Re: [obm-l] Mathematica

[Cesar Kawakami]

O gráfico gerado pelo Mathematica está correto. O que acontece é que o
Mathematica pode, às vezes, não colocar os eixos na posição usual (0,0)
quando o Plot é feito com as opções padrão. Você pode forçar a origem ser
(0, 0) fazendo

Plot[1/(1 + Sqrt[x]), {x, 0, 10}, AxesOrigin -> {0, 0}]



[]'s
Cesar

2010/10/7 Emanuel Valente 

> Estranho, tente forcar: Faca algo do tipo:
>
> Plot[1/(1+Sqrt[x]), {x,0,10},{y,0,10}]
>
> Teste tambem no wolframalpha.com, pois seu backend é o próprio
> mathematica.
>
> 2010/10/7 Henrique Rennó :
> > Olá,
> >
> > Alguém aqui da lista usa o Mathematica? Eu executei o seguinte
> > comando, mas o resultado gráfico não parece estar correto.
> >
> > Plot[1/(1+Sqrt[x]), {x,0,10}]
> >
> > Nos reais, a função y = 1/(1+sqrt(x)) possui domínio [0,inf) e imagem
> > (0,1], mas o Mathematica plota valores negativos de y. E o ponto onde
> > a curva intersecta o eixo x muda dependendo dos valores passados como
> > intervalo para x.
> >
> > --
> > Henrique
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
> >
>
>
>
> --
> Emanuel Valente
> Instituto de Física de São Carlos - USP
> http://twitter.com/epaduel
> epad...@hotmail.com
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Teorema sobre "rank" de matrizes

[Cesar Kawakami]

Acredito que a dúvida já tenha sido sanada. Para fins de completude,
segue o texto da segunda edição (o Lucas, provavelmente, deve ter a
primeira) do Cormen americano que fala sobre a definição alternativa.

"(...) An alternate, but equivalent and often more useful, definition
is that the rank of a nonzero mxn matriz A is the *smallest* number r
such that there exist matrices B and C of respective sizes mxr and rxn
such that A = BC." (grifo meu)




[]'s
Cesar

2010/3/30 Bernardo Freitas Paulo da Costa :
> Oi Lucas,
>
> Bom, claramente há um erro. Mas eu acho que é na definição. (e como
> você usou uma definição errada, nada mais natural do que chegar numa
> situação estranha)
>
> Veja bem: seja A uma matriz m x n. Considere a seguinte matriz m x (n
> + r) : (A | 0), ou seja, a matriz A seguida de um monte de zeros.
> Chame-a de X. Em seguida, considere a matriz Y que é (n+r) x n, cujas
> primeiras n linhas dão a matriz identidade, e no resto, você bota o
> que você quiser. Por exemplo, zeros :) Ou seja,
>
> Id
> --- = Y
> 0
>
> Bom, agora multiplique X por Y, vai dar A, é claro.
>
> Mas peraí, isso faz matrizes de tamanho cada vez maior, e o rank
> (posto, em português) não existiria... Deduz-se que, na verdade, deve
> ser o MENOR valor de r tal que existam X (m x r) e Y (r x n) tal que
> XY = A.
>
> Como exercício (importantíssimo quando se lê um livro), verifique que
> as duas definições que você tem para o posto da matriz dão o mesmo
> resultado! (Vai ajudar você ter provado a tal da questão sobre o posto
> do produto e o mínimo dos postos)
>
> abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
> 2010/3/30 Lucas Prado Melo :
>> Olá,
>>
>> eu estava resolvendo os exercícios do livro "Introdução a algoritmos" de
>> Cormen et al. E encontrei o que eu acredito ser um erro.
>>
>> No livro, a definição dita alternativa para o "rank" (não sei traduzir) de
>> uma matriz 'A' mxn é o maior valor 'r' tal que existam duas matrizes (uma
>> mxr e outra rxn) tais que seu produto seja igual à 'A'. (A definição
>> principal é a de que uma matriz tem rank 'r' se existirem no máximo 'r'
>> linhas/colunas linearmente independentes).
>>
>> O livro também fala que para uma matriz 'A' mxn, rank(A) <= min(m, n).
>>
>> Então, na questão 31.1-9, é pedido pra provar que rank(AB) <= min( rank(A),
>> rank(B) ).
>> No entanto, eu consegui provar que min( rank(A), rank(B) ) <= rank(AB)
>>
>> Este é meu argumento:
>> Seja 'A' uma matriz mxk
>> e seja 'B' uma matriz kxn
>>
>> Então rank(AB) >= k, já que é possível multiplicar duas matrizes mxk e kxn
>> pra encontrar AB, mas não se sabe se é possível encontrar duas matrizes de
>> maiores dimensões para se obter AB. (Ver definição acima)
>>
>> Sabemos que rank(A) <= min(m, k) e que rank(B) <= min(k, n)
>> E sabemos que k >= min(m, k) e que k >= min(k, n)
>>
>> Para a matriz A, temos:
>> rank(A) <= min(m, k) <= k <= rank(AB)
>>
>> Portanto, rank(A) <= rank(AB). De forma análoga, rank(B) <= rank(AB) e,
>> portanto,
>> rank(AB) >= max( rank(A), rank(B) ) >= min( rank(A), rank(B) )
>>
>>
>> Eu cometi algum engano? Se eu realmente cometi e alguém pudesse responder
>> este exercício pra mim, eu ficaria grato ;)
>>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Racional ou irracional?

