Re: [obm-l] Magnitude
Boa noite, Maikel. A quantidade de algarismos de um número x (na base 10) é "1 + piso de log(x)", em que "log" é a função logaritmo na base 10. Você pode verificar isso assim: 10^n, para n inteiro >= 0, é o menor número do mundo com n+1 algarismos. Além disso, log(10^n) = n. Por fim, log é uma função crescente. Usando que log(a*b) = log(a) + log(b), uma solução computeira é fazer um programa que calcula log(i), para i inteiro entre 1 e 100, e soma esses valores a uma variável s inicializada com o valor ZERO. Uma solução computeira (provavelmente) errada é calcular x = 100! e depois achar o log(x). Esse valor x não cabe nas estruturas de dados que a maioria das linguagens usa para representar números. Bom, a soma dá 157.97, conforme o Anderson Torres falou antes de mim. A gente sabe que os computadores até erram (truncam) o valor exato de log(x), mas o erro é bem pequeno e só estamos somando 100 aplicações da função log, daí sabemos que esse 157.97 pode até estar errado, mas é por muito pouco (menos do que 0,01, por exemplo). Finalmente, 100! tem 1 + piso(157.97) = 158 algarismos. Abraços, Pedro On Sun, Apr 11, 2021 at 12:29 AM Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> wrote: > Em sáb., 3 de abr. de 2021 às 01:13, Maikel Andril Marcelino > escreveu: > > > > Quantos algarismos tem o número (100!) ? > > Em outras palavras, qual é o log(100!)/log(10). O Google me diz que > isso é 157,97 - logo, 158 dígitos. > > > > > > > Atenciosamente, > > > > Maikel Andril Marcelino > > Assistente de Aluno - Biblioteca - Ramal: 7616 > > Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP > > Instituto Federal do Rio Grande do Norte > > Campus São Paulo do Potengi > > > > +55 (84) 8851-3451 > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Oh, no meu email anterior, onde se lê raiz(3), leia-se raiz_cúbica(2). Tô fazendo um tratamento na vista e ando com dificuldade para digitar num celular. Um cara de 69 anos como eu não deveria mais participar deste grupo Artur Em dom., 25 de abr. de 2021 14:16, Artur Costa Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > raiz(2)) e raiz(3) são inteiros algébricos, visto serem raízes de x^2 - 2 > e x^3 - 2, respectivamente. Segundo um clássico teorema da Teoria dos > Números, a soma de dois inteiros algébricos é inteira algébrica. E um > inteiro algébrico é racional se, e somente se, for inteiro. Como, conforme > já comentado, este não é o caso de raiz(2) + raiz(3), segue-se que está > soma é irracional. > > Abraços > Artur > > > Em sex., 23 de abr. de 2021 17:43, Marcos Martinelli < > mffmartine...@gmail.com> escreveu: > >> Legal, Matheus. >> >> Minha ideia foi encontrar um polinômio em m.n (m = raiz(2) e >> n=raiz_cúbica(2)) de coeficientes racionais. Pra isso desenvolvi m^k + n^k >> (k >= 0) até k=6 e encontrei um de grau 6 com coeficientes dependendo só de >> m+n. >> >> Se m+n for racional, usei o fato de se a + beta (a racional e beta >> irracional com beta^j também irracional (1=< j <= grau do polinômio- 1) >> for raiz desse polinômio então a - beta também seria. >> >> Mas essa sua ficou bem elegante. >> >> Brigado. >> >> Em sex., 23 de abr. de 2021 às 17:18, Matheus Secco < >> matheusse...@gmail.com> escreveu: >> >>> Oi, Marcos. Não é difícil verificar que raiz(2) + raiz_cubica(2) é uma >>> raiz do polinômio x^6 - 6 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 - 24 x - 4. Com isso, pelo >>> teorema das raízes racionais, se raiz(2) + raiz_cubica(2) fosse racional, >>> teria que ser um inteiro e é fácil verificar que 2 < raiz(2) + >>> raiz_cubica(2) < 3. >>> >>> Abraços >>> >>> On Fri, Apr 23, 2021 at 4:43 PM Marcos Martinelli < >>> mffmartine...@gmail.com> wrote: >>> Opa, pessoal. Pensei nos últimos dias no problema seguinte. Cheguei a uma solução um pouco mais genérica, mas me deu trabalho. Gostaria de estudar outras abordagens. Problema) Prove que raiz (2) + raiz_cúbica (2) é irracional. Na sequência posto um rascunho do que pensei. Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
raiz(2)) e raiz(3) são inteiros algébricos, visto serem raízes de x^2 - 2 e x^3 - 2, respectivamente. Segundo um clássico teorema da Teoria dos Números, a soma de dois inteiros algébricos é inteira algébrica. E um inteiro algébrico é racional se, e somente se, for inteiro. Como, conforme já comentado, este não é o caso de raiz(2) + raiz(3), segue-se que está soma é irracional. Abraços Artur Em sex., 23 de abr. de 2021 17:43, Marcos Martinelli < mffmartine...@gmail.com> escreveu: > Legal, Matheus. > > Minha ideia foi encontrar um polinômio em m.n (m = raiz(2) e > n=raiz_cúbica(2)) de coeficientes racionais. Pra isso desenvolvi m^k + n^k > (k >= 0) até k=6 e encontrei um de grau 6 com coeficientes dependendo só de > m+n. > > Se m+n for racional, usei o fato de se a + beta (a racional e beta > irracional com beta^j também irracional (1=< j <= grau do polinômio- 1) > for raiz desse polinômio então a - beta também seria. > > Mas essa sua ficou bem elegante. > > Brigado. > > Em sex., 23 de abr. de 2021 às 17:18, Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Marcos. Não é difícil verificar que raiz(2) + raiz_cubica(2) é uma >> raiz do polinômio x^6 - 6 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 - 24 x - 4. Com isso, pelo >> teorema das raízes racionais, se raiz(2) + raiz_cubica(2) fosse racional, >> teria que ser um inteiro e é fácil verificar que 2 < raiz(2) + >> raiz_cubica(2) < 3. >> >> Abraços >> >> On Fri, Apr 23, 2021 at 4:43 PM Marcos Martinelli < >> mffmartine...@gmail.com> wrote: >> >>> Opa, pessoal. Pensei nos últimos dias no problema seguinte. Cheguei a >>> uma solução um pouco mais genérica, mas me deu trabalho. Gostaria de >>> estudar outras abordagens. >>> >>> Problema) Prove que raiz (2) + raiz_cúbica (2) é irracional. >>> >>> Na sequência posto um rascunho do que pensei. >>> >>> Obrigado. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
