(c,d). Qual a area deste paralelogramo? Se voce fizer a conta, voce descobre que a area eh ad-bc (ou o negativo disto, depende da ordem dos vetores). Puxa, entao talvez seja legal definir uma especie de "area com sinal" dada por: AREA COM SINAL = [v,w] = ad-bc Ou, que tal chamar isto de DETERMINANTE da matriz cujas colunas sao v e w? Ok, feito! (O sinal pode ser explicado com a regra da mao direita Mas deixa eu ficar no basicao, acho que voce soh quer o SIGNIFICADO, nao detalhes.) Em suma, o DETERMINANTE de uma matriz 2x2 eh a AREA (com sinal) do paralelogramo cujos lados sao equivalentes aos vetores colunas da matriz. 2b. Caso 3x3. Considere um paralelepipedo P, 3-dimensional, cujos lados sao os vetores v1, v2 e v3. Vamos DEFINIR o determinante da matriz cujas colunas sao v1, v2 e v3 como sendo o VOLUME desse paralelepipedo P (com sinal, que depnde da orientacao de v1/v2/v3). Tem gente que ateh escreve assim: det(v1,v2,v3) = expressao horrorosa envolvendo as coordenadas dos 3 vetores = volume (P) (com sinal) como se o determinante fosse uma funcao de 3 vetores ao inves de ser de uma matriz... 2n. Caso nxn Sejam v1, v2, ..., vn vetores com n coordenadas cada. O determinante da matriz cujas colunas sao v1, v2, ..., vn pode ser DEFINIDO como o volume do paralelepipedo cujas arestas sao v1, v2, ..., vn respectivamente (com sinal que depende da orientacao, mas a discussao sobre o que significa "orientacao" deixo para depois; com certeza, o volume eh o MODULO desse determinante). Ficou um pouco mais natural assim? Dah ateh para enxergar algumas das propriedades basicas pensando assim. Por exemplo, se dois dos vetores forem paralelos, o seu paralelepipedo fica "achatado" e portanto o volume eh 0 -- ou seja, se duas das colunas forem multiplas uma da outra, o determinante eh 0. Abraco, Ralph. On Fri, Mar 13, 2020 at 11:30 AM Luiz Antonio Rodrigues < rodrigue...@gmail.com> wrote: > Olá, pessoal! > Tudo bem? > Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do > determinante de uma matriz. > Livros, professores, internet... > Não adianta... > Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... > E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... > Parece maluquice. > Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? > Muito obrigado! > Abraços! > Luiz > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Determinante de uma Matriz
Olá, pessoal! Tudo bem? Há bastante tempo eu venho fazendo pesquisas sobre o significado do determinante de uma matriz. Livros, professores, internet... Não adianta... Parece que o determinante de uma matriz é algo nebuloso... E o cálculo de um determinante é mais misterioso ainda... Parece maluquice. Alguém já leu ou ouviu algo interessante sobre isso? Muito obrigado! Abraços! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Combinatória
Bom dia! Não sei se minha mensagem chegou para vocês. Por via das dúvidas, te encaminho. Alguém tem uma ideia para esse problema? Muito obrigado! De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3 turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos? A resposta é 37584. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] para os que querem sair da lista!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Olha que bacana!!! Eu coloco no google "obm-l sair" e descubro o link http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Que legal!!! ele diz o que deve ser feito para sair do grupo, vejam só que maravilha Simples assim Ah Google, seu sabe tudo Att, __ Mauricio de Araujo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