[Cesar Kawakami]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem



[]'s
Cesar

2010/2/21 Tiago :
> Tem muita cara de irracional, mas também fiquei curioso agora, boa pergunta.
>
> 2010/2/21 Luiz Rodrigues 
>>
>> Olá pessoal!!!
>> Tudo bem???
>> Será que é possível verificar se raiz quadrada de dois elevada à raiz
>> quadrada de dois é racional ou irracional?
>> Muito obrigado!!!
>> Abraço para todos!!!
>> Luiz.
>>
>
>
> --
> Tiago J. Fonseca
> http://legauss.blogspot.com
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] Fwd: Repunit

[Cesar Kawakami]

Uma maneira alternativa é mostrar que n múltiplo de 5 se, e somente
se, 41 divide (10^n - 1) / 9, que é equivalente a 41 divide 10^n - 1
pois 9 e 41 são primos entre si. Como a ordem de 10 módulo 41 é 5
(10^5 deixa resto 1 módulo 41 e nenhuma das potências anteriores o
faz, e isso é diretamente checável), temos que 41 divide 10^n - 1 se,
e somente se, n é divisível por 5.



[]'s
Cesar

2010/2/18 Albert Bouskela :
> Novamente, olá!
>
>
>
> Abaixo, fiz a complementação para k=4. Para k=1, 2, 3, é só seguir a mesma
> metodologia
>
>
>
> Albert Bouskela
>
> bousk...@msn.com
>
>
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
> de Albert Bouskela
> Enviada em: quinta-feira, 18 de fevereiro de 2010 12:34
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RES: [obm-l] Fwd: Repunit
>
>
>
> Olá!
>
>
>
> Por Indução Finita, é fácil verificar que:
>
>
>
> Se “n” é múltiplo de 5, então 111...111 (com “n” dígitos iguais a 1) é
> múltiplo de 41.
>
>
>
> Lá vai:
>
>
>
> 1.   Verifica-se que 1 é múltiplo de 41 (271*41=1).
>
> 2.   Hipótese de Indução: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n”
> múltiplo de 5)] é múltiplo de 41.
>
> 3.   Então, mostra-se que (próximo passo da demonstração por Indução
> Finita):
>
> {[111...111 (com “n” dígitos iguais a 1 e “n” múltiplo de 5)]*10^5 + 1}
> é múltiplo de 41.
>
> Fácil: [111...111 (com “n” dígitos iguais a 1, “n” múltiplo de 5)]*10^5 é
> múltiplo de 41 (consequência imediata da própria Hipótese de Indução); e
> 1 é múltiplo de 5 (ver passo 1).
>
>
>
> Falta verificar que:
>
> Se “n” é igual a (5m + k, k=1, 2, 3, 4), então 111...111 (com “n” dígitos
> iguais a 1) NÃO é múltiplo de 41.
>
> Dá trabalho (são 4 verificações), mas parece-me que seja igualmente fácil...
>
>
>
> Para k=4:
>
> n = 5m + 4
>
> a.   [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] é múltiplo de 41. Já foi
> verificado acima, já que “5m” é – obviamente – múltiplo de 5.
>
> b.   [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)] = 41p (um múltiplo de 41)
>
> c.   [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 + 
>
> d.   [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 é múltiplo de 41 (ver
> passo c);  = 41*27 + 4
>
> e.   [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +  = 41(p+27) + 4
>
> f.   Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +  tem resto 4
> na divisão por 41. Logo, [111...111 (com “5m” dígitos iguais a 1)]*10^4 +
>  NÃO é múltiplo de 41.
>
>
>
> Agora, é só fazer para k=1, 2, 3.
>
>
>
> Albert Bouskela
>
> bousk...@msn.com
>
>
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
> de Pedro Júnior
> Enviada em: quarta-feira, 17 de fevereiro de 2010 10:07
> Para: obm-l
> Assunto: [obm-l] Fwd: Repunit
>
>
>
>
>
> -- Mensagem encaminhada --
> De: Pedro Júnior 
> Data: 15 de fevereiro de 2010 17:01
> Assunto: Repunit
> Para: obm-l 
>
>
> Prove que: 111...1 (com n dígitos iguais a 1) é divisível por 41 se, e
> somente se n é divisível por 5.
>
>
> Desde já agradeço!!!
>
> Abraços.
>
> Pedro Jr
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Potências

