raiz(2)) e raiz(3) são inteiros algébricos, visto serem raízes de x^2 - 2 e x^3 - 2, respectivamente. Segundo um clássico teorema da Teoria dos Números, a soma de dois inteiros algébricos é inteira algébrica. E um inteiro algébrico é racional se, e somente se, for inteiro. Como, conforme já comentado, este não é o caso de raiz(2) + raiz(3), segue-se que está soma é irracional.
Abraços Artur Em sex., 23 de abr. de 2021 17:43, Marcos Martinelli < mffmartine...@gmail.com> escreveu: > Legal, Matheus. > > Minha ideia foi encontrar um polinômio em m.n (m = raiz(2) e > n=raiz_cúbica(2)) de coeficientes racionais. Pra isso desenvolvi m^k + n^k > (k >= 0) até k=6 e encontrei um de grau 6 com coeficientes dependendo só de > m+n. > > Se m+n for racional, usei o fato de se a + beta (a racional e beta > irracional com beta^j também irracional (1=< j <= grau do polinômio- 1) > for raiz desse polinômio então a - beta também seria. > > Mas essa sua ficou bem elegante. > > Brigado. > > Em sex., 23 de abr. de 2021 às 17:18, Matheus Secco < > matheusse...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Marcos. Não é difícil verificar que raiz(2) + raiz_cubica(2) é uma >> raiz do polinômio x^6 - 6 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 - 24 x - 4. Com isso, pelo >> teorema das raízes racionais, se raiz(2) + raiz_cubica(2) fosse racional, >> teria que ser um inteiro e é fácil verificar que 2 < raiz(2) + >> raiz_cubica(2) < 3. >> >> Abraços >> >> On Fri, Apr 23, 2021 at 4:43 PM Marcos Martinelli < >> mffmartine...@gmail.com> wrote: >> >>> Opa, pessoal. Pensei nos últimos dias no problema seguinte. Cheguei a >>> uma solução um pouco mais genérica, mas me deu trabalho. Gostaria de >>> estudar outras abordagens. >>> >>> Problema) Prove que raiz (2) + raiz_cúbica (2) é irracional. >>> >>> Na sequência posto um rascunho do que pensei. >>> >>> Obrigado. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