[Cesar Kawakami]

Não era pra resposta ser 35?

Soma dos algarismos é diferente de soma dos algarismos módulo 9. E você
cometeu um errinho ao calcular o do 4^8...



[]'s
Cesar

2010/2/14 Thiago Tarraf Varella 

>  Um jeito alternativo é assim:
> Perceba que a soma dos algarismos dessas potências seguem um padrão:
> 2^0 = 1   Sa 1
> 2^1 = 2   Sa 2
> 2^2 = 4   Sa 4
> 2^3 = 8   Sa 8
> 2^4 = 16  Sa7
> 2^5 = 32  Sa5
> 2^6 = 64  Sa1
> 2^7 = 128 Sa2
> 2^8 = 256 Sa4
> ...
> Ou seja,
> 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, ...
> Para a0 = 1, a1 = 2, a3 = 4, contando até o a10 teremos 7. Já temos o
> primeiro termo da soma.
> Agora no 3;
> 3^0 = 1   Sa 1
> 3^1 = 3   Sa 3
> 3^2 = 9   Sa 9
> 3^3 = 27 Sa  9
> 3^4 = 81 Sa  9
> ...
> E assim vai, então a soma dos termos de 3^8 = 9
> Por enquanto, temos 7+9
> Agora o 4.
> 4^0 = 1   Sa  1
> 4^1 = 4   Sa  4
> 4^2 = 16  Sa 5
> 4^3 = 64  Sa 1
> ...
> 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5
> Contando, temos o 5.
> 7+9+5
>
> Agora, vamos ao 5:
>
> 5^0 = 1Sa   1
> 5^1 = 5Sa   5
> 5^2 = 25   Sa   7
> 5^3 = 125  Sa  8
> 5^4 = 625  Sa  3
> 5^5 =3125 Sa 2
> Bom, esse não achei nenhum padrão antes de chegar no 5^5
> 7+9+5+2
>
> Falta apenas 7^3
> 7^0 = 11
> 7^1 = 77
> 7^2 = 49  4
> 7^3 =343 1
> 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1...
> Bom, esse achamos o 1, então temos ao todo
> 7+9+5+2+1
> 16+7+1
> 7+8
> 15
> 6
> A soma dos algarismos é 6!
>
>
> --
> Date: Thu, 11 Feb 2010 01:51:32 -0800
> From: jeffma...@yahoo.com.br
> Subject: [obm-l] Potências
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
>   Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos
> algarismos do número 2^10 + 3^8  + 4^8 + 5^5 + 7^3 ?
> Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei.
> Abs
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
> --
> Quer comprar na Internet com segurança? Instale grátis o Internet Explorer
> 8. 
>

Re: [obm-l] Pontos Fixos

[Cesar Kawakami]

Até onde eu sei, SVD e decomposição LU são duas coisas
significativamente diferentes.




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Cesar

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante - uma explicacao melhor Bruno

[Cesar Kawakami]

Uma solução um pouco mais formal é considerar apenas a componente
radial da velocidade (em relação ao centro do triângulo), que será v_r
= v * cos(30). O raio será r = d / 2 / cos(30).

Então o tempo até a colisão será

r / v_r = 2 * d / 3 / v.





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Cesar

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Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante

[Cesar Kawakami]

Pelo que entendi:

Há três pontos dispostos, inicialmente, em formação de triângulo
equilátero de lado D. Suponha agora que tais pontos P1, P2 e P3 têm
velocidade de magnitude constante V e direção e sentido tais que P1
"siga" P2, P2 "siga" P3 e P3 "siga" P1 -- ou seja, P1 tem direção e
sentido iguais à do vetor P2 - P1, P2 tem direção e sentido iguais à
do vetor P3 - P2, etc.

Calcule o tempo T até a colisão.





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Cesar

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Re: [obm-l] Off-Topic: Software ou Calculadora Online

[Cesar Kawakami]

871^79
18257203048030501379674396766183756514652540657998804159878881729787\
41687330964899791126437709299466505433628912609258410779685924161398\
75028974462388183240285640950248725682968625531028815224696345738588\
82714508208911673554188924631


2008/4/24 Ulysses Coelho de Souza Jr. <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>
> Olá a todos,
>
> Estou procurando um software (preferencialmente freeware) ou site para o
> seguinte objetivo:
>
> Desejo visualizar todos os dígitos do número 871^(79).
>
> Sei que o Mathematica tem (ou tinha) essa funcionalidade, mas não o tenho
> instalado no pc.
>
> Grato de antemão a quem puder ajudar.
>
> Um abraço,
>
> Ulysses.

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Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos Números

[Cesar Kawakami]

O Pequeno Teorema de Fermat afirma:

Se p é primo e a é um número natural, então

a^p == a  (mod p).

Já o Teorema de Euler (há vários, mas estamos falando do que trata da
função phi) segue:

Se (a, n) = 1, entao

a^(phi(n)) == 1  (mod n).

O que é uma generalização do pequeno teorema de fermat. Só
relembrando, phi(n) = "número de inteiros positivos k tais que k <= n
e (k, n) = 1". Então se n é primo, phi(n) = (n-1), donde sai o pequeno
teorema de fermat. O caso (a, n) != 1 é tratado inteligentemente
multiplicando ambos lados da congruência por a.

São teoremas ligeiramente diferentes, portanto.



[]'s
Cesar

On 7/17/07, Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Nao seria esse o pequeno teorema de fermat?

a e n tem que ser co-primos e como no caso a=2, qualquer n impar e co-primo.

Afinal o teorema de fermat ou de euler? Ou sao coisas diferentes?


>From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos Números
>Date: Tue, 17 Jul 2007 07:36:56 -0300
>
>Oi, Yuri,
>
>Cuidado, Yuri, só vale a ida...  Se n é primo então  a^n = a (mod n)...
>
>Por exemplo,   3^91 = 3 (mod 91) mas  91 é composto.
>Veja que 3^6 = 1 (mod 91), logo, 3^90 =1 (mod 91)...
>
>Abraços,
>Nehab
>
>
>At 15:44 16/7/2007, you wrote:
>>Isso é um teorema do euler: a^n = a (mod n) se e somente se n eh primo.
>>
>>Iuri
>>
>>
>>
>>On 7/16/07, Angelo Schranko <
>>[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>Saudações Srs.
>>
>>Sou novo na lista.
>>Por favor me ajudam a provar (ou encontrar um contra-exemplo)
>>para a seguinte conjectura :
>>
>>(2^(n - 1) - 1)/n é inteiro <=> n primo
>>
>>Obrigado,
>>[]´s
>>Angelo
>>
>>
>>Novo Yahoo! Cadê? - Experimente
>>uma nova busca.
>>

_
http://newlivehotmail.com

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Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos Números

[Cesar Kawakami]

A conjectura é falsa.

Qualquer número de Carmichael satisfaz n | 2^(n-1) - 1 e é composto. E
não só números de Carmichael satisfazem essa condição (ser número de
Carmichael é apenas condição suficiente).

Um exemplo de número de Carmichael é 561.

Mais informações em http://mathworld.wolfram.com/CarmichaelNumber.html .



[]'s
Cesar Ryudi Kawakami


On 7/16/07, Angelo Schranko <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Saudações Srs.

Sou novo na lista.
Por favor me ajudam a provar (ou encontrar um contra-exemplo)
para a seguinte conjectura :

(2^(n - 1) - 1)/n é inteiro <=> n primo

Obrigado,
[]´s
Angelo

 
Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.




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Re: [obm-l] ajuda em tres questoes

[Cesar Kawakami]

On 12/5/06, Fabio Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Considerem-se um triangulo ABC onde a medida do ângulo
A é o dobro da medida de B. A medida do lado a, oposto
ao ângulo A, em função dos lados b e c, é_.
Resp: sqrt (b^2 + bc)


http://wiki.firer.info/wiki/Geometria_Plana_-_Problema_4

[]'s
Firer

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Re: [obm-l] Soluções Inteiras da Eq. Segundo Grau.

[Cesar Kawakami]

Temos que as raízes são -m +- sqrt(m^2 - n), e são inteiras se, e
somente se, m^2 - n = k^2, k inteiro.

<=> m^2 = n + k^2 <=> n = m^2 - k^2.

Portanto, os pares (m, n) tais que x^2 - 2m x + n == 0 admite raízes
inteiras são {(m, m^2 - k^2), m e k inteiros}.

Bom, eu acho que é isso. Se algo estiver errado, me avisem... hehe.



[]'s
Cesar Ryudi Kawakami

On 6/12/06, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Inspirado no problema anterior (xx^2+yy^2= xxyy^2) andei pensando
algumas coisas e algumas questões interessantes.

Questão:

  Qual relação deve existir entre m e n para que as soluções de
 x^2 + 2m x + n = 0 com m e n inteiros sejam inteiras?

  Eu pensei no seguinte:

   Como x = -m +- sqrt(m^2 - n) temos que ter o radicando inteiro.
 A soma dos primeiros m números ímpares é o quadrado de m:
  m^2 = soma (i=1 até m) 2*i - 1
  (m-1)^2 = soma(i=1 até m-1) 2*i - 1
   ==>
   (m-1)^2 + (2m-1) = m^2
   (m-1)^2 = m^2 - (2m-1)

   Se (2m-1) = n temos:
   m^2 -n = (m-1)^2

   e desta forma:

x = -m +- sqrt (m^2-n)
  = -m +- (m-1)
  = -m + m -1 = -1
  ou -m -m +1 = +1

   Mas essa não é a solução geral n = 2m-1.
   Se n = 2(m-1)-1 + 2m-1 eu acredito que funciona também,
pois estamos tirando os dois últimos ímpares da soma.

   Existe alguma falha em meu raciocíno? Alguem consegue
achar uma solução geral usando essas idéias?

[]s.





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Re: [obm-l] desigualdades

[Cesar Kawakami]

On 6/2/06, benedito <[EMAIL PROTECTED]> wrote:







Problema
Sem usar calculadora ou computador, qual é o 
maior  e^pi  ou pi^e?
 
Benedito Freire

Esse é um clássico: Use a desigualdade de Bernoulli.Temose^x >= x + 1 (desigualdade de Bernoulli, observável usando os gráficos da função e^x e x + 1)tomando x = (pi / e) - 1, temos
e^( pi/e - 1 ) >= pi/e - 1 + 1 = pi/ee^( pi / e) / e >= pi / ee^(pi/e) >= pie^pi >= pi^e.De fato, usando uma boa calculadora, temos:e^pi ~= 23.140692632779269005729086367948547380266106242600
pi^e ~= 22.459157718361045473427152204543735027589315133997que confirmam o fato.[]'sCesar Ryudi Kawakami

Re: [obm-l] Geo Plan 2

[Cesar Kawakami]

Seja ABCD o losango, com BCD < CBA. Projete ortogonalmente C em AB =
H. Seja L o lado do losango e X = BH. Temos

(L + X)^2 + 24^2 = 40^2
X^2 + 24^2 = L^2
<=>
L + X = 32
(L+X)(L-X) = 24^2
=>
L = 25.

E agora S = L*24 = 600.

On 9/27/05, elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> ola, amigo!
> queria eu q fosse, mas o livro diz q é 600 cm^2
> --- Adroaldo Munhoz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> > A área é (40 x 24)/2 = 480 cm^2, nao é?
> >
> > elton francisco ferreira wrote:
> >
> > >A diagonal de um losango mede 40 cm e a altura 24
> > cm.
> > >qual a área desse losango?
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> >
> >___
> >
> > >Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo!
> > Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale
> > agora!
> > >www.yahoo.com.br/messenger/
> >
> >=
> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
> >=
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> > >
> > >
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> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e 
> muito mais. Instale agora!
> www.yahoo.com.br/messenger/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] identidade trigon.

[Cesar Kawakami]

Partindo da primeira igualdade, e usando (1 - cosA)/2 = sen^2 (A/2) e
(cosA + 1)/2 = cos^2 (A/2):

<=> (1 - cosA) / (cosA + 1) = (1 - cosB) (1 - cosC) / (cosB + 1) (cosC + 1)
<=> (1 - cosA) (cosB + 1) (cosC + 1) = (cosA + 1) (1 - cosB) (1 - cosC)
<=> cosA - cosB - cosC + cosAcosBcosC = 0

On 9/5/05, Júnior <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Sendo tg^2(a/2) = tg^2(b/2) tg^2(c/2) , mostre que se tem a igualdade
> cos(a)-cos(b)-cos(c)+cos(a)cos(b)cos(c)=0
>  
>  Júnior.
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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